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STD 12 - 10. vector algebra — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 10. vector algebra4 Marks
Question
यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^2}}&{1 + {a^3}}\\b&{{b^2}}&{1 + {b^3}}\\c&{{c^2}}&{1 + {c^3}}\end{array}\,} \right| = 0$ तथा $a = (1,\,a,\,{a^2}),\,b = (1,\,b,\,{b^2})$ एवं $c = (1,\,c,\,{c^2})$ असमतलीय सदिश हैं, तो $abc$ का मान है
✓

Answer

a
(a) चूँकि $(1,\,\,a\,,\,{a^2}),\,\,(1,\,\,b,\,\,{b^2})$ व $(1,\,\,c,\,\,{c^2})$ असमतलीय हैं, अत: $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\1&b&{{b^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}} \right| \ne 0 = \Delta \,$, (माना)
एवं $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^2}}&{1 + {a^3}}\\b&{{b^2}}&{1 + {b^3}}\\c&{{c^2}}&{1 + {c^3}}\end{array}\,} \right|\, = \,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^2}}&1\\b&{{b^2}}&1\\c&{{c^2}}&1\end{array}\,} \right| + \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^2}}&{{a^3}}\\b&{{b^2}}&{{b^3}}\\c&{{c^2}}&{{c^3}}\end{array}\,} \right| = 0$
$ \Rightarrow \Delta + abc\,\Delta = 0$
$ \Rightarrow \Delta (abc + 1) = 0$$ \Rightarrow abc = - 1.$

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माना कि फलन $f:[0,1] \rightarrow[0,1], f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{5}{9} x+\frac{17}{36}$ से परिभाषित है। वर्गाकार क्षेत्र (square region) $S=[0,1] \times[0,1]$ पर विचार कीजिए। माना कि $G=\{(x, y) \in S: y>f(x)\}$ हरित क्षेत्र(green region) एवं $R=\{(x, y) \in S: y < f(x)\}$ लाल क्षेत्र (red region) कहलाता है। मान लीजिये की $h \in[0,1]$ की ऊंचाई (height) पर खींची गई क्षैतिज रेखा (horizontal line) $L_h=\{(x, h) \in S: x \in[0,1]\}$ है। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है(हैं)?

$(A)$ एक ऐसा $h \in\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$ है कि रेखा $L_h$ के ऊपर के हरित क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $L_h$ के नीचे के हरित क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है

$(B)$ एक ऐसा $h \in\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$ है कि रेखा $L_h$ के ऊपर के लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $L_h$ के नीचे के लाल क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है

$(C)$ एक ऐसा $h \in\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$ है कि रेखा $L_n$ के ऊपर के हरित क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $L_n$ के नीचे के लाल क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है

$(D)$ एक ऐसा $h \in\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$ है कि रेखा $L_h$ के ऊपर के लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $L_h$ के नीचे के हरित क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है

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एक बिन्दु के निर्देशांक समीकरणों $x = a(1 - \cos \theta )$ तथा $y = a\sin \theta $ से दिये गये हों, तो बिन्दु का बिन्दुपथ होगा
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$\alpha $ के किस मान के लिए समीकरणों $a + b - 2c = 0,$ $2a - 3b + c = 0$ और $a - 5b + 4c = \alpha $ का हल समुच्चय संगत है
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दीर्घवृत्त $9{x^2} + 36{y^2} = 324$, जिसकी नाभियाँ $S$ तथा $S'$ है, पर $P$ कोई बिन्दु है, तब $SP + S'P$ का मान होगा  
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यदि समीकरण $x ^{2}+ bx +45=0,( b \in R )$ के संयुग्मी सम्मिश्र मूल हैं, जो $|z+1|=2 \sqrt{10}$ को संतुष्ट करते हैं, तो
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$\int_{\, - \,\pi }^{\,\pi } {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {a^x}}}dx,\,a > 0} $ का मान है
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माना $f:[0,2] \rightarrow R$ एक ऐसा फलन है जो $[0,2]$ पर संतत् (continuous) है एवम् $(0,2)$ पर अवकलनीय (differentiable) है तथा $f(0)=1$ है। माना कि सभी $x \in[0,2]$ के लिये $F(x)=\int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) d t$ है। यदि सभी $x \in(0,2)$ के लिये $F ^{\prime}( x )= f ^{\prime}( x )$ है, तब $F (2)$ का मान है-
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एक बिंदु $(-2,-1)$ से एक वक्र $y^{2}=4 x$ पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई है, यदि उनके बीच का कोण $\alpha$ है, तो $|\tan \alpha|$ बराबर है
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माना वक्र $y=x|x-3|, x$-अक्ष तथा कोटियों $x=-1$ व $\mathrm{x}=2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\mathrm{A}$ है। तब $12 \mathrm{~A}$ का मान _______________ है।
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$\cos 105^\circ  + \sin 105^\circ $ का मान है
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