यदि f(x) = l , , , , , , , , , 1 - 4x x^2 , ; ;when ,x < 0 , , , … - Vidyadip

Question

यदि $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{1 - \cos 4x}}{{{x^2}}},\;\;when\,x < 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,when\,\,x = 0\\\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {(16 + \sqrt x )} - 4}},\,\,when\,\, x > 0\end{array} \right.$ $x = 0$ पर सतत् है तो $'a'$ का मान होगा

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Answer

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 - } \left( {\frac{{2\,{{\sin }^2}2x}}{{{{(2x)}^2}}}} \right)\,4 = 8$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {16 + \sqrt x } - 4}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } \sqrt {16 + \sqrt x } + 4 = 8$;
अत: $a = 8$ है।

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$x$ के कितने वास्तविक मानों के लिये समीकरण $\left| {\,3{x^2} + 12x + 6\,} \right| = 5x + 16$ अस्तित्व रखता है

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उस रेखा का समीकरण, जो $x$-अक्ष के साथ ${120^o}$ का कोण बनाती है एवं जिस पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई $4$ इकाई है,

$\int_{}^{} {{e^{{{\cos }^2}x}}\sin 2x\;dx = } $

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