Question
यदि $f(a+b-x)=f(x),$ तो $\int_{0}^{b} x f(x) d x$ बराबर है :
$I=\int_{a}^{b}(a+b-x) f(a+b-x) d x \quad\left(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) d x\right)$
$\Rightarrow I=\int_{a}^{b}(a+b-x) f(x) d x$
$\Rightarrow I=(a+b) \int_{a}^{b} f(x) d x-I \quad[\text { using }(1)]$
$\Rightarrow I+I=(a+b) \int_{a}^{b} f(x) d x$
$\Rightarrow 2 I=(a+b) \int_{a}^{b} f(x) d x$
$\Rightarrow I=\left(\frac{a+b}{2}\right) \int_{a}^{b} f(x) d x$
Hence, the correct Answer is $C$.
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$L _1: \overrightarrow{ r }=\lambda \hat{ i }, \lambda \in R ,$
$L _2: \overrightarrow{ r }=\hat{ k }+\mu \hat{ j }, \mu \in R \text { and }$
$L _3: \overrightarrow{ r }=\hat{ i }+\hat{ j }+ vk , v \in R$
दी गयी हैं। $L _2$ के किस बिंदु (किन बिंदुओं) $Q$ के लिए हम $L _1$ पर एक बिंदु $P$ और $L _3$ पर एक बिंदु $R$ प्राप्त कर सकते हैं ताकि $P , Q$ और $R$ सेरेख (collinear) हो जायें ?
$(1)$ $\hat{k}+\hat{j}$ $(2)$ $\hat{ k }$ $(3)$ $\hat{ k }+\frac{1}{2} \hat{ j }$ $(4)$ $\hat{k}-\frac{1}{2} \hat{j}$