प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

Question 13 Marks

एक कुंड के अंदर 60 लीटर प्रति मिनट की दर से पानी गिर रहा है। यदि कुंड का आयतन $108 m ^3$ है, तो ज्ञात कीजिए कि इस कुंड को भरने में कितने घंटे लगेंगे?

Answer

दिया है: कुंड का आयतन $= 108 m ^3$कुंड के अंदर पानी गिरने की दर = 60 लीटर / मिनट
$=\frac{60}{1000} \mathrm{~m}^3 / $ मिनट
$=\frac{60 \times 60}{1000} \mathrm{~m}^3 / $ घंटे
कुंड में$\frac{60 \times 60}{1000}m ^3$पानी भरने में लगा समय = 1 घंटा
कुंड में $1 m ^3$पानी भरने में लगा समय = $\frac{1000}{60 \times 60}$ घंटे
कुंड में $108 m ^3$पानी भरने में लगा समय =$\frac{108 \times 1000}{60 \times 60}$ घंटे
अतः इस कुंड को भरने में $30$ घंटे लगेंगे।

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Question 23 Marks

एक ऐसे घनाभ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसके आधार का क्षेत्रफल $180 cm ^2$ और जिसका आयतन $900 cm ^3$ है?

Answer

दिया है: घनाभ के आधार का क्षेत्रफल $(I \times b)=180 cm^2$ और घनाभ का आयतन $= 900 cm ^3$ हम जानते हैं कि,घनाभ का आयतन $= l \times b \times h =900 =180 \times h$ $h=\frac{900}{180}=5 \mathrm{~m}$
अतः, घनाभ की ऊँचाई 5m है।

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Question 33 Marks

एक खोखले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $4224 cm ^2$ है। इसे इसकी ऊँचाई के अनुदिश काटकर $32 cm$ चौड़ाई की एक आयताकार चादर बनाई जाती है। आयताकार चादर का परिमाप ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया है: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4224 cm 2 और बेलन की ऊँचाई = 33 cm बेल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

$\Rightarrow \quad 4224=2 \times \frac{22}{7} \times r \times 33 \quad \Rightarrow \quad r=\frac{4224 \times 7}{2 \times 22 \times 33}=\frac{64 \times 7}{22}\mathrm{~cm}$

तथा आयताकार चादर की लंबाई $=2 \pi \mathrm{r} \quad \Rightarrow \quad l=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{64 \times 7}{22}=128 \mathrm{~cm}$

आयताकार चादर का परिमाप $=2(l+b)=2(128+33)=2 \times 161=322 \mathrm{~cm} $

अतः, आयताकार चादर का परिमाप 322 cm है।

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Question 43 Marks

वर्णन कीजिए कि दाईं तरफ दी गई आकृतियाँ किस प्रकार एक समान हैं और किस प्रकार एक दूसरे से भिन्न हैं? किस डिब्बे का पार्श्व प्रष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है?

Answer

दिया है: बेलनाकार डिब्बे का व्यास = 7 cm बेलनाकार डिब्बे की त्रिज्या (r)$=\frac{7}{2} \mathrm{~cm}$

और बेलनाकार डिब्बे की ऊँचाई (h) = 7 cm

बेलनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times 7=154 \mathrm{~cm}^2$

घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $=4 l^2=4 \times(7)^2=4 \times 49=196 \mathrm{~cm}^2$

अतः, घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।

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Question 53 Marks

डैनियल एक ऐसे घनाभाकार कमरे की दीवारों और छत को पेंट कर रहा है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $15 m , 10 m$ एवं $7 m$ हैं। पेंट की प्रत्येक कैन की सहायता से $100 m ^2$ क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। तो उस कमरे के लिए उसे पेंट की कितनी कैनों की आवश्यकता होगी?

Answer

दिया है: कमरे की लंबाई (l) = 15 m, कमरे की चौड़ाई (b) = 10 m, कमरे की ऊँचाई (h) = 7 mकमरे का (पेंट के लिए) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = lb+2 (bh+hl)
$=15 \times 10+2(10 \times 7+7 \times 15)$
$ =150+2(70+105)=150+350=500 \mathrm{~m}^2$
इसलिए , कोणो की संख्या $=$ कमरे का (पेट के लिए ) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल / पेट की प्रत्येक केन से पेट क्षेत्रफल $=\frac{500}{100}=5$ केन
अतः, कमरे के लिए उसे पेंट की 5 कैनों की आवश्यकता होगी।

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Question 63 Marks

रूखसार ने $1 m \times 2 m \times 1.5 m$ माप वाली एक पेटी का बाहर से पेंट किया। यदि उसने पेटी के तल के अतिरिक्त उसे सभी जगह से पेंट किया हो तो ज्ञात कीजिए कि उसने कितने पष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।

Answer

दिया है: पेटी की लंबाई (l) = 2 m, पेटी की चौड़ाई (b) = 1 mऔर पेटी की ऊँचाई (h) = 1.5m
पेटी का पृष्ठीय क्षेत्रफल =lb+2(bh+hl)
$=l b+2(b h+h l)$
$=2 \times 1+2(1 \times 1.5+1.5 \times 2)=2+2(1.5+3.0)$
$=2+9.0=11 \mathrm{~m}^2$
अतः, उसने $11m^2$ पृष्ठीय क्षेत्रफल को पेंट किया।

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Question 73 Marks

$80 cm \times 48 cm \times 24 cm$ माप वाले एक सूटकेस को तिरपाल के कपड़े से ढकना है। ऐसे 100 सूटकेसों को ढकने के लिए $96 cm$ चौड़ाई वाले कितने मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है?

Answer

दिया है : सूटकेस की लंबाई (l) = 80 cm,सूटकेस की चौड़ाई (b) = 48 cm
और सूटकेस की ऊँचाई (h) = 24 cm
सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh+hl)
$=2(80 \times 48+48 \times 24+24 \times 80)$
$=2(3840+1152+1920)$
$=2 \times 6912=13824 \mathrm{~cm}^2$
तिरपाल का क्षेत्रफल = सूटकेस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
$l \times b=13824$
$l \times 96=13824$
$l=\frac{13824}{96}=144 \mathrm{~cm}$
100 सूटकेसों को ढकने के लिए तिरपाल की आवश्यकता = 144×100 = 14400 cm = 144 m अतः, 100 सूटकेसों को ढकने के लिए 144 मीटर तिरपाल के कपड़े की आवश्यकता है।

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Question 83 Marks

एक कंपनी अपने दूध पाउडर को ऐसे बेलनाकार बर्तनों में पैक करती है जिनका व्यास $14 cm$ और ऊँचाई $20 cm$ है। कंपनी बर्तन के पृष्ठ के चारों ओर एक लेबल लगाती है (जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है)। यदि यह लेबल बर्तन के तल और शीर्ष दोनों से $2 cm$ की दूरी पर चिपकाया जाता है तो लेबल का क्षेत्रफल क्या है?

Answer

दिया है: बेलनाकार बर्तन का व्यास = 14 cmबेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $(r)=\frac{d}{2}=\frac{14}{2}=7 \mathrm{~cm}$
बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई = 20 cm
लेबल की ऊँचाई (h) = 20-2-2 = 16 cm
लेबल का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h=2 \frac{22}{7} \times 7 \times 16=704 \mathrm{~cm}^2$
अतः, लेबल का क्षेत्रफल $704cm^2$ है।

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Question 93 Marks

एक ऊपर उठ हुए चबूतर का ऊपरी पृष्ठ अष्टभुज के आकार का है। जेसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया है: अष्टभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $5 \mathrm{~m}$ है।
रचना: अष्टभुज को तीन भागों में विभाजित किया। दो समलंब जिसकी समांतर भुजाएँ क्रमशः $11 \mathrm{~m}$ और $5 \mathrm{~m}$ है तथा लंबवत दूरी $4 \mathrm{~m}$ है और एक आयत, जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $11 \mathrm{~m}$ और $5 \mathrm{~m}$ है।इसलिए, दो समलंब का क्षेत्रफल
$=2 \times \frac{1}{2}(a+b) \times h$
$=2 \times \frac{1}{2}(11+5) \times 4=4 \times 16=64 \mathrm{~m}^2$
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\mathrm{x}$ चौड़ाई $=11 \times 5=55 \mathrm{~m}^2$
अष्टभुजी पृष्ठ का क्षेत्रफल $=64+55=119 \mathrm{~m}^2$

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Question 103 Marks

मोहन एक समलंब के आकार का खेत खरीदना चाहता है। इस खेत की नदी के साथ वाली भुजा सड़क के साथ वाली भुजा के समांतर हैं और लंबाई में दुगुनी है। यदि इस खेत का क्षेत्रफल $10,500 m ^2$ हैं और दो समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत् दूरी $100 m$ है, तो नदी के साथ वाली भजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया है: लंबवत दूरी $(h)=100 \mathrm{~m}$
समलंब के आकार के खेत का क्षेत्रफल $=10500 \mathrm{~m}^2$
माना सड़क के साथ वाली भुजा की लंबाई $x \mathrm{~m}$ है, अतः नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई $=2 x \mathrm{~m}$समलंब खेत का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}(a+b) \times h$
$\Rightarrow \quad 10500=\frac{1}{2}(x+2 x) \times 100 \quad \Rightarrow \quad 10500=3 x \times 50$
$\Rightarrow \quad 3 x=\frac{10500}{50} \quad \Rightarrow \quad x=\frac{10500}{50 \times 3} \Rightarrow x=70 \mathrm{~m}$
अतः, नदी के साथ वाली भुजा की लंबाई$=2 x=2 \times 70=140 \mathrm{~m}$

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Question 113 Marks

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा $6 cm$ और शीर्षलंब $4 cm$ है। यदि एक विकर्ण की लंबाई $8 cm$ है तो दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer

हम जानते हैं कि समचतुर्भुज, एक समांतर चतुर्भुज भी होता है।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार $\mathrm{x}$ शीर्षलंब $=6 \times 4=24 \mathrm{~cm}^2$

तथा समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} d_1 d_2$

$\Rightarrow \quad 24=\frac{1}{2} \times 8 \times d_2 \quad \Rightarrow 24=4 d_2 \quad \Rightarrow d_2=\frac{24}{4}=6 \mathrm{~cm}$

अतः, दूसरे विकर्ण की लंबाई 6 cm है।

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Question 123 Marks

एक समलंब का क्षेत्रफल $34 cm ^2$ है और इसकी ऊँचाई $4 cm$ है। समांतर भुजाओं में से एक की $10 cm$ लंबाई है। दूसरी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Answer

माना, दूसरी समांतर भुजा की लंबाई = $b$.

पहली समांतर भुजा की लंबाई $(a)=10 \mathrm{~cm}$ और ऊँचाई $(h)=4 \mathrm{~cm}$

समलंब का क्षेत्रफल=$\frac{1}{2}(a+b) \times h \quad \Rightarrow \quad 34=\frac{1}{2}(10+b) \times 4$

$
\begin{array}{llll}
\Rightarrow & 34=(10+b) \times 2 & \Rightarrow & 34=20+2 b \\
\Rightarrow & 34-20=2 b & \Rightarrow & 14=2 b \\
\Rightarrow & 7=b & \Rightarrow & b=7
\end{array}
$
अतः, दूसरी समांतर भुजा की लंबाई $7 \mathrm{~cm}$ है।

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Question 133 Marks

संलग्न पिक्चर फ्रेम के आरेख की बाहरी एवं अंतः विमाएँ क्रमशः $24 cm \times 28 cm$ एवं $16 cm \times 20 cm$ हैं। यदि फ्रेम के प्रत्येक खंड की चौड़ाई समान है, तो प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer

यहाँ, आकृति (I) और आकृति (II) की विमाएँ समान हैं।तथा आकृति (III) और आकृति (IV) की विमाएँ समान हैं।
आकृति (I) का क्षेत्रफल = समलंब का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}(a+b) \times h$
$=\frac{1}{2}(28+20) \times 4$
$=\frac{1}{2} \times 48 \times 4=96 \mathrm{~cm}^2$
इसलिए, आकृति (II) का क्षेत्रफल $= 96 cm^2$
तथा आकृति (III) का क्षेत्रफल = समलंब का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}(a+b) \times h$
$=\frac{1}{2}(24+16) \times 4$
$=\frac{1}{2} \times 40 \times 4=80 \mathrm{~cm}^2$
इसलिए, आकृति (IV) का क्षेत्रफल $= 80 cm^2$

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Question 143 Marks

एक मेज़ के ऊपरी पृष्ठ (सतह) का आकार समलंब जैसा है। यदि इसकी समांतर भुजाएँ $1 m$ और $1.2 m$ हैं तथा इन समांतर भुजाओं के बीच की दूरी $0.8 m$ है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer

यहाँ, पहली समांतर भुजा की लंबाई $(a)=1 \mathrm{~m}$ और दूसरी समांतर भुजा की लंबाई $(b)=1.2 \mathrm{~m}$ तथा ऊँचाई $(h)=0.8 \mathrm{~m}$

$\therefore$ मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}(a+b) \times h=\frac{1}{2} \times(1+1.2) \times 0.8=\frac{1}{2} \times 2.2 \times 0.8=0.88 \mathrm{~m}^2$ अतः, मेज के ऊपरी पृष्ठ का क्षेत्रफल $0.88 \mathrm{~m}^2$ है।

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

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