MCQ

MCQ 11 Mark

यदि द्विधात बहुपद $a x^2+b x+c, c \neq 0$ के शून्यक बराबर हैं, तो

A
$c$ और $b$ एक ही चिन्ह के हैं
B
$c$ और $b$ विपरीत चिन्हों के हैं
C
$c$ और $a$ विपरीत चिन्हों के हैं
✓
$c$ और $a$ एक ही चिन्ह के हैं

Answer

Correct option: D.

$c$ और $a$ एक ही चिन्ह के हैं

यदि एक द्विघात बहुपद के शून्यक $a x^2+b x+c, c \neq 0$ बराबर हैं, तो $b^2-4 a c=0 \Rightarrow b^2=4 a c$. यहां $b^2$ हमेशा सकारात्मक होता है और यह तभी संभव है जब $a$ और $c$ दोनों धनात्मक हों या दोनों ऋणात्मक हों। अत: दोनों का चिन्ह समान होना चाहिए।

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MCQ 21 Mark

द्विघात बहुपद $x^2+k x+k, k \neq 0$ के शून्यक

A
दोनों ऋणात्मक नहीं हो सकते
✓
दोनों धनात्मक नहीं हो सकते
C
सदैव असमान होते हैं
D
सदैव बराबर होते हैं

Answer

Correct option: B.

दोनों धनात्मक नहीं हो सकते

मान लीजिए $p(x)=x^2+k x+k, k \neq 0$
$p(x)$ की तुलना $a x^2+b x+c$ से करने पर, हम पाते हैं कि $k(k-4)>0$
$a =1, b= k$ और $c = k$
$x =\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$
$=\frac{-k \pm \sqrt{k^2-4 k}}{2 \times 1}$
$=\frac{-k \pm \sqrt{k(k-4)}}{2}, k \neq 0$
$\Rightarrow k \in(-\infty, 0) \cup(4, \infty)$
द्विघात बहुपद $a x^2+b x+c$ में यदि $a>0, b>0, c>0$ या $a<0, b<0, c<0$, तो बहुपद में हमेशा सभी ऋणात्मक शून्यक होते हैं। और यदि $a>0, c<0$ या $a<0, c>0$, तो बहुपद में हमेशा विपरीत चिह्न वाले शून्यक होते हैं।
केस $I:$ यदि $k \in(-\infty, 0)$ i.e., $k <0$
$\Rightarrow a=1 > 0, b, c=k < 0$
तो, दोनों शून्य विपरीत चिह्न $k$ हैं।
केस $II:$ यदि $k \in(-\infty, 0)$ i.e., $k \geq 4$
$\Rightarrow a=1 > 0, b, c > 4$
अतः दोनों शून्य ऋणात्मक हैं।
अत: किसी भी स्थिति में दिए गए द्विघात बहुपद के शून्यक दोनों धनात्मक नहीं हो सकते।

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MCQ 31 Mark

द्विघात बहुपद $x^2+99 x+127$ के शून्यक हैं

A
दोनों धनात्मक
B
दोनों बराबर
C
एक धनात्मक और एक ऋणात्मक
✓
दोनों ऋणात्मक

Answer

Correct option: D.

दोनों ऋणात्मक

दिया गए द्विघात बहुपद है।
$f(x)=x^2+99 x+127$
विविक्तकर नियम से,
$x=\frac{-99 \pm \sqrt{(99)^2-4(1)(127)}}{2(1)}=\frac{-99 \pm \sqrt{9801-508}}{2}$
$=\frac{-99 \pm \sqrt{9293}}{2}=\frac{-99 \pm 96.40}{2}$
धनात्मक (+) चिह्न लेने पर,
$x=\frac{-99+96.4}{2}=\frac{-2.6}{2}=-1.3$
ऋणात्मक (-) चिह्न लेने पर,
$x=\frac{-99-96.40}{2}=\frac{-195.40}{2}=-97.7$
अतः दोनों शून्यक ऋणात्मक हैं।

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MCQ 41 Mark

यदि त्रिघात बहुपद $x^3+a x^2+b x+c$ का एक शून्यक -1 है, तो अन्य दोनों शून्यकों का गुणनफल है

A
b - a - 1
✓
b - a + 1
C
a - b - 1

Answer

Correct option: B.

b - a + 1

$\alpha, \beta, \gamma$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।
दिया गया: $\alpha=-1$
ज्ञात करना है: $\beta \gamma$
हमें ज्ञात है: $\alpha+\beta+\gamma=\frac{-b}{a} \Rightarrow-1+\beta+\gamma=\frac{-a}{1}$
$\Rightarrow$ $\beta+\gamma=-a+1$ ...(i)
इसके अलावा, $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a}$
$\Rightarrow$ $(-1) \beta+\beta \gamma+(-1) \gamma=\frac{b}{1}$
$\Rightarrow$ $-\beta+\beta \gamma-\gamma$ = b
$\Rightarrow$ $\beta \gamma-(\beta+\gamma)=b$
$\Rightarrow$ $\beta \gamma-(-a+1)$ = b [(i)]
$\Rightarrow$ $\beta \gamma$ = b - a + 1

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MCQ 51 Mark

त्रिघात बहुपद $a x^3+b x^2+c x+d$ का एक शून्यक $0$ दिया हुआ है। अन्य दोनों शुन्यकों का गुणनफल है

✓
$\frac{c}{a}$
B
$-\frac{b}{a}$
C
$0$
D
$-\frac{c}{a}$

Answer

Correct option: A.

$\frac{c}{a}$

माना त्रिघातीय बहुपद $a x^3+b x^2+c x+d$ के शून्यक क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ है।
दिया है, $\alpha=0$
यहाँ, $\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$
$\Rightarrow \beta+\gamma=-\frac{b}{a}(\because \alpha=0) \ldots \text { (i) }$
और $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a} \ldots....(ii)$
$\alpha=0$ को $(ii)$ में रखने पर,
$\beta \gamma=\frac{c}{a}$

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MCQ 61 Mark

शून्यक $-2$ और $5$ वाले बहुपदों की संख्या है

A
$3$
B
$2$
C
$1$
✓
$3$ से अधिक

Answer

Correct option: D.

$3$ से अधिक

$-2$ और $5$ के रूप में शून्य वाले बहुपद संख्या $3$ से अधिक है। यदि ' $S$ ' योग है और ' $P$ ' शून्यों का गुणनफल है तो द्विघात बहुपद का संगत परिवार किसके द्वारा दिया जाता है $p(x)=k\left(x^2-S x+P\right)$ जहां $k$ कोई वास्तविक संख्या है। इसलिए $K$ के विभिन्न मान डालने पर, हम $3$ से अधिक बहुपद बना सकते हैं।

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MCQ 71 Mark

यदि द्विघात बहुपद $x^2+(a+1) x+b$ के शून्यक $2$ और $-3$ हैं, तो

A
$a =2, b=-6$
B
$a=-7, b=-1$
C
$a=5, b=-1$
✓
$a=0, b=-6$

Answer

Correct option: D.

$a=0, b=-6$

एक बहुपद के शून्यक $x$ के वे मान होते हैं जिन पर बहुपद शून्य के बराबर होता है। 2 और -3 बहुपद के शून्यक हैं
$p(x)=x^2+(a+1) x+b$
अर्थात $p(2)=0$ और $p(-3)=0$
$p(2)=(2)^2+(a+1)(2)+b=0$
$\Rightarrow 4+2 a+2+b=0$
$\Rightarrow 6+2 a+b=0 \ldots \text { (i) }$
$P(-3)=(-3)^2+(a+1)(-3)+b=0$
$\Rightarrow 9-3 a-3+b=0$
$\Rightarrow 6-3 a+b=0 \ldots \text { (ii) }$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर, क्योंकि दोनों समीकरण शून्य के बराबर हैं।
$\therefore 6+2 a+b=6-3 a+b$
$\Rightarrow 5 a=0$
$\Rightarrow a=0$
' $a$ ' के मान को $(i)$ में रखने पर
$6+2(0)+b=0$
$b=-6$

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MCQ 81 Mark

शून्यक $-3$ और $4$ वाला द्विघात बहुपद है

A
$2 x^2+2 x-24$
B
$x^2+x+12$
C
$x^2-x+12$
✓
$x^2-x-12$

Answer

Correct option: D.

$x^2-x-12$

यहाँ, $\alpha=-3$ और $\beta=4$
तब $\alpha+\beta=-3+4=1 ; \alpha \beta=(-3) \times 4=-12$
$\therefore$ द्विघातीय बहुपद $=x^2$ - शून्यकों का योगफल $+$ (शून्यकों का गुणनफल)
$=x^2-(1) x+(-12)=x^2-x-12$

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MCQ 91 Mark

निम्नलिखित में से कौन एक द्विघात बहुपद का आलेख नहीं है?

Answer

Correct option: D.

द्विघात बहुपद का आकार या तो ऊपर की ओर या नीचे की ओर U-आकार का वक्र होता है, अर्थात ऊपर या नीचे परवलय। साथ ही, द्विघात समीकरण का ग्राफ X-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर काटता है, लेकिन दी गई आकृति में यह X-अक्ष को तीन बिंदुओं पर काटता है।
$\therefore$ अतः यह एक द्विघात बहुपद का आलेख नहीं है।

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MCQ 101 Mark

यदि $x^2+a x+b$ के रूप के एक द्विघात बहुपद का एक शून्यक दूसरे शून्यक का ऋणात्मक हो, तो

A
इसका रैखिक पद हो सकता है, परंतु अचर पद ऋणात्मक होता है
✓
इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है
C
इसका रैखिक पद हो सकता है, परंतु अचर पद धनात्मक होता है
D
इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद धनात्मक होता है

Answer

Correct option: B.

इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है

दिया गया द्विघात बहुपद है, $p(x)=x^2+a x+b$
मान लीजिए बहुपद के शून्यक में से एक ' $a$ ' है तो दूसरा शून्यक $-a$ होगा।
शून्यों का योग $= a +(- a )=\frac{-a}{1}$
$\Rightarrow 0=\frac{-a}{1} \Rightarrow a=0$
और शून्य का उत्पाद $a(-a)=\frac{b}{1}$
$\Rightarrow b=-a^2$
$\therefore$ दिया गया बहुपद का कोई रैखिक पद नहीं है और अचर पद ' $b$ ' ऋणात्मक होना चाहिए।

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MCQ 111 Mark

यदि द्विघात बहुपद $(k-1) x^2+k x+1$ के शून्यकों में से एक शून्यक $-3$ है, तो $k$ का मान है।

A
$\frac{2}{3}$
✓
$\frac{4}{3}$
C
$\frac{-2}{3}$
D
$\frac{-4}{3}$

Answer

Correct option: B.

$\frac{4}{3}$

दिया है, बहुपद $f(x)$ का एक शून्यक -3 है।
तब $f (-3)=0$
$\Rightarrow( k -1)(-3)^2+ k (-3)+1=0$
$\Rightarrow( k -1)(9)-3 k +1=0$
$\Rightarrow 9 k -9-3 k +1=0$
$\Rightarrow 9 k -3 k -8=0$
$\Rightarrow 6 k =8$
$\Rightarrow k =\frac{4}{3}$

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MCQ 121 Mark

त्रिघात बहुपद $a x^3+b x^2+c x+d$ के दो शून्यक 0 दिए हैं। तीसरा शून्यक है