Question
यदि $\int_0^k {\frac{{dx}}{{2 + 8{x^2}}}} = \frac{\pi }{{16}}\,,$ तब $k = $
$ = \frac{1}{4}|{\tan ^{ - 1}}t|_0^{2k} = \frac{1}{4}{\tan ^{ - 1}}2k$.
इसकी दिए गए मान से तुलना करने पर,
${\tan ^{ - 1}}2k = \frac{\pi }{4}$
$\Rightarrow 2k = 1 $
$\Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
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| सूची $I$ | सूची $II$ |
| $P.$ मानाकि $y(x)=\cos \left(3 \cos ^{-1} x\right), x \in[-1,1], x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$, तो $\frac{1}{y(x)}\left\{\left(x^2-1\right) \frac{d^2 y(x)}{d x^2}+x \frac{d y(x)}{d x}\right\}$ का मान है- | $1.$ $1$ |
| $Q.$ मानाकि $A_1, A_2, \ldots \ldots, A_n(n>2)$ एक $n$ भुजीय समबहुभुज (regular polygon) के शीर्ष (vertices) है जिसका केन्द्र मूलबिन्दु में है। माना कि $\vec{a}_k$ बिन्दु $A _{ k }, k =1,2, \ldots, n$ का स्थिति सदिश (position vector) है। यदि $\left|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\overrightarrow{a_k} \times \overrightarrow{a_{k+1}}\right)\right|=\left|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\overrightarrow{a_k} \cdot \overrightarrow{a_{k+1}}\right)\right|$ है, तब $n$ का न्यूनतम मान है- | $2.$ $2$ |
| $R.$ यदि दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ पर बिन्दु $P(h, 1)$ से खींचा गया अभिलम्ब रेखा $x+y=8$ पर लम्बवत् है, तो $h$ का मान है- | $3.$ $8$ |
| $S.$ समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4 x+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{x^2}\right)$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक हलों की संख्या है- | $4.$ $9$ |
Codes: $ \quad P \quad Q \quad R \quad S $