यदि f(x) = l x, , , , , , , , , , , ,0 x 1 2x - 1, , , ,1 < x ., … - Vidyadip

Question

यदि $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le x \le 1\\2x - 1,\,\,\,1 < x\end{array} \right., $ तब

✓

Answer

$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,x,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le x \le 1\\2x - 1,\,\,\,\,\,\,x > 1\end{array} \right.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(1 - h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (1 - h) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(1 + h) = \mathop {\lim 2}\limits_{h \to 0} (1 + h) - 1 = 1$
$\because \,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$
$\therefore x = 1$ पर फलन सतत् है।
$Lf'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 - h) - f(1)}}{{ - h}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(1 - h) - 1}}{{ - h}} = 1$
$Rf'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 + h) - f(1)}}{{ - h}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2 + 2h - 1 - 1}}{h} = 2$
$\therefore$ $Lf'(1) \ne Rf'(1)$
$\therefore$ $x = 1$ पर फलन अवकलनीय नहीं है।

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