Question
यदि $\tan x + \tan \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) + \tan \left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right) = 3,$ हो, तब
✓
Answer
c
(c) $\tan x + \tan \,\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) + \tan \,\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)$
(c) $\tan x + \tan \,\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) + \tan \,\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)$
$ = \tan x + \frac{{\tan x + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 \,\tan x}} + \frac{{\tan x - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 \,\tan x}}$
$ = \tan x + \frac{{8\tan x}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}} $
$= \frac{{3\,(3\tan x - {{\tan }^3}x)}}{{1 - 3{{\tan }^2}x}} = 3\tan 3x$
अत: दिया गया समीकरण
$\Rightarrow$ $3\tan 3x = 3$==> $\tan 3x = 1.$ है।
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Similar questions
माना कि $x \in R$ के लिए $\tan ^{-1}(x) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तब समुच्चय $\left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ में समीकरण $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x)$ के वास्तविक हलों की संख्या है
→रेखा $y = 2x$ के समान्तर वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ की जीवाओं के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ होगा
→रेखा $x\sin \alpha + y\cos \alpha = \sin 2\alpha $ तथा अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा
→यदि $\cos A = \frac{3}{4}$, तब $32\sin \frac{A}{2}\cos \frac{5}{2}A = $
→माना कि $S$ एक वृत्त (circle) है जो $x y$-समतल (plane) में समीकरण (equation) $x^2+y^2=4$ के द्वारा परिभाषित है।
→($1$) माना कि $E_1 E_2$ और $F_1 F_2$ वृत्त $S$ की ऐसी जीवायें (chords) हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमश: $x$-अक्ष (axis) व $y$-अक्ष के समान्तर (parallel) हैं। माना कि $G_1 G_2, S$ की वह जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसकी प्रवणता (slope) -$1$ है। माना कि $E_1$ और $E_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ (tangents) $E_3$ पर मिलती हैं, $F_1$ और $F_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $F_3$ पर मिलती हैं, तथा $G_1$ और $G_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $G_3$ पर मिलती हैं। तब वह वक्र (curve) जिस पर बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ स्थित हैं, है
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $x y=4$
($2$) माना कि $P$ वृत्त $S$ पर स्थित एक ऐसा बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक (coordinates) धनात्मक (positive) हैं। माना कि वृत्त $S$ के बिंदु $P$ पर स्पर्शी (tangent) निर्देशांक अक्षों (coordinate axes) को बिन्दुओं $M$ और $N$ पर प्रतिच्छेद (intersects) करती है। तब वह वक्र (curve) जिस पर रेखाखंड (line segement) $M N$ का मध्य बिंदु (mid-point) अनिवार्य रूप से स्थित है, है
$(A)$ $(x+y)^2=3 x y$ $(B)$ $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=2^{4 / 3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2 x y$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2 y^2$
इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$
सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर संबंध $R,$ $ a$ $R$ $ b$ के द्वारा इस प्रकार परिभाषित है कि यदि और केवल यदि $|a - b| \le 1$, तब $R $ है
→शब्द ‘$PROPORTION’$ के $4$ अक्षरों की व्यवस्था कितने प्रकार से की जा सकती है
→दिए गए निम्न आँकड़ों पर बारंबारता बंटन के साथ (data with frequency distribution) विचार करें।
→$\mathrm{x}_{\mathrm{i}}$ $\ \ 3\ \ 8\ \ 11\ \ 10\ \ 5\ \ 4$
$\mathrm{f}_{\mathrm{i}}$ $\ \ 5 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 2 \ \ 4 \ \ 4$
List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि (entry) का List-$II$ की सही प्रविष्टियों (entries) से मिलान कीजिये।
| List-$I$ | List-$II$ |
| ($P$) उपरोक्त आँकड़ों का माध्य (mean) है | $(1) 2.5$ |
| ($Q$) उपरोक्त आँकड़ों की माध्यिका (median) है | $(2) 5$ |
| ($R$) उपरोक्त आँकड़ों का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन (mean deviation about the mean) है | $(3) 6$ |
| ($S$) उपरोक्त आँकड़ों का माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन (mean deviation about the median) है | $(4) 2.7$ |
| $(5) 2.4$ |
सही विकल्प है:
एक ताला खोलने के लिए एक निश्चित अंकों की संख्या ($000$ व $999$ के बीच) डायल करनी पड़ती है। एक अजनबी जो कोड नहीं जानता है, ताला खोलने का प्रयत्न करता है। वह तीन अंकों की संख्या डायल करता है तो उसके $k$ वें प्रयास में सफल होने की प्रायिकता है
→दी गयी आकृति में दो अर्धवृत्त दिखाये गए हैं। छोटे अर्धवृत्त के व्यास की लंबाई $1$ है और बड़े अर्धवृत्त के व्यास की लंबाई $2$ है। जो क्षेत्र छोटे अर्धवृत्त के भीतर परंतु बड़े अर्धवृत्त के बाहर है, उसे लून $(lune)$ कहते हैं और निम्नांकित आकृति में इसका छायाकरण किया गया है। लून के क्षेत्रफल का मान होगा:
→