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STD 12 - 7.2 definite integral — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 7.2 definite integral4 Marks
Question
यदि $\int \limits_0^2\left(\sqrt{2 x}-\sqrt{2 x-x^2}\right) d x=$ $\int \limits_0^1\left(1-\sqrt{1-y^2}-\frac{y^2}{2}\right) d y+\int \limits_1^2\left(2-\frac{y^2}{2}\right) d y+I$ बराबर
✓

Answer

c
$LHS =\int\limits_{0}^{2}\left(\sqrt{2 x }-\sqrt{2 x - x ^{2}}\right) dx =\frac{8}{3}-\frac{\pi}{2}$

$RHS =\int\limits_{0}^{1}\left(1-\sqrt{1- y ^{2}}-\frac{ y ^{2}}{2}\right) dy +\int\limits_{1}^{2}\left(2-\frac{ y ^{2}}{2}\right) dy + I$

$I +\frac{5}{3}-\frac{\pi}{4}$

So, $I=1-\frac{\pi}{4}=\int\limits_{0}^{1}\left(1-\sqrt{1-y^{2}}\right) d y$

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माना कि $p_1(x)=x^3-2020 x^2+b_1 x+c_1$ और $p_2(x)=x^3-2021 x^2+b_2 x+c_2$ दो बहुपद हैं; जिसके $\alpha$ एवं $\beta$ दो उभयनिष्ट मूल हैं. मान ले कि $q_1(x)$ एवं $q_2(x)$ बहुपद ऐसे हैं कि $p_1(x) q_1(x)+p_2(x) q_2(x)=x^2-3 x+2$. तब सही तत्समक है:
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$36$ मी. की एक तार को दो भागों में काटा गया है। एक भाग को मोड़कर एक वर्ग बनाया गया है तथा दूसरे भाग को मोड़कर एक वत बनाया गया है। यदि दोनों आकतियों के क्षेत्रफल का योग निम्नतम है तथा वत्त की परिधि $k$ है, तो $\left(\frac{4}{\pi}+1\right) k$ बराबर है .......... |
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माना दो बिन्दुओं $P$ तथा $Q$ के भुज समीकरण $2 x ^2- rx + p =0$ के मूल है तथा $P$ तथा $Q$ बिन्दुओं की कोटि $x ^2- sx - q =0$ के मूल है। यदि $PQ$ को व्यास लेकर बने वृत्त का समीकरण $2\left( x ^2+ y ^2\right)-11 x -14 y -22=0$ है तो $2 r + s -$ $2 q + p$ होगा ।
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${\sec ^{ - 1}}[\sec ( - {30^o})] = $ ......... $^o$.
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माना दो बिंदुओ $P$ तथा $Q$ के स्थिति सदिश क्रमशः $3 \hat{ i }-\hat{ j }+2 \hat{ k }$ तथा $\hat{ i }+2 \hat{ j }-4 \hat{ k }$ हैं। माना दो बिंदु $R$ तथा $S$ इस प्रकार हैं कि रेखाओं $PR$ तथा $QS$ के दिक् अनुपात क्रमशः $(4,-1,2)$ तथा $(-2,1,-2)$ हैं। माना रेखाओं $PR$ तथा $QS$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $T$ है। यदि सदिश $\overline{ TA }$, सदिशों $\overline{ PR }$ तथा $\overline{ QS }$ के लम्बवत है तथा $\overrightarrow{ TA }$ सदिश $\sqrt{5}$ की लम्बाई इकाई है, तो $A$ के एक स्थिति सदिश का मापांक है 
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यदि परवलय ${y^2} = 4ax$के दो बिन्दुओं $P$ व $Q$ पर खींचे गये अभिलम्ब वक्र पर किसी तीसरे बिन्दु $R$ पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो $P$ व $Q$ की कोटियों का गुणनफल है  
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एक ऐसी आयत, जिसका आधार $x$ अक्ष पर है तथा अन्य दो शीर्ष परवलय $y =12- x ^{2}$ पर इस प्रकार स्थित हैं कि आयत, परवलय के अन्तः भाग में है, का अधिकतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है
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छ: एकसमान सिक्कों को एक पंक्ति में रखा गया है। कितने प्रकार से ‘शीर्ष’ (Head) और ‘पुच्छ’ (Tail) को बराबर संख्या में व्यवस्थित किया जा सकता है
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माना कि $n \geq 2$ एक प्राकृत संख्या (natural number) है एवं फलन $f:[0,1] \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}n(1-2 n x) & \text { if } 0 \leq x \leq \frac{1}{2 n} \\ 2 n(2 n x-1) & \text { if } \frac{1}{2 n} \leq x \leq \frac{3}{4 n} \\ 4 n(1-n x) & \text { if } \frac{3}{4 n} \leq x \leq \frac{1}{n} \\ \frac{n}{n-1}(n x-1) & \text { if } \frac{1}{n} \leq x \leq 1\end{array}\right.$

यदि $n$ इस प्रकार है कि वक्रों $x=0, x=1, y=0$ एवं $y=f(x)$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $4$ है तब फलन $f$ का महत्तम मान (maximum value) है

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अस्सी पत्तों, जिन पर $1$ से $80$ अंकित हैं, में से दो पत्ते यदृच्छया निकाले जाते हैं। दोनों पत्तों पर अंकित संख्या $4$ से विभाज्य हो उसकी प्रायिकता है
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