Question
योग की सीमा से $\int_{0}^{1} e^{2 - 3x} dx$ को हल कीजिए।
✓
Answer
माना $f(x) = e^{2 - 3x},$ तब $\int_{0}^{1} e^{2 - 3}dx = \int_{0}^{1} f(x)dx$
हम जानते हैं कि
$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim \limits_{h \rightarrow 0} h[f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) + ... + f{a + (n - 1) h}]$
जहाँ, $h =\frac{b-a}{n}$
यहाँ, $a = 0, b = 1$ तथा $nh = 1$ तथा $f(x) = e^{2 - 3x}$
$\therefore f(0) = e^2; f(0 + h) = e^{2 - 3h}$
$\therefore \int_{0}^{1}e^{2 - 3x} dx = \lim \limits_{h \rightarrow 0} h[f(0) + f(0 + h) + f(0 + 2h) + ... + f{0 + (n - 1)h}]$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} h{e^2 + e^{2 - 3h} + e^{2 - 6h} + ... e^{2 - 3} {(n - 1)h}}$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} he^2 {1 + e^{-3h} + e^{-6h} + ... e^{-3(n - 1)h}}$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h e^{2}\left\{1-\left(e^{-3 h}\right)^{n}\right\}}{1-e^{-3 h}} ($जहाँ, $nh = 1) ($यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जहाँ $a = 1, r = |e^{-3h}| < 1)$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{2}\left[1-\left\{e^{-3(1)}\right\}\right]}{\frac{1-e^{-3 h}}{-3 h}(-3)} (\because nh = 1)$
$=\frac{e^{2}\left(1-e^{-3}\right)}{3 \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-3 h}-1}{-3 h}}=\frac{1}{3}\left(e^{2}-e^{-1}\right) \left(\because \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1\right)$
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$\therefore f(0) = e^2; f(0 + h) = e^{2 - 3h}$
$\therefore \int_{0}^{1}e^{2 - 3x} dx = \lim \limits_{h \rightarrow 0} h[f(0) + f(0 + h) + f(0 + 2h) + ... + f{0 + (n - 1)h}]$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} h{e^2 + e^{2 - 3h} + e^{2 - 6h} + ... e^{2 - 3} {(n - 1)h}}$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} he^2 {1 + e^{-3h} + e^{-6h} + ... e^{-3(n - 1)h}}$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h e^{2}\left\{1-\left(e^{-3 h}\right)^{n}\right\}}{1-e^{-3 h}} ($जहाँ, $nh = 1) ($यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जहाँ $a = 1, r = |e^{-3h}| < 1)$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{2}\left[1-\left\{e^{-3(1)}\right\}\right]}{\frac{1-e^{-3 h}}{-3 h}(-3)} (\because nh = 1)$
$=\frac{e^{2}\left(1-e^{-3}\right)}{3 \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-3 h}-1}{-3 h}}=\frac{1}{3}\left(e^{2}-e^{-1}\right) \left(\because \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1\right)$
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