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STD 12 - 7.2 definite integral — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 7.2 definite integral4 Marks
Question
यदि $\int_0^1 \frac{1}{\left(5+2 x-2 x^2\right)\left(1+e^{(2-4 x)}\right)} d x=\frac{1}{\alpha} \log _e\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right) \text {, }$ $\alpha, \beta>0$ है, तो $\alpha^4-\beta^4$ बराबर है :
✓

Answer

$I=\int \limits_0^1 \frac{d x}{\left(5+2 x-2 x^2\right)\left(1+ e ^{2-4 \pi}\right)}$$x \rightarrow 1-x$
$I=\int \limits_0^1 \frac{e^{2-4 x} d x}{\left(5+2 x-2 x^2\right)\left(1+ e ^{2-4 x}\right)}$
Add $(i)$ and $(ii)$
$2 I=\int \limits_0^1 \frac{d x}{5+2 x-2 x^2}=\int \limits_0^1 \frac{d x}{2\left(\frac{11}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\right)}$
$I=\frac{1}{\sqrt{11}} \ln \left(\frac{\sqrt{11}+1}{\sqrt{10}}\right) \alpha=\sqrt{11}$
$\beta=\sqrt{10}$
$\alpha^4-\beta^4=121-100=21$

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