गणित दीर्घ उत्तरीय प्रश्न [5M]

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 3x + 3.5y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 240 ...(ii)
3x + 1.5y $\geq$ 270 ...(iii)
1.5x + 2y $\leq$ 310 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 240 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 240 में रखने पर
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 240 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 240 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 1.5y = 270 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 1.5y $\geq$ 270 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 1.5 $\times$ 0 $\geq$ 270 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 270 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 1.5x + 2y = 310 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 1.5x + 2y $\leq$ 310 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 310 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 310 (जोकि सत्य हैं)
अतः रेखा 3x + 1.5y = 270 तथा 1.5x + 2y = 310 का प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 140), रेखा 1.5x + 2y = 310 तथा x + 2y = 240 का प्रतिच्छेद बिंदु A(140, 50) तथा रेखा x + 2y = 240 तथा 3x + 1.5y = 270 का प्रतिच्छेद बिंदु C(40, 100) है।
चूँकि, x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु C(40, 100),  A(140, 50) तथा B(20, 140) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का अधिकतम मान बिंदु A(140, 50) पर 595 प्राप्त होता है। अतः बाग में मिलाई गई नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 किग्रा प्राप्त करने के लिए P ब्रांड के 140 थैले तथा Q ब्रांड के 50 थैले प्रयोग करने चाहिए।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 3x + 3.5y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 240 ...(ii)
3x + 1.5y $\geq$ 270 ...(iii)
1.5x + 2y $\leq$ 310 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 240 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 240 में रखने पर
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 240 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 240 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 1.5y = 270 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 1.5y $\geq$ 270 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 1.5 $\times$ 0 $\geq$ 270 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 270 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 1.5x + 2y = 310 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 1.5x + 2y $\leq$ 310 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 310 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 310 (जोकि सत्य हैं)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर  होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
समीकरण 1.5x + 2y = 310 तथा x + 2y = 240 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(140, 50) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समीकरण 3x + 1.5y = 270 तथा 1.5x + 2y = 310, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 140) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(140, 50), B(20, 140) तथा C(40, 100) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का निम्नतम मान बिंदु C(40, 100) पर 470 प्राप्त होता है। बाग में नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा 470 किग्रा मिलाई जाने कि लिए, ब्रांड P के 40 थैलों तथा ब्रांड Q के 100 थैले का प्रयोग करना चाहिए।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 7000 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 100 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 7000 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x = 4500 का ग्राफ खीचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 4500 में रखने पर,
0 $\leq$ 4500 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतिल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x + y = 3500 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 3500 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 3500 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 3500 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा y = 3000 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका y $\leq$ 3000 में रखने पर,
0 $\leq$ 3000 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा। समीकरणों के प्रतिच्छेद बिंदु C(4500, 2500), D(4500, 3000) तथा E(500, 3000) प्राप्त होते हैं।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCDEA है।   
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(3500, 0), B(4500, 0), C(4500, 2500), D(4500, 3000) तथा E(500, 3000) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का निम्नतम मान बिंदु E(500, 3000) पर 4400 प्राप्त होता है। अतः निम्नतम परिवहन लागत प्राप्त करने के लिए डिपो A से 500 लीटर, 3000 लीटर तथा 3500 लीटर पेट्रोल क्रमशः पेट्रोल पंप D, E तथा F को उपलब्ध कराना चाहिए तथा डिपो B से 4000 लीटर 0 लीटर तथा 0 लीटर पेट्रोल क्रमशः पेट्रोल पंप D, E तथा F को उपलब्ध कराना चाहिए।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 100 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 100 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 100 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x = 60 का ग्राफ खींचते है।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 60 में रखने पर, 0 $\leq$ 60 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब; रेखा x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 60 में रखने पर, 0 + 0 $\geq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 60 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरित ओर होगा।
अब, रेखा y = 50 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका y $\leq$ 50 में रखने पर 0 $\leq$ 50 प्राप्त होता है। (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा। समीकरणों के प्रतिच्छेद बिंदु A(60, 0), B(60, 40), C(50, 50) तथा D(10, 50) प्राप्त होते हैं। अतः सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(60, 0), B(60, 40), C(50, 50) तथा D(10, 50) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का निम्नतम मान बिंदु D(10, 50) पर 510 है। अतः भंडार A से दुकान D, E तथा F को क्रमशः 10 क्विंटल, 50 क्विंटल तथा 40 क्विंटल अन्न उपलब्ध कराया जाता है तथा B से दुकान E तथा F का क्रमशः 50 क्विंटल, 0 क्विंटल तथा 0 क्विंटल अन्न उपलब्ध कराया जाता है, तो निम्नतम लागत ₹ 510 होती है।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 1000x + 600y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + y $\leq$ 200 ...(ii)
x $\geq$ 20 ...(iii)
y - 4x $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ y $\geq$ 4x ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम रेखा x + y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।

 
(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 200 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा y = 4x का ग्राफ खींचते हैं।

(10, 0) असमिका y $\geq$ 4x में रखने पर,
0 $\geq$ 4 $\times$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 40 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x = 20 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\geq$ 20 में रखने पर, 0 $\geq$ 20 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरणों को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(20, 80), B(40, 160) तथा C(20, 180) प्राप्त होते है, अतः सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिन्दु A(20, 80), B(40, 160) तथा C(20, 180) है। इन शीर्ष बिन्दुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान बिंदु B(40, 160) पर 136000 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लागत ₹136000 प्राप्त करने के लिए प्रथम श्रेणी के 40 टिकट तथा सस्ती श्रेणी के 160 टिकटों की आवश्यकता होगी।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 7.50x + 5y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
12x + 6y $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\leq$ 60 ...(ii)
18x $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ x $\leq$ 20 ...(iii)
6x + 9y $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y $\leq$ 120 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 60 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 60 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा 2x + 3y = 120 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + 3y $\leq$ 120 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 3 $\leq$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा x = 20 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 20 में रखने पर, 0 $\leq$ 20 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0
सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
समीकरण 2x + y = 60 तथा 2x + 3y = 120 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(15, 30) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समीकरण x = 20 तथा 2x + y = 60 का हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 20) प्राप्त होता है, अतः सुसंगत क्षेत्र OABCDO है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(20, 0), B(20, 20), C(15, 30) तथा D(0, 40) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान बिंदु C(15, 30) पर 721.5 प्राप्त होता है, अतः अधिकतम लागत 712.5 प्राप्त करने के लिए A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने बनाना चाहिए।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 16x + 20y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 10 ...(ii)
2x + 2y $\geq$ 12 $\Leftrightarrow$ x + y $\geq$ 6 ...(iii)
3x + y $\geq$ 8 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, x + 2y = 10 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 10 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 10 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + y = 6 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 6 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + y = 8 का ग्राफ खींचते हैं,

 (0, 0) असमिका x + y $\geq$ 8 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 8 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 8 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0 अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण x + y = 6 तथा x + 2y = 10 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(2, 4) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, समीकरण 3x + y = 8 तथा x + y = 6 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(1, 5) प्राप्त होता है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(10, 0), B(2, 4), C(1, 5) तथा D(0, 8) है। अतः इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अतः Z का निम्नतम मान 112 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका 16x + 20y < 112 या 4x + 5y < 28 का ग्राफ खींचते हैं और परीश्रण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का कोई बिंदु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ है या नहीं है। स्पष्ट है कि यहाँ कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है। अतः Z का निम्नतम मान बिंदु B(2, 4) पर 112 है। अतः निम्नतम लागत 112 प्राप्त करने के लिए भोज्य X के 2 किग्रा तथा भोज्य Y के 4 किग्रा का मिश्रण प्राप्त करना चाहिए।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 250x + 200y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
3x + 1.5y $\geq$ 18 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\geq$ 12 ...(ii)
2.5x + 11.25y $\geq$ 45 $\Leftrightarrow$ 2x + 9y $\geq$ 36 ...(iii)
2x + 3y $\geq$ 24 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 1.5y = 18 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 1.5y $\geq$ 18 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 1.5 $\times$ 0 $\geq$ 18 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 18 (जोकि असत्य है।)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 2.5x + 11.25y = 45 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2.5x + 11.25y $\geq$ 45 में रखने पर
2.5 $\times$ 0 + 11.25 $\times$ 0 $\geq$ 45 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 45 (जोकि असत्य है।)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 2x + 3y = 24 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + 3y $\geq$ 24 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\geq$ 24 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 24 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरित ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा। समीकरण 3x + 1.5y = 18 तथा 2x + 3y = 24 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(3, 6) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, समीकरण 2.5x + 11.25y = 45 तथा 2x + 3y = 24 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(9, 2) प्राप्त होता है। इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(18, 0), B(9, 2), C(3, 6) तथा D(0, 12) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न हैं।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 1950 हो भी सकती है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका 250x + 200y < 1950 या 5x + 4y < 39 का ग्राफ खीचते हैं। अब परीक्षण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का कोई बिंदु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ है या नहीं है। यहाँ स्पष्ट है कि कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, अतः Z का निम्नतम मान बिंदु C(3, 6) पर 1950 प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम लागत ₹1950 प्राप्त करने के लिए P प्रकार के चारे के 3 थैले, Q प्रकार के चारे के 6 थैले मिश्रण में प्रयोग करने चाहिए।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 1200 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 1200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 1200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x - 2y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।

(200, 0) असमिका x - 2y $\geq$ 0 में रखने पर,
200 - 2 $\times$ 0 $\geq$ 0 $\Rightarrow$ 200 $\geq$ 0 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल X-अक्ष की ओर है।
अब रेखा x - 3y = 600 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x - 3y $\leq$ 0 में रखने पर,
0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 600 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 600 (जोकि सत्य है) 
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
रेखा x - 3y = 600 तथा x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिंदु B(1050, 150) तथा रेखा x = 2y तथा x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिंदु C(800, 400) है।
मान लीजिए कुल लाभ Z है, तब Z = 12x + 16y
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(600, 0), B(1050, 150) तथा C(800, 400) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z के माना निम्न है।

Z का अधिकतम मान C(800, 400) पर 16000 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लाभ ₹16000 प्राप्त करने के लिए A प्रकार की 800 गुडियों तथा B प्रकार की 400 गुड़ियों का निर्माण करना चाहिए।

अतः हमको उद्देश्य फलन z = 6x + 3y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
12x + 3y $\geq$ 240 $\Leftrightarrow$ 4x + y $\geq$ 80 ...(ii)
4x + 20y $\geq$ 460 $\Leftrightarrow$ x + 5y $\geq$ 115 ...(iii)

6x + 4y $\leq$ 300 $\Leftrightarrow$ 3x + 2y $\leq$ 150 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा 4x + y = 80 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 4x + y $\geq$ 80 में रखने पर, 4 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 80 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 80 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + 5y = 115 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 5y $\geq$ 115 में रखने पर,
0 + 5 $\times$ 0 $\geq$ 115 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 115 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 2y = 150 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 150 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 150 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 150 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर स्थित है। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थाश में सिथत है। समीकरण 4x + y = 80 तथा x + 5y = 115 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु A(15, 20) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, समीकरण 3x + 2y = 150 तथा x + 5y = 115 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B(40, 15) प्राप्त होता है, अतः सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(15, 20), B(40, 15) तथा C(2, 72) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान बिंदु B(40, 15) पर 285 है। अतः विटामिन A की अधिकतम मात्रा प्राप्त करने के लिए भोज्य P के 40 पैकेज तथा भोज्य Q के 15 पैकेज तैयार करने चाहिए। अतः विटामिन A की अधिकतम मात्रा 285 है।

F₁ भोज्य की लागत ₹4 प्रति इकाई तथा F₂ भोज्य की लागत ₹6 प्रति इकाई है।
अतः उद्देश्य फलन Z = 4x + 6y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
3x + 6y $\geq$ 80 ...(ii)
4x + 3y $\geq$ 100 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 6y = 80 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 6y $\geq$ 80 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 6 $\times$ 0 $\geq$ 80 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 80 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अंतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
अब, रेखा 4x + 3y = 100 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 4x + 3y $\geq$ 100 में रखने पर,
4 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\geq$ 100
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 100 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
समीकरण 3x + 6y = 80 तथा 4x + 3y = 100 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(24, $\frac{4}{3}$) प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A$\left(\frac{80}{3}, 0\right)$, B$\left(24, \frac{4}{3}\right)$ तथा C$\left(0, \frac{100}{3}\right)$ हैं। इन बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 104 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका 4x + 6y < 104 या 2x + 3y $\leq$ 52 का ग्राफ खींचते हैं तथा परीक्षण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं है। यहाँ, कोई उभयनिष्ठ बिंदु नही है, अतः मिश्रण की निम्नतम लागत ₹ 104 है।

डेस्कटॉप नमूने की कीमत ₹25000 तथा पोर्टेबल नमूने की कीमत ₹40000 है, जबकि सौदागर अधिकतम ₹70 लाख निवेश कर सकता है।
$\therefore$ 25000x + 40000y $\leq$ 7000000
अतः उद्देश्य फलन Z = 4500x + 5000y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + y $\leq$ 250 ...(ii)
25000x + 40000y $\leq$ 7000000 $\Leftrightarrow$ 5x + 8y $\leq$ 1400 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
सबसे पहले रेखा 5x + 8y = 1400 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 5x + 8y $\leq$ 1400 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 8 $\times$ 0 $\leq$ 1400 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 1400 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा x + y = 250 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 250 में रखने पर, 0 + 0 $\leq$ 250 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 250 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण x + y = 250 तथा 5x + 8y = 1400 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(200, 50) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(250, 0), B(200, 50) तथा C(0, 175) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का अधिकतम मान बिंदु B(200, 50) पर 1150000 प्राप्त होता है। अतः Z का अधिकतम मान 1150000 प्राप्त करने के लिए 200 डेस्कटॉप कंप्यूटर तथा 50 पोर्टेबल कंप्यूटर उत्पादित करने चाहिए।

A प्रकार के स्मृति चिह्न पर ₹5 तथा B प्रकार के स्मृति चिह्न पर ₹6 का लाभ प्राप्त होता है।
$\therefore$ हमको उद्देश्य फलन Z = 5x + 6y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
5x + 8y $\leq$ 200 ...(ii)
10x + 8y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 5x + 4y $\leq$ 120 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सबसे पहले रेखा 5x + 8y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।

 
(0, 0) असमिका 5x + 8y $\leq$ 200 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 8 $\times$ 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा 5x + 4y = 120 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 5x + 4y $\leq$ 120 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 4 $\times$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 5x + 8y = 200 तथा 5x + 4y = 120, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(8, 20) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(24, 0), B(8, 20) तथा C(0, 25) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का अधिकतम गान बिंदु B(8, 20) पर ₹160 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लाभ ₹160 प्राप्त करने के लिए A प्रकार के स्मृति चिह्न तथा B प्रकार के 20 स्मृति चिह्न उत्पादित करने चाहिए।

लैंप पर ₹5 तथा शेड पर ₹3 का लाभ प्राप्त होता है।
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 5x + 3y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
2x + y $\leq$ 12 ...(ii)
3x + 2y $\leq$ 20 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सबसे पहले रेखा 2x + y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।

 
(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 12 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 12
$\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा 3x + 2y = 20 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 20 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 20 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 20 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 2x + y = 12 तथा 3x + 2y = 20 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 4) प्राप्त होता है। अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(6, 0), B(4, 4) तथा C(0, 10) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का बिंदु B(4, 4) पर अधिकतम मान ₹32 है। अतः अधिकतम लाभ कमाने के लिए निर्माणकर्ता को 4 पैडेस्टल लैंप तथा 4 लकडी के शेड उत्पादित करने चाहिए।

पेंच A के एक पैकेट पर ₹7 तथा पेंच B के एक पैकेट पर ₹10 का लाभ होता है।
हमको उद्देश्य फलन Z = 7x + 10y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
4x + 6y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y $\leq$ 120 ...(ii)
6x + 3y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\Leftrightarrow$ 80 ...(iii)
तथा x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + 3y = 120 का ग्राफ खींचते है।

(0, 0) असमिका 2x + 3y $\leq$ 120 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 120
$\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा 2x + y = 80 का ग्राफ खींचते हैं।

 (0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 80 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 80 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 80 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण 2x + 3y = 120 तथा 2x + y = 80, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(30, 20) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(40, 0), B(30, 20) तथा C(0, 40) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः बिंदु B(30, 20) पर 2 का अधिकतम मान ₹410 है। अतः अधिकतम लाभ ₹410 प्राप्त करने के लिए कारखाना पेंच A के 30 पैकेट तथा पेंच B के 20 पैकेट उत्पादित करेगा।

$\therefore$ कुल लागत, Z = 17.5x + 7y अर्थात् हमको उद्देश्य फलन
Z = 17.5x + 7y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 3y $\leq$ 12 ...(ii)
3x + y $\leq$ 12 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा x + 3y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 3y $\leq$ 12 में रखने पर,
0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है। अब, रेखा 3x + y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 12 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण x + 3y = 12 तथा 3x + y = 12 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(3, 3) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है। इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(4, 0), B(3, 3) तथा C(0, 4) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का बिंदु (3, 3) पर अधिकतम मान ₹73.50 है, अतः अधिकतम लाभ ₹73.50 प्राप्त करने के लिए प्रत्येक दिन 3 पैकेट नट तथा 3 पैकेट बोल्ट उत्पाटित किए जाने चाहिए। 

42 घंटे से अधिक यांत्रिक समय उपलब्ध नहीं है।
$\therefore$ 1.5x + 3y $\leq$ 42
24 घंटे से अधिक शिल्पकार का समय उपलब्ध नहीं है
$\therefore$ 3x + y $\leq$ 24
रैकेट पर लाभ ₹20 तथा बल्ले पर ₹10 है।
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 20x + 10y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
1.5x + 3y $\leq$ 42 ...(ii)
3x + y $\leq$ 24 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 1.5x + 3y = 42 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 1.5x + 3y $\leq$ 42 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 42 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 42 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा 3x + y = 24 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 24 में रखने पर, 3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 24 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 24 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 1.5x + 3y = 42 तथा 3x + y = 24 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 12) प्राप्त होता है। अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार-सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(8, 0), B(4, 12) तथा C(0, 14) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः अधिकतम लाभ, जबकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करें, ₹200 है।

हमको उद्देश्य फलन Z = x + y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
200x + 100y $\leq$ 5000 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\leq$ 50 ...(ii)
25x + 50y $\leq$ 1000
$\Leftrightarrow$ x + 2y $\leq$ 40 ...(iii)
तथा x, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 50 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 50 में रखने पर, 2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 50 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 50 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x + 2y = 40 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 40 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 40 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 40 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण 2x + y = 50
तथा x + 2y = 40 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 10) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(25, 0), B(20, 10) तथा C(0, 20) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

 कुल केकों की संख्या 30 है, जहाँ 20 एक प्रकार के तथा 10 दूसरे प्रकार के केक हैं।

उर्वरक की कुल लागत, Z = 6x + 5y
अतः उद्देश्य फलन Z = 6x + 5y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
$\frac{x}{10}+\frac{y}{20} \geq 14 \Leftrightarrow$ 2x + y $\geq$ 280 ...(ii)
तथा $\frac{6 x}{100}+\frac{10 y}{100} \geq14\Leftrightarrow$ 3x + 5y $\geq$ 700 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 280 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + y $\geq$ 280 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 280 $\Rightarrow$ 0 $​​\geq$ 280 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की विपरीत ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा 3x + 5y = 700 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 5y $\geq$ 700 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 5 $\times$ 0 $\geq$ 700 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 700 (जोकि असत्य है) 
अतः अर्द्धतव मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
समीकरण 2x + y = 280 तथा 3x + 5y = 700 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(100, 80) प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।

इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A$\left(\frac{700}{3}, 0\right)$, B(100, 80) तथा C(0, 280) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र आपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 100 हो भी सकता है तथा नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका 6x + 5y < 1000 का ग्राफ खींचते हैं और परीक्षण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का कोई बिंदु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ है या नहीं हैं यहाँ, कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है, अतः निम्नतम लागत ₹1000 प्राप्त करने के लिए उर्वरक F₁ के 100 किग्रा तथा F₂ के 80 किग्रा मात्रा प्रयोग करनी चाहिए।

मिश्रण में कम-से-कम 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B होगा। अतः खरीदे गए भोज्य की कुल लागत Z = 60x + 80y है।
दी गई रैखिक प्रक्रमन का गणितीय रूप निम्न है।
हमको उद्देश्य फलन Z = 60x + 80y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
3x + 4y $\geq$ 8 ...(ii)
5x + 2y $\geq$ 11 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 4y = 8 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 4y $\geq$ 8 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 4 $\times$ 0 $\geq$ 8
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 8 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर स्थित है।
अब, रेखा 5x + 2y = 11 का ग्राफ खींचते हैं।

  
(0, 0) असमिका 5x + 2y $\geq$ 11 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 11 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 11 (जो कि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर स्थित होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
समीकरण 3x + 4y = 8 तथा 5x + 2y = 11 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A$\left(\frac{8}{3}, 0\right),$ B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ तथा C$\left(0, \frac{11}{2}\right)$ है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 160 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए हम असमिका 60x + 80y < 160 या 3x + 4y < 8 का ग्राफ खींचते हैं तथा यह परीक्षण करते हैं कि इससे प्राप्त अर्द्धतल का सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं हैं, जोकि यहाँ नही है। अतः मिश्रण की निम्नतम लागत ₹ 160 है जोकि बिंदुओं A$\left(\frac{8}{3}, 0\right)$ तथा B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ को जोंड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होती है।

 
(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 5 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 5 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 5 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + 2y = 6 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 6
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, समीकरण -x + 2y = 1 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका -x + 2y > 1 में रखने पर,
-0 + 2 $\times$ 0 > 1 $\Rightarrow$ 0 > 1 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
चूँकि x $\geq$ 3, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
रेखा x = 3 तथा -x + 2y = 1 पर प्रतिच्छेद बिंदु C(3, 2) तथा रेखा x + 2y = 6 तथा x + y = 5 पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 1) है। स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(6, 0), B(4, 1) तथा C(3, 2) हैं तथा इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का अधिकतम मान 1 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है इसके लिए असमिका -x + 2y $\geq$ 1 का ग्राफ खींचते हैं तथा यह परीक्षण करते हैं कि इससे प्राप्त अर्द्धतल तथा सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नही है। यहाँ, प्राप्त अर्द्धतल तथा सुसंगत क्षेत्र में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, अतः Z = 1 अधिकतम मान नहीं है। अतः Z का कोई अधिकतम मान नहीं है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 100 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 100
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 100 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब, रेखा 2x - y = 0 का ग्राफ खींचते हैं। 

(5, 0) असमिका 2x - y $\leq$ 0 में रखने पर,
2 $\times$ 5 - 0 $\leq$ 0 $\Rightarrow$ 10 $\Rightarrow$ 0 (जोकि असत्य है)

अतः अर्द्धतल Y-अक्ष की ओर है।
अब, रेखा 2x + y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2 x + y $\leq$ 200 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है। समीकरण 2x - y = 0 तथा x + 2y = 100 हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B(20, 40) तथा समीकरण 2x - y = 0 तथा 2x + y = 200 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु C(50, 100) होता होता है।
अतः सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(0, 50), B(20, 40), C(50, 100) तथा D(0, 200) हैं। इन शीर्ष बिंन्दुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का अधिकतम मान 400 है जोकि D(0, 200) पर प्राप्त होता है तथा Z का निम्नतम मान 100 है जोकि बिंदुओं A(0, 50) तथा B(20, 40) को जोड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।

 
(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 120 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अब, रेखा x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं। 

 (0, 0) असमिका x + y $\geq$ 60 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 60 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब, रेखा x - 2y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।

(5, 0) असमिका x - 2y $\geq$ 0 में रखने पर,
5 - 2 $\times$ 0 $\geq$ 0 $\Rightarrow$ 5 $\geq$ 0 (जोकि सत्य है)
जोकि X-अक्ष के ऊपर है। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
समीकरण x - 2y = 0 तथा x +y = 60 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु D(40, 20) तथा
समीकरण x - 2y = 0 तथा x + 2y = 120 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(60, 30) प्राप्त होता है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(60, 0), B(120, 0), C(60, 30) तथा D(40, 20) हैं। इन बिंदुओं पर Z का मान निम्न हैं।

Z का निम्नतम मान 300 है जोकि बिंदु (60, 0) पर प्राप्त होता है। तथा Z का अधिकतम मान 600 है जोकि बिंदु (120, 0) तथा (60, 30) को जोड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।

 
(0, 0) असमिका 2x + y $\geq$ 3 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 3
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 3 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
अब, रेखा x + 2y = 6 का ग्राफ खींचते है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 6 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब रेखा x + 2y = 6 तथा 2x + y = 3 का प्रतिच्छेद बिंदु B(0, 3) है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(6, 0) तथा B(0, 3) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

यहाँ, बिंदु A तथा B पर Z का मान समान है। यदि रेखा x + 2y = 6 पर बिंदु (2, 2) रखे, तो Z = 6 प्राप्त होता है, अतः Z का निम्नतम मान दो या दो से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त होता है। अतः Z का निम्नतम मान रेखा x + 2y = 6 के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 10 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 10 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0,
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में हैं।
अब, रेखा 3x + y = 15 का ग्राफ खींचते है।

(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 15 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 15 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 15 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है
समीकरण x + 2y = 10 तथा 3x + y = 15 को हल करने पर, x = 4 तथा y = 3 प्राप्त होते हैं।
$\therefore$ प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 3) है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(5, 0), B(4, 3) तथा C(0, 5) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान 7 है जोकि बिंदु B(4, 3) पर है।

(0, 0) असमिका x + 3y $\geq$ 0, में रखने पर,
0 + 3 $\times$ 0 $\geq$ 3 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 3 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है। चूँकि बिंदु x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा x + y = 2 का ग्राफ खींचते हैं।  

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 2, में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 2 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 2 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है। स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
समीकरण x + y = 2 तथा x + 3y = 3 को हल करने पर, x = $\frac{3}{2}$ तथा y = $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\therefore$ प्रतिच्छेद बिंदु B$\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(3, 0), B$\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ तथा C(0, 2) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबंद्ध है। अतः Z का निम्नतम मान 7 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। असमिका 3x + 5y < 7 का ग्राफ खींचकर देखते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल तथा सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं।
अतः सुसंगत क्षेत्र में 3x + 5y < 7 के अर्द्धतल में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः Z का निम्नतम मान 7 है जोकि बिंदु $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका 3x + 5y $\leq$ 15 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 5 $\times$ 0 $\leq$ 15 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 15 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र पथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा 5x + 2y = 10 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 5x + 2y $\leq$ 10 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 10 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर हैं।
समीकरण 3x + 5y = 15 तथा 5x + 2y = 10 को हल करने पर,
x = $\frac{20}{19}$ तथा y = $\frac{45}{19}$ प्राप्त होता हैं।
अतः बिंदु B के निर्देशांक $\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ हैं।
अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(2, 0), B$\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ तथा C(0, 3) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान $\frac{235}{19}$ है जोकि बिंदु $B\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 8 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 8 $\Rightarrow $ 0 $\leq$ 8 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर स्थित है।
चूँकि, x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।
अब, रेखा 3x + 2y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 12 में रखने पर,
3 $\times$ 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
समीकरण x + 2y = 8 तथा 3x + 2y = 12 को हल करने पर, x = 2 तथा y = 3 प्राप्त होता है।
$\therefore$ प्रतिच्छेद बिंदु B(2, 3) है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(4, 0), B(2, 3) तथा (0, 4) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का निम्नतम मान -12 है जोकि बिंदु A(4, 0) पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका x - y $\leq$ -1 में रखने पर
0 - 0 $\leq$ -1 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ -1 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा -x + y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।

(2, 0) असमिका -x + y $\leq$ 0 में रखने पर,
-2 + 0 $\leq$ 0 $\Rightarrow$ -2 $\leq$ 0 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल x-अक्ष की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
ग्राफ से स्पष्ट हैं कि दोनो रेखाओं के सुसंगत क्षेत्र में कोई भी क्षेत्र उभयनिष्ठ नहीं है। अतः इस रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र विद्यमान नही है, अतः Z का कोई अधिकतम मान नही हैं।

असमिका x + y $\leq$ 4 में (0, 0) रखने पर, 0 + 0 $\leq$ 4 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 4 (जो कि सत्य है)।
अतः अर्द्धसमतल मूलबिंदु की ओर स्थित होगा।
पुनः चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है। अतः सुसंगत क्षेत्र OABO है।

सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0),  A(4, 0) तथा B(0, 4) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान 16 है जोकि बिंदु B(0, 4) पर प्राप्त होता है।

सारणी से, हम Z का मान बिंदु (15, 20) पर न्यूनतम पाते हैं। अतः समस्या में प्रदत्त व्यवरोधों के आधीन विटामिन A का मान न्यूनतम तब होगा जबकि भोज्य P के 15 पैकेट और भोज्य Q के 20 पैकेट का उपयोग विशेष आहार के प्रबंध में किया जाय। विटामिन A का न्यूनतम मान 150 मात्र का होगा।

हम शीर्ष B (12, 6) पर Z का अधिकतम मान ₹1,68,000 पाते हैं। अतः कंपनी को नमूना A के 12 नग तथा नमूना B के 6 नगों के उत्पादन पर अधिकतम लाभ कमाने के लिए करना चाहिए और अधिकतम लाभ ₹1,68,000 होगा।

कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (40, 0), (30, 20) और (0, 50) हैं। उद्देश्य फलन Z = 10500x + 9000y का मान इन शीर्षों पर निकालना चाहिए ताकि उस शीर्ष को ज्ञात किया जा सके जिस पर अधिकतम लाभ होता है।
अतः समिति को X फसल के लिए 30 हेक्टयर और Y फसल के 20 हेक्टयर का आबंटन होगा ताकि अधिकतम लाभ ₹4,95,000 का हो सके।

चूँकि मिश्रण में विटामिन A की कम से कम 8 मात्रक और विटामिन C के 10 मात्रक होने चाहिए, अतः निम्नलिखित व्यवरोध प्राप्त होते हैं
2x + y $\geq$ 8
x + 2y $\geq$ 10
भोज्य I के x kg और भोज्य II के y kg खरीदने का कुल मूल्य Z है जहाँ
Z = 50x + 70y
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
2x + y $\geq$ 8 ...(i)
x + 2y $\geq$ 10 ...(ii)
x, y $\geq$ 0 ...(iii)
Z = 50x + 70y का न्यूनतमीकरण कीजिए
असमीकरणों (i) से (iii) तक के आलेखों द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र को आकृति में दिखाया गया है।

यहाँ हम देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
हमें कोनीय बिंदुओं A(0, 8), B(2, 4) और C(10, 0) पर Z का मान ज्ञात करना है।
सारणी में, बिंदु (2, 4) पर Z का सबसे कम मान 380 है, क्या हम कह सकते हैं कि Z का न्यूनतम मान 380 है (क्यों?) याद कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। इसलिए हमें निम्नलिखित असमीकरण का आलेख खींचना पड़ेगा।
50x + 70y < 380
अर्थात् 5x + 7y < 38
जाँच करने के लिए कि क्या असमीकरण द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्धतल, सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु रखता है। आकृति में हम देखते हैं कि यहाँ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः, बिंदु (2, 4) पर Z का प्राप्त न्यूनतम मान 380 है। इसलिए आहार विज्ञानी की इष्टतम मिश्रण योजना भोज्य 'I' की 2 kg और भोज्य 'II' के 4 kg के मिश्रण बनाने की हो सकती है और इस योजना के अंतर्गत मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ₹ 380 होगा।

इस सारणी से हम ज्ञात करते हैं कि कोनीय बिंदु (6, 0) पर Z का सबसे कम मान -300 है। क्या हम कह सकते हैं कि Z का न्यूनतम मान -300 है? ध्यान दीजिए कि यदि क्षेत्र परिबद्ध होता तो यह Z का सबसे कम मान होता। लेकिन हम यहाँ देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। इसलिए -300, Z का न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी। इस समस्या का निष्कर्ष ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित असमीकरण का आलेख खींचते हैं:
-50x + 20y < -300
अर्थात् -5x + 2y < -30
और जाँच कीजिए कि आलेख द्वारा प्राप्त खुले अर्धतल व सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ बिंदु हैं या नहीं है। यदि इसमें उभयनिष्ठ बिंदु हैं, तब Z का न्यूनतम मान -300 नहीं होगा। अन्यथा, Z का न्यूनतम मान -300 होगा।
जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इसलिए, Z = -50x + 20y, का प्रदत्त व्यवरोधों के परिप्रेक्ष्य में न्यूनतम मान नहीं है।
 

सारणी से ज्ञात होता है कि बिंदु (0, 5) पर Z का न्यूनतम मान 1550 है।
अतः इष्टतम परिवहन स्थिति के अनुसार कारखाना P से 5, 0 और 3 नग और कारखाने Q से क्रमशः डिपो A, B और C तक 5,0 और 1 नग भेजा जाएगा। इसी स्थिति के संगत न्यूनतम परिवहन व्यय ₹1550 होगा।

हम देखते हैं कि बिंदु (4, 4) Z का अधिकतम मान है। अतः उत्पादक को अधिकतम ₹4000 लाभ कमाने के लिए प्रत्येक उत्पाद के 4 नगों का उत्पादन करना चाहिए।

कोनीय बिंदुओं O, A, B और C के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (30, 0), (20, 30) और (0, 50) हैं। अब प्रत्येक कोनीय बिंदु पर Z का मान ज्ञात करते हैं।
अतः बिंदु (30, 0) पर Z का अधिकतम मान 120 है।