MCQ 11 Mark
मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=3,|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$ तब $\vec{a} \times \vec{b}$ एक मात्रक सदिश यदि $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के मध्य कोण है-
- A
$\frac{\pi}{6}$
- B
$\frac{\pi}{2}$
- ✓
$\frac{\pi}{4}$
- D
$\frac{\pi}{3}$
AnswerCorrect option: C. $\frac{\pi}{4}$
$\frac{\pi}{4}$
$\vec{a} \times \vec{b}$ एक मात्रक सदिश है $\therefore|\vec{a} \times \vec{b}|=1$
$|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta$
$\therefore$ $\sin \theta=\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{\frac{3 \sqrt{2}}{3}}$
$\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi}{4} \qquad\qquad \therefore \theta=\frac{\pi}{4}$
अतः सही विकल्प $(C)$ है।
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यदि दो सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के परिमाण क्रमशः $\sqrt{3}$ व $2$ हैं और $\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{6}$ हो, तो $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के बीच का कोण है$-$
- A
$\frac{\pi}{2}$
- B
$\frac{\pi}{3}$
- C
$\frac{\pi}{6}$
- ✓
$\frac{\pi}{4}$
AnswerCorrect option: D. $\frac{\pi}{4}$
$\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} \times 2}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}$
$\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi}{4}$
$\therefore \theta=\frac{\pi}{4}$
अतः सही विकल्प $(D)$ है।
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$\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+k \cdot(\hat{i} \times \hat{j})$ का मान है$-$
Answer$\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+k \cdot(\hat{i} \times \hat{j})$
$\Rightarrow \hat{i} \cdot(\hat{i})+\hat{j} \cdot(-\hat{j})+k \cdot(\hat{k})$
$\Rightarrow 1-1+1=1$
अतः सही विकल्प $(C)$ है।
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सदिश $\vec{a}=-2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ के अनुदिश मात्रक $($इकाई$)$ सदिश है$-$
- A
$\frac{2 \hat{i}}{\sqrt{14}}-\frac{3 \hat{j}}{\sqrt{14}}+\frac{\hat{k}}{\sqrt{14}}$
- B
$\frac{2 \hat{i}}{\sqrt{14}}-\frac{3 \hat{j}}{\sqrt{14}}-\frac{\hat{k}}{\sqrt{14}}$
- C
$\frac{2 \hat{i}}{\sqrt{14}}+\frac{3 \hat{j}}{\sqrt{14}}-\frac{\hat{k}}{\sqrt{14}}$
- ✓
$\frac{-2 \hat{i}}{\sqrt{14}}+\frac{3 \hat{j}}{\sqrt{14}}-\frac{\hat{k}}{\sqrt{14}}$
AnswerCorrect option: D. $\frac{-2 \hat{i}}{\sqrt{14}}+\frac{3 \hat{j}}{\sqrt{14}}-\frac{\hat{k}}{\sqrt{14}}$
$=\frac{-2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{(-2)^2+(3)^2+(-1)^2}}$
$=\frac{-2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{(14)}}$
$=\frac{-2 \hat{i}}{\sqrt{14}}+\frac{3 \hat{j}}{\sqrt{14}}-\frac{\hat{k}}{\sqrt{14}}$
अतः सही विकल्प $(D)$ है। View full question & answer→MCQ 51 Mark
सदिश $\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}-\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}$ का परिमाण है$-$
Answerपरिमाण $=\left|\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{j}-\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{k}\right|$
$=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)^2}$
$=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}$
$=1$
अतः सही विकल्प $(B)$ है।
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माना $\vec{a}$ एक ऐसा सदिश है जिसके लिए $|\vec{a}|$ = a है, तो $|\vec{a} \times \hat{i}|^2+|\vec{a} \times \hat{j}|^2+|\vec{a} \times \hat{k}|^2$ का मान है-
- A
$a^2$
- B
$2 a^2$
- ✓
$3 a^2$
- D
$0$
AnswerCorrect option: C. $3 a^2$
$3 a^2$
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सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=-3 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ जिस त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करते हैं, वह है-
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यदि $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ दो ऐसे सदिश हैं कि $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ तथा $\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{3}$ है, तो $2\vec{a}$ तथा $\vec{-b}$ के बीच का कोण है-
- A
$\frac{\pi}{6}$
- B
$\frac{\pi}{3}$
- C
$\frac{5 \pi}{6}$
- ✓
$\frac{11 \pi}{6}$
AnswerCorrect option: D. $\frac{11 \pi}{6}$
$\frac{11 \pi}{6}$
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यदि $\vec{a}+\vec{b}=\hat{i}$ तथा $\vec{a}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ है, तो $|\vec{b}|$ बराबर है-
- A
$\sqrt{14}$
- ✓
$3$
- C
$\sqrt{12}$
- D
$\sqrt{17}$
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$(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot \hat{j}+(\hat{j} \times \hat{i}) \cdot \hat{k}$ का मान है-
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$p$ का वह मान जिसके लिए सदिश $2 \hat{i}+p \hat{j}+\hat{k}$ तथा $-4 \hat{i}-6 \hat{j}+26 \hat{k}$ परस्पर लम्बवत् हैं, है-
- ✓
$3$
- B
$-3$
- C
$-\frac{17}{3}$
- D
$\frac{17}{3}$
Answerलम्बवत के लिए $(2 \hat{i}-p \hat{j}+\hat{k}) \cdot(-4 \hat{i}-6 \hat{j}+26 \hat{k})=0$
$(2)(-4)+(p)(-6)+(1)(26)=0$
$\Rightarrow \quad-8-6 p+26=0$
$6 p=18 \quad \therefore p=3$
अतः सही विकल्प $(A)$ है।
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यदि बिन्दु $A$ व $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ हों, तो रेखा $AB$ के मध्य बिन्दु का स्थिति सदिश होगा-
AnswerCorrect option: A. $\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
$\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$
बिन्दु A व B के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं इसलिये रेखा $AB$ के मध्य बिन्दु का स्थिति सदिश
$=\frac{1 \cdot \vec{a}+1 \cdot \vec{b}}{1+1}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$
अतः सही विकल्प $(A)$ है।
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यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं, तो त्रिभुज के केन्द्रक का स्थिति सदिश है-
- A
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$
- ✓
$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
- C
$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{6}$
- D
उपर्युक्त में से कोई नहीं
AnswerCorrect option: B. $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}$ तथा $\vec{c}$ हैं इसलिए केन्द्रक का स्थिति सदिश
$=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ होगा।
अतः सही विकल्प $(B)$ है।
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यदि $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}-3 \vec{b}$ तथा $6 \vec{b}-2 \vec{a}$ हों, तो $AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश होगा$-$
AnswerCorrect option: D. $\vec{0}$
माना $A$ और $B$ के स्थिति सदिशों को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिन्दु $R$ है तब $R$ के स्थिति सदिश
$=\frac{1 \times(6 \vec{b}-2 \vec{a})+2(\vec{a}-3 \vec{b})}{1+2}$
$=\frac{6 \vec{b}-2 \vec{a}+2 \vec{a}-6 \vec{b}}{3}$
$=\frac{0}{3}$
$=0$
$=\vec{0}$
अतः सही विकल्प $(D)$ है।
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त्रिभुज $ABC$ का केन्द्रक $G$ हो, तो $\overrightarrow{ GA }+\overrightarrow{ GB }+\overrightarrow{ GC }$ का मान होगा-
- A
$3$ $ \overrightarrow{ GA }$
- B
$3$ $ \overrightarrow{GB}$
- ✓
$\vec{0}$
- D
$3$ $ \overrightarrow{ GC }$
AnswerCorrect option: C. $\vec{0}$
माना कि $\Delta ABC$ में $D, E$ तथा $F$ क्रमशः भुजा $BC, CA$ तथा $AB$ के मध्य बिन्दु हैं। $G$ के सापेक्ष बिन्दु $B$ तथा $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{ GB }$ तथा $\overrightarrow{ GC }$ हैं। क्योंकि $D$, भुजा $BC$ का मध्य बिन्दु है।
$\therefore$ $\overrightarrow{ GD }=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{ GC })$ $\ldots (1)$
अब बिन्दु G त्रिभुज ABC का केन्द्रक है अत: $G, AD$ को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करेगा
$\therefore \frac{ AG }{ GD }=\frac{2}{1}$
$\Rightarrow AG =2 GD$
$\Rightarrow \overrightarrow{ AG }=2 \overrightarrow{ GD } \ldots (2)$
समीकरण $(1)$ तथा $(2)$ से
$\overrightarrow{ GB }+\overrightarrow{ GC }=2 \overrightarrow{ GD }=\overrightarrow{ AG }$
$\Rightarrow \quad \overrightarrow{ GB }+\overrightarrow{ GC }=-\overrightarrow{ GA }$
या $\quad$ $\overrightarrow{ GA }+\overrightarrow{ GB }+\overrightarrow{ GC }=\overrightarrow{0}$
अतः सही विकल्प $(C)$ है।
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यदि सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+5 \hat{j}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}$ हो, तो सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश है$-$
- A
$\hat{i}+\hat{j}$
- ✓
$\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$
- C
$\sqrt{2}(\hat{i}+\hat{j})$
- D
$\sqrt{2}(\hat{i}-\hat{j})$
AnswerCorrect option: B. $\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{i}-\hat{j}=4 \hat{i}+4 \hat{j}$
$\therefore$ $|\vec{a}+\vec{b}|$
$=|4 \hat{i}+4 \hat{j}|$
$=\sqrt{(4)^2+(4)^2}$
$=\sqrt{16+16}$
$=\sqrt{32}$
$=4 \sqrt{2}$
सदिश $(\vec{a}+\vec{b})$ की दिशा में इकाई सदिश
$=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}$
$=\frac{4 \hat{i}+4 \hat{j}}{4 \sqrt{2}}$
$=\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$
अतः सही विकल्प $(B)$ है।
View full question & answer→MCQ 171 Mark
यदि सदिश $3 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ तथा $6 \hat{i}-4 p \hat{j}+q \hat{k}$ समान्तर हों, तो $p$ तथा $q$ के मान क्रमशः होंगे-
- ✓
$-1,-2$
- B
$-1,2$
- C
$1,2$
- D
$1,-2$
AnswerCorrect option: A. $-1,-2$
समान्तर के लिये $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
$\frac{3}{6}=\frac{2}{-4 p}=\frac{-1}{q}$
$\Rightarrow \quad \frac{1}{2}=\frac{2}{-4 p}=\frac{-1}{q}$
अत: $\quad \frac{1}{2}=\frac{-1}{q} \quad \Rightarrow q=-2$
और $\quad \frac{1}{2}=\frac{2}{-4 p} \quad \Rightarrow-4 p=4 \quad p=-1$
अत: $\quad p=-1$ और $q=-2$
अतः सही विकल्प $(A)$ है।
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