Question 15 Marks
समुच्चय के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए: A $\cap$ (A $\cup$ B) = A
AnswerA $\cap$ (A $\cup$ B) = (A $\cap$ B) $\cup$ (A $\cap$ B)
= A $\cup$ (A $\cap$ B)
= A {${\because A \cap B \subset A}$}
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समुच्चय के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए: A $\cup$ (A $\cap$ B) = A
Answer$A \cup(A \cap B) =(A \cup A) \cap(A \cup B)$
= $A \cap(A \cup B)$
= A {$\because A \subseteq A \cup B$}
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किन्हीं दो समुच्चयों A तथा B के लिए सिद्ध कीजिए कि, A = (A $\cap$ B) $\cup$ (A - B) और A $\cup$ (B - A) = (A $\cup$ B).
Answerमाना $x \in(A \cap B) \cup(A-B)$
$\Leftrightarrow$ $x \in(A \cap B)$ या $x \in A \cup B$
$\Leftrightarrow$ ($x \in A$ और $x \in B$) या ($x \in A$ और $x \notin B$)
$\Leftrightarrow$ $x \in A$ और (x $\in $ B या x $\notin$ B)
$\Leftrightarrow$ x $\in $ A और x $\in \cup $
$\Leftrightarrow$ x $\in $ A
$\therefore$ A = (A $\cap$ B) $\cup$ (A - B) ...(सिद्ध किया)
माना $x \in A \cup$ (B - A)
$\Leftrightarrow$ x $\in $ A या (x $\in $ B और x $\notin$ A)
$\Leftrightarrow$ (x $\in $ A या x $\in $ B) और (x $\in $ A या x $\notin$ A)
$\Leftrightarrow$ x $\in $ A $\cup$ B और x $\in \cup $
$\Leftrightarrow$ x $\in $ A $\cup$ B
$\therefore A \cup$ (B - A) = $A \cup B$ ...(सिद्ध किया)
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किन्हीं भी समुच्चयों A तथा B के लिए, क्या यह सत्य है कि P(A) $\cup$ P(B) = P(A $\cup$ B)? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
Answerअसत्य।
यदि A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}
$A \cup B$ = {1, 2, 3, 4, 5}
$A \cup B$ का उपसमुच्चय X = {1, 2, 3, 4} ऐसा है कि X $\not \subset$ A और X $\not \subset$ B
$\Rightarrow$ X $\notin$ P(A) और X $\notin$ P(B)
$\Rightarrow$ X $\notin$ P(A) $\cup$ P(B)
किन्तु $X \in P(A \cup B) $
अतः P(A) $\cup$ P(B) $\neq$ P(A $\cup$ B)
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मान लीजिए कि P(A) = P(B), सिद्ध कीजिए कि A = B
Answerमाना x $\in$ A तब $\exists \times \subset$ A s.t. x $\in$ X
$\because$ X $\subset$ A $\Rightarrow X \in $ P(A)
$\Rightarrow X \in$ P(B) ($\because$ P(A) = P(B))
$\Rightarrow X \subset $ B
$\Rightarrow x \in$ B
$\therefore$ x $\in$ A $\Rightarrow$ x $\in$ B
$\therefore$ A $\subset$ B ...(1)
इसी प्रकार दिखा सकते हैं कि B $\subset$ A ...(2)
समी. (1) और (2) से, A = B
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दिखाइए कि यदि A $\subset$ B, तो C - B $\subset$ C - A.
Answerमाना x $\in$ C - B $\Rightarrow x \in$ C और x $\notin$ B
$\Rightarrow x \in$ C और x $\notin$ A ($\because A \subset$ B)
$\Rightarrow x \in$ C - A
$\therefore$ C - B $\subset$ C - A
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दिखाइए कि निम्नलिखित चार प्रतिबंध तुल्य हैं:
- A $\subset$ B
- A - B = $\phi$
- A $\cup$ B = B
- A $\cap$ B = A
Answer(i) $\Rightarrow$ (ii)
A $\subset$ B $\Rightarrow$ A - B = $\phi$
x $\in$ A - B $\Rightarrow$ x $\in$ A और x $\notin$ B
$\Rightarrow$ x $\in$ B और x $\notin$ B ($\because$ A $\subset$ B)
$\Rightarrow$ x $\notin \phi$
$\therefore$ A - B = $\phi$
(ii) $\Rightarrow$ (iii)
A - B = $\phi \Rightarrow$ A $\cup$ B = B
माना x $\in$ A $\cup B \Rightarrow x \in$ A या x $\in$ B
$\Rightarrow x \in$ B या x $\in$ B
$\Rightarrow x \in$ B {$\because$ A - B = $\phi$}
A $\cup$ B $\subseteq$ B
परिभाषा से, B $\subseteq$ A $\cup$ B
$\therefore$ A $\cup$ B = B
(iii) $\Rightarrow$ (iv)
A $\cup$ B = B $\Rightarrow A \cap B$ = A
माना x $\in A \Rightarrow x \in A \cup B$
$\Rightarrow x \in B$
$\Rightarrow x \in A \cap B $
$\therefore$ $A \subseteq A \cap B $
किन्तु $A \cap B \subseteq A$
$\Rightarrow A \cap B$ = A
तथा (iv) $\Rightarrow$ (i)
$A \cap B$ = A $\Rightarrow A \subset B$
माना x $\in A \Rightarrow x \in A \cap B$
$\Rightarrow x \in A$ और x $\in$ B
$\Rightarrow x \in B$
$\therefore A \subset B$
अतः दिए गए चारों प्रतिबन्ध तुल्य हैं।
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मान लीजिए A, B, और C ऐसे समुच्चय हैं कि A $\cup$ B = A $\cup$ C तथा A $\cap$ B = A $\cap$ C, तो दर्शाइए कि B = C.
AnswerA $\cup$ B = A $\cup$ C ...(1)
A $\cap$ B = A $\cap$ C ...(2)
समी. (1) से
(A $\cup$ B) $\cap$ C = (A $\cup$ C) $\cap$ C
$\Rightarrow$ (A $\cap$ C) $\cup$ (B $\cap$ C) = C
$\Rightarrow$ (A $\cap$ B) $\cup$ (B $\cap$ C) = C ...(3)
पुनः समी. (1) से
(A $\cup$ B) $\cap$ B = (A $\cup$ C) $\cap$ C
$\Rightarrow$ B = (A $\cap$ B) $\cup$ (C $\cap$ B)
B = (A $\cap$ B) $\cup$ (B $\cap$ C) ...(4)
समी. (3) और (4) से,
B = C
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ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो इसे सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है, तो एक उदाहरण दीजिए:
- यदि x $\in$ A तथा A $\in$ B, तो x $\in$ B
- यदि A $\subset$ B तथा B $\in$ C, तो A $\in$ C
- यदि A $\subset$ B तथा B $\subset$ C, तो A $\subset$ C
- यदि A $\not \subset$ B तथा B $\not \subset$ C, तो A $\not \subset$ C
- यदि x $\in$ A तथा A $\not \subset$ B, तो x $\in$ B
- यदि A $\subset$ B तथा x $\notin$ B, तो x $\notin$ A
Answer - असत्य।
A = {1, 3}, B = {2, {1, 3}, 4, 6}
स्पष्ट है, 3 $\in$ A, A $\in$ B किन्तु 3 $\notin$ B - असत्य।
$\because$ C = {2, {1, 3}, 4}, B = {1, 3}
$\Rightarrow$ B $\in$ C
B के उपसमुच्चय $\phi$, {1}, {3}, B
$\because$ {1} $\subset$ B, B $\in$ C
किन्तु {1} $\in$ C - सत्य।
माना x $\in$ A $\Rightarrow$ x $\in$ B ($\because$ A $\subset$ B)
$\Rightarrow$ x $\in$ C ($\because$ B $\subset$ C)
$\therefore$ A $\subset$ C - असत्य।
यदि A = {2}, B = {1, 3}, C = {1, 2}
स्पष्ट है। A $\not \subset$ B और B $\not \subset$ C किन्तु A $\subset$ C - असत्य।
A = {1, 2}, B = {1, 3, 4} A $\not \subset$ B
किन्तु 1 $\in$ A, 1 $\in$ B - सत्य।
माना x $\in$ A $\Rightarrow$ x $\in$ B ($\because$ A $\subset$ B)
अतः यदि x $\not \in$ A $\Rightarrow$ x $\not \in$ B
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एक सर्वेक्षण में पाया गया कि 21 लोग उत्पाद A, 26 लोग उत्पाद B, 29 लोग उत्पाद C पसंद करते हैं। यदि 14 लोग उत्पाद A तथा B, 12 लोग उत्पाद C तथा A, 14 लोग उत्पाद B तथा C और 8 लोग तीनो ही उत्पादों को पसंद करते हैं। ज्ञात कीजिए कि कितने लोग केवल उत्पाद C को पसंद करते हैं।
Answer
$\because$ उत्पाद A और B को पसन्द तथा C को पसन्द न करने वाले लोगों की संख्या
= 14 - 8
= 6
इसी प्रकार, उत्पाद B और C को पसन्द किन्तु A को पसन्द न करने वाले लोगों की संख्या
= 14 - 8 = 6
तथा उत्पाद A और C को पसन्द करने वाले किन्तु B को पसन्द न करने वाले लोगों की संख्या
= 12 - 8 = 4
अब केवल उत्पाद C को पसन्द करने वाले लोगों की संख्या
= 29 - (4 + 6 + 8)
= 29 - 18 = 11
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60 लोगों के सर्वेक्षण में पाया गया कि 25 लोग समाचार पत्र H, 26 लोग समाचार पत्र T, 26 लोग समाचार पत्र I, 9 लोग H तथा I दोनों, 11 लोग H तथा T दोनों, 8 लोग T तथा I दोनों और 3 लोग तीनों ही समाचार पत्र पढ़ते हैं, तो ठीक-ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answern(H) = 25, n(T) = 26
n(I) = 26
n(H $\cap$ I) = 9, n(H $\cap$ T) = 11
n(T $\cap$ I) = 8, n(H $\cap$ T $\cap$ I) = 3
$\therefore$ ठीक-ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 8 + 10 + 12 = 30
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60 लोगों के सर्वेक्षण में पाया गया कि 25 लोग समाचार पत्र H, 26 लोग समाचार पत्र T, 26 लोग समाचार पत्र I, 9 लोग H तथा I दोनों, 11 लोग H तथा T दोनों, 8 लोग T तथा I दोनों और 3 लोग तीनों ही समाचार पत्र पढ़ते हैं, तो कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answern(H) = 25, n(T) = 26
n(I) = 26
n(H $\cap$ I) = 9, n(H $\cap$ T) = 11
n(T $\cap$ I) = 8, n(H $\cap$ T $\cap$ I) = 3
n(H $\cup$ T $\cup$ I) = n(H) + n(T) + n(I) - n(H $\cap$ T) - n(T $\cap$ I) - n(H $\cap$ I) + n(H $\cap$ T $\cap$ I)
= 25 + 26 + 26 - 9 - 8 - 11 + 3
= 80 - 28
= 52
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विद्यार्थियों के एक समूह में, 100 विद्यार्थी हिंदी, 50 विद्यार्थी अंग्रेज़ी तथा 25 विद्यार्थी दोनों भाषाओं को जानते हैं। विद्यार्थियों में से प्रत्येक या तो हिंदी या अंग्रेज़ी जानता है। समूह में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
AnswerA = हिन्दी जानने वाले विद्यार्थियों की संख्या।
B = अंग्रेजी जानने वाले विद्यार्थियों की संख्या।
A $\cap$ B = दोनों हिन्दी और अंग्रेजी। जानने वाले विद्यार्थियों की संख्या n(A) = 100, n(B) = 50, n(A $\cap$ B) = 25
$\because$ दिए गए विद्यार्थियों में से प्रत्येक या तो हिन्दी या अंग्रेजी जानते हैं।
$\therefore$ कुल विद्यार्थियों की संख्या
n(A $ \cup$ B) = n(A) + n(B) - n(A $\cap$ B)
= 100 + 50 - 25
= 125
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किसी विद्यालय के 600 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण से ज्ञात हुआ कि 150 विद्यार्थी चाय, 225 विद्यार्थी कॉफ़ी तथा 100 विद्यार्थी चाय और कॉफ़ी दोनों पीते हैं। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी न तो चाय पीते हैं और न कॉफ़ी पीते हैं।
AnswerA = चाय पीने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय।
B = कॉफी पीने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय।
$\therefore A \cap B$ = चाय और कॉफी दोनों पीने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय।
n(A) = 150, || n(B) = 225
n(A $\cap$ B) = 100
$\therefore$ n(A $\cup$ B) = n(A) + n(B) - n(A $\cap$ B)
n(A $\cup$ B) = 150 + 225 - 100 = 275
तथा n($\cup$) = 600
$\therefore n(A \cap B) =n({A} \cup B)$
= $n(\cup)-n(A \cup B)$
= 600 - 275
= 325
अतः 325 विद्यार्थी न तो चाय पीते हैं और न ही काफी पीते हैं।
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ऐसे समुच्चय A, B और C ज्ञात कीजिए ताकि A $\cap$ B, B $\cap$ C तथा A $\cap$ C आरिक्त समुच्चय हों और A $\cap$ B $\cap$ C = $\phi$.
AnswerA = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 4}, C = {4, 1}
$\Rightarrow$ A $\cap$ B = {2, 3} $\ne \phi$
$B \cap C=\{4\} \neq \phi$
और $A \cap C =\{1\} \neq \phi$
किन्तु $A \cap B \cap C =\phi$
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मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय X वे लिए A $\cap$ X = B $\cap$ X = $\phi$ तथा A $\cup$ X = B $\cup$ X, तो सिद्ध कीजिए कि A = B.
AnswerA $\cap$ X = B $\cap$ X = $\phi$ ...(1)
A $\cup$ X = B $\cup$ X ...(2)
$\because$ A = A $\cap(A \cup X)$ ...{A $\cap$ (A $\cup$ B) = (A $\cap$ B) $\cup$ (A $\cap$ B) = A $\cup$ (A $\cap$ B) = A {${\because A \cap B \subset A}$}}
= $A \cap(B \cup X)$ ...(समी. (2) से)
= $(A \cap B) \cup(A \cap X)$
= $(A \cap B) \cup \phi$ ...(समी. (1) से)
= $A \cap B$
$\therefore A \subseteq B$ ...(3)
पुनः B = $B \cap(B \cup X)$
= B $\cap(A \cup X)$
= $(B \cap A) \cup(B \cap X)$
= $(B \cap A) \cup \phi$
= $B \cap A $
$\therefore$ B $\subseteq$ A ...(4)
समी. (3) और (4) से,
A = B
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दिखलाइए कि A $\cap$ B = A $\cap$ C का तात्पर्य B = C आवश्यक रूप से नहीं होता है।
Answerमाना A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {2, 5}
स्पष्ट है कि A $\cap$ B = A $\cap$ C = {2}
किन्तु B $\neq$ C
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निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन किसका उपसमुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए: $A = \{x : x \in R\}$ तथा $x^2- 8x + 12 = 0$ को संतुष्ट करने वाली सभी वास्तविक संख्याएँ $x\}, B = \{2, 4, 6\}, C = \{2, 4, 6, 8, ..\}, D = \{6\}.$
Answer$A = \{x : x \in R$ तथा $x^2- 8x + 12 = 0\}$
$\because x^2- 8x + 12 = 0$
$\Rightarrow (x - 6)(x - 2) = 0$
$\Rightarrow x = 2, 6$
$\therefore A = {2, 6}$
तथा $B = \{2, 4, 6\}, C = \{2, 4, 6, ...\},$ और $D = \{6\}$
स्पष्ट है कि $D$ का प्रत्येक अवयव A में है।
$\therefore D \subset A ...(1)$
$A$ का प्रत्येक अवयव $B$ में है।
$\therefore A \subset B ...(2)$
$B$ का प्रत्येक अवयव $C$ में हैं।
$\therefore B \subset C ...(3)$
समी. $(1), (2)$ और $(3) $से,
$D \subset A \subset B \subset C$
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समान समुच्चयों के युग्म छाँटिए, यदि ऐसा कोई युग्म है, और कारण भी बतलाइए: $A = \{0\}, B = \{x : x > 15$ और $x < 5\}, C = \{x : x - 5 = 0\}, D = \{x : x^2= 25\}, E = \{x : x$ समीकरण $x^2- 2x - 15 = 0$ का एक धन पूर्णांक मूल है।$\}$
Answerयहाँ $0 \in A$ और $0$ समुच्चयों $B, C, D$ और $E$, में से किसी में भी नहीं है, अतः । $A \ne B, A \ne C, A \ne D, A \ne E$
क्योंकि $B = \phi$ किंतु और कोई समुच्चय रिक्त नहीं है।
अतः $B \ne C, B \ne D $ तथा $B \ne E।$
$C = \{5\}$ परंतु $- 5 \in D,$ इसलिए $C \ne D$
यहाँ क्योंकि $E = \{5\}, C = E, D = \{-5, 5\}$ और $E = {5}$, अतः $D \ne E$
इस प्रकार समान समुच्चयों का युग्म केवल $C$ तथा $E$ है।
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एक महाविद्यालय में फुटबाल के लिए 38, बास्केट बाल के लिए 15 और क्रिकेट के लिए 20 पदक प्रदान किए गए। यदि ये पदक कुल 58 लोगों को मिले और केवल तीन लोगों को तीनों खेलों के लिए मिले, तो कितने लोगों को तीन में से ठीक-ठीक दो खेलों के लिए मिले?
Answerमान लीजिए कि F, B तथा C उन लोगों के समुच्चय निरूपित करते हैं जिन्हें क्रमशः फुटबाल, बास्केटबाल तथा क्रिकेट के लिए पदक मिले।
यहाँ n(F) = 38, n(B) = 15, n(C) = 20, n(F $\cup$ B $\cup$ C) = 58 और n(F $\cap$B $\cap$ C) = 3
पुनः n(F $\cup$ B $\cup$ C) = n(F) + n(B) + n(C) - n(F $\cap$ B) - n(F $\cap$ C) - n(B $\cap$ C) + n(F $\cap$ B $\cap$ C), इस प्रकार n(F $\cap$B) + n(F $\cap$ C) + n(B $\cap$ C) = 18
आकृति में दिए वेन आरेख पर विचार कीजिए:
यहाँ a उन लोगों की संख्या है, जिनको केवल फुटबाल तथा बास्केटबाल के लिए पदक मिले, b उन लोगों की संख्या है, जिनको केवल फुटबाल तथा क्रिकेट के लिए पदक मिले और c उन लोगों की संख्या है, जिनको केवल बास्केटबाल तथा क्रिकेट के लिए पदक मिले। d उन लोगों की संख्या है जिनको तीनो ही खेलों के लिए पदक मिले। इस प्रकार d = n(F $\cap$ B $\cap$ C) = 3 और a + d + b + d + c + d = 18
अतः a + b + c = 9, जोकि उन लोगों की संख्या है, जिनकों तीनों खेलों में से दो खेलों के लिए पदक मिले।
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500 कार मालिकों से पूछताछ करनें पर पाया गया कि 400 लोग A प्रकार की कार के, 200 लोग B प्रकार की कार के तथा 500 लोग A और B दोनों प्रकार की कारों के मालिक थे। क्या ये आँकड़े सही हैं?
Answerमान लीजिए कि पूछताछ किए गए कार मालिकों का समुच्चय U है, A प्रकार की कार के मालिकों का समुच्चय M है और B प्रकार की कार के मालिकों का समुच्चय S है।
दिया है कि n(U) = 500, n(M) = 400, n(S) = 200 और n(S $\cap$ M) = 50
इस प्रकार n(S $\cup$ M) = n(S) + n(M) - n(S $\cap$ M) = 200 + 400 - 50 = 550
किंतु S $\cup$ M $\subset$ U जिसका तात्पर्य है कि n(S $\cup$ M) $\leq$ n(U)
यह एक विरोधोक्ति है। अतः प्रदत्त आँकड़े सही नहीं है।
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एक बाजार अनुसंधान समूह ने 1000 उपभोक्ताओं का सर्वेक्षण किया और सूचित किया कि 720 उपभोक्ताओं ने उत्पाद A तथा 450 उपभोक्ताओं ने उत्पाद B पसंद किया। दोनों उत्पादों को पसंद करने वाले उपभोक्ताओं की न्यूनतम संख्या क्या है?
Answerमान लीजिए कि U सर्वेक्षण उपभोक्ताओं का समुच्चय है, S उन उपभोक्ताओं का समुच्चय है जिन्होनें उत्पाद A पसंद किया और T उन उपभोक्ताओं का समुच्चय है जिन्होंने उत्पाद B पसंद किया। दिया है कि,
n(U) = 1000, n(S) = 720, n(T) = 450
इस प्रकार n(S $\cup$ T) = n(S) + n(T) - n(S $\cap$ T)
= 720 + 450 - n(S $\cap$ T) = 1170 - n(S $\cap$ T)
स्पष्ट है कि n(S $\cup$ T) अधिकतम तब होगा जब n(S $\cap$ T) न्यूनतम है, किंतु S $\cup$ T $\subset$ U, जिसका तात्पर्य है कि n(S $\cup$ T) $\leq$ n(U) = 1000। इस प्रकार n(S $\cup$ T) का अधिकतम मान 1000 है। इसलिए n(S $\cap$ T) का न्यूनतम मान 170 है। अतः दोनों उत्पादों को पसंद करने वाले उपभोक्ताओं की न्यूनतम संख्या 170 है।
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समुच्चयों A, B के लिए सिद्ध कीजिए कि P(A $\cap$ B) = P(A) $\cap$ P(B)
Answerमान लीजिए कि X $\in$ P(A $\cap$ B), तो X $\subset$ A $\cap$ B.
इसलिए X $\in$ P(A) तथा X $\in$ P(B), जिसका तात्पर्य हुआ कि X $\in$ [P(A) $\cap$ P(B)]
इस प्रकार P(A $\cap$ B) $\subset$ [P(A) $\cap$ P(B)]
मान लीजिए कि Y $\in$ [P(A) $\cap$ P(B)], तो Y $\in$ P(A) तथा Y $\in$P(B), इस प्रकार Y $\subset$ A और Y $\subset$ B
इसलिए Y $\subset$ A $\cap$ B, जिसका तात्पर्य है कि Y $\in$ P (A $\cap$ B), अतएव [P(A) $\cap$ P(B)] $\subset$ P(A $\cap$ B),
अतः P(A $\cap$ = P(A) $\cap$ P(B)
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सिद्ध कीजिए कि A $\cup$ B = A $\cap$ B का तात्पर्य है कि A = B
Answerयदि कोई अवयव a $\in$ A, तो a $\in$ A $\cup$ B। क्योंकि A $\cup$ B = A $\cap$ B, इसलिए a $\in$ A $\cap$ B। अतः a $\in$ B. इस प्रकार A $\subset$ B। इसी प्रकार यदि b $\in$ B, तो b $\in$ A $\cup$ B। क्योंकि A $\cup$ B = A $\cap$ B इसलिए, b $\in$ A $\cap$ B। इस प्रकार b $\in$ A। अतः B $\subset$ A अतएव A = B।
View full question & answer→Question 255 Marks
समुच्चय {-1, 0, 1} के सभी उपसमुच्चयों की सूची बनाइए।
Answerमाना A = {-1, 0, 1} है। समुच्चय A का वह उपसमुच्चय जिसमें कोई भी अवयव नहीं है रिक्त समुच्चय $\phi$ है। A के एक अवयव वाले उपसमुच्चय {-1}, {0}, {1} हैं। A के दो अवयव वाले समुच्चय {-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1} हैं। A के तीन अवयव वाला उपसमुच्चय A स्वयं है। इस प्रकार A के सभी उपसमुच्चय $\phi$, {-1}, {0}, {1}, {-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1} तथा {-1, 0, 1} हैं।
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दिखाइए कि शब्द CATARACT के वर्ण विन्यास के अक्षरों का समुच्चय तथा शब्द TRACT के वर्णविन्यास के अक्षरों का समुच्चय समान है।
Answerमान लीजिए कि X CATARACT के अक्षरों का समुच्चय है, तो
X = {CATARACT} = {C, A, T, R}
मान लीजिए कि TRACT के अक्षरों का समुच्चय है, तो
Y = {T, R, A, C}
क्योंकि X का प्रत्येक अवयव Y में है तथा Y का प्रत्येक अवयव X में है, अतः X = Y
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$200$ व्यक्ति किसी चर्म रोग से पीड़ित हैं, इनमें $120$ व्यक्ति रसायन $C_1, 50$ व्यक्ति रसायन $C_2, $ और $30$ व्यक्ति रसायन $C_1$ और $C_2$ दोनों ही से प्रभावित हुए हैं, तो ऐसे व्यक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो प्रभावित हुए हों:
- रसायन $C_1$ किंतु रसायन $C_2 $ से नहीं
- रसायन $C_2 $ किंतु रसायन $C_1 $ से नहीं,
- रसायन $C_1 $ अथवा रसायन $C_2 $ से प्रभावित हुए हैं।
Answerमान लीजिए कि $U, $ चर्म रोग से पीड़ित व्यक्तियों के सार्वत्रिक समुच्चय को निरूपित करता है, $A$, रसायन $C_1 $ से प्रभावित व्यक्तियों के समुच्चय को तथा $B,$ रसायन $C_2 $ से प्रभावित व्यक्तियों के समुच्चय को निरूपित करते हैं।
यहाँ पर $n(U) = 200, n(A) = 120, n(B) = 50$ तथा $n(A \cap B) = 30$
- दिए हुए वेन आरेख (आकृति) में हम देखते हैं कि
$A = (A - B) \cup (A \cap B)$
अतः $n(A) = n(A - B) + n(A \cap B)$
$($क्योंकि $A - B) $ और $A \cap B$ असंयुक्त हैं$)$
अथवा $n(A - B) = n(A) - n(A \cap B) = 120 - 30 = 90$
अतः रसायन $C_1 $ किंतु रसायन $C_2 $ से नहीं प्रभावित व्यक्तियों की संख्या $90$ है।
- आकृति से $B = (B - A) \cup (A \cap B)$
इसलिए $n(B) = n(B - A) + n(A \cap B) ($क्योंकि $A - B$ तथा $A - B$ अंसयुक्त हैं।$)$
अथवा $n(B - A) = n(B) - n(A \cap B)$
$= 50 - 30 = 20$
अतः रसायन $C_2 $ किंतु रसायन $C_1 $ से नहीं प्रभावित व्यक्तियों की संख्या $20 $ है।
- रसयान $C_{1 } $अथवा रसायन $C_2 $ से प्रभावित व्यक्तियों की संख्या अर्थात्
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$= 120 + 50 - 30 = 140$
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मान लीजिए कि A = {a, e, i, o, u} और B = {a, i, u}. दर्शाइए कि A $\cup$ B = A
Answerस्पष्टतया A $\cup$ B = {a, e, i, o, u} = A
इस उदाहरण से स्पष्ट होता है कि किसी समुच्चय A और उसके उपसमुच्चय B का सम्मिलन समुच्चय A स्वयं होता है, अर्थात् यदि B $\subset$ A, तो A $\cup$ B = A
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मान लीजिए कि A = {2, 4, 6, 8} और B = {6, 8, 10, 12}. A $\cup$ B ज्ञात कीजिए।
Answerहम देखते हैं कि A $\cup$ B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
कीजिए कि A $\cup$ B लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव 6 और 8 को केवल एक बार लिखते हैं।
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मान लीजिए A, B और C तीन समुच्चय हैं। यदि A $\in$ B तथा B $\subset$ C, तो क्या यह सत्य है कि A $\subset$ C? यदि नहीं तो एक उदाहरण दीजिए।
Answerमान लीजिए कि A = {1}, B = {{1}, 2} और C = {{1}, 2, 3} स्पष्टतया यहाँ A $\in$ B क्योंकि A = {1} तथा B $\subset$ C सत्य है। परंतु A $\not \subset$ C क्योंकि 1 $\in$ A और 1 $\notin$ C।
नोट कीजिए कि किसी समुच्चय का एक अवयव उस समुच्चय का उपसमुच्चय नहीं हो सकता है।
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मान लीजिए A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c, d}. क्या A, B का एक उपसमुच्चय है? नहीं (क्यों?)। क्या A, B का उप समुच्चय हैं? नहीं (क्यों?)
Answer - A $\subset$ B
दिए गए के अनुसार हम कह सकते हैं, एक समुच्चय को दूसरे समुच्चय का उपसमुच्चय बनने के लिए, दूसरे समुच्चय में सभी तत्वों को प्रस्तुत करने की आवश्यकता होती है। समुच्चय में A = {e, i, o, u} अवयव मौजूद हैं लेकिन ये समुच्चय B में मौजूद नहीं हैं।
इसलिए A $\not\subset$ B - B $\subset$ A
दिए गए के अनुसार हम कह सकते हैं, इस शर्त के सत्य होने के लिए, समुच्चय B के अवयव समुच्चय A में उपस्थित होने चाहिए। समुच्चय B में = {b, c, d} अवयव मौजूद हैं लेकिन ये अवयव समुच्चय A में अवयव नहीं हैं।
इसलिए B $\not\subset$ A
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एक कमेटी में, 50 व्यक्ति फ्रेंच, 20 व्यक्ति स्पेनिश और 10 व्यक्ति स्पेनिश और फ्रेंच दोनों ही भाषाओं को बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति इन दोनों ही भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं?
AnswerA = फ्रेंच बोलने वाले व्यक्तियों का समुच्चय।
B = स्पेनिश बोलने वाले व्यक्तियों का समुच्चय
A $\cup$ B = कम से कम एक भाषा बोलने वाले व्यक्तियों का समुच्चय।
n(A) = 50, n(B) = 20
n(A $\cap$ B) = 10
$\because$ n(A $\cup$ B) = n(A) + n(B) - n(A $\cap$ B)
= 50 + 20 - 10
= 60
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65 व्यक्तियों के समूह में, 40 व्यक्ति क्रिकेट और 10 व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस दोनों को पसंद करते हैं, तो कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पसंद करते हैं किंतु क्रिकेट को नहीं? कितने व्यक्ति टेनिस को पसंद करते हैं?
AnswerA = क्रिकेट पसन्द करने वाले व्यक्तियों का समुच्चय।
B = टेनिस पसन्द करने वाले व्यक्तियों का समुच्चय
n(A $\cup$ B) = 65, n(A) = 40
n(A $\cap$ B) = 10
$\because$ n(A $\cup$ B) = n(A) + n(B) - n(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$ 65 = 40 + n(B) - 10
$\Rightarrow$ n(B) = 65 - 30 = 35
अर्थात् 35 व्यक्ति टेनिस पसन्द करते हैं।
टेनिस को पसन्द करते हैं किन्तु क्रिकेट को नहीं ऐसे व्यक्तियों का समुच्चय
= B $\cap$ A'
$\therefore$ n(B $\cap$ A') = n(B) - n(A $\cap$ B)
= 35 - 10 = 25
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70 व्यक्तियों के समूह में, 37 कॉफ़ी, 52 चाय पसंद करते हैं और प्रत्येक व्यक्ति दोनों में से कम से कम एक पेय पसंद करता है, तो कितने व्यक्ति कॉफ़ी और चाय दोनों को पसंद करते हैं?
AnswerA = कॉफी पीने वाले व्यक्तियों का समुच्चय।
B = चाय पीने व्यक्तियों का समुच्चय
n(A $\cup$ B) = 70
n(A) = 37, n(B) = 52
$\therefore$ n(A $\cup$ B) = n(A) + n(B) - n(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$ 70 = 37 + 52 - n(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$ n(A $\cap$ B) = 89 - 70 = 19
अर्थात् 19 व्यक्ति चाय और कॉफी दोनों को पसन्द करते हैं।
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यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X में 40, X $\cup$ Y में 60 और X $\cup$ Y में 10 अवयव हों, तो Y में कितने अवयव होंगे?
Answern(X) = 40, n(X $\cup$ Y) = 60, n(X $\cap$ Y) = 10
$\because$ n(X $\cup$ Y) = n(X) + n(Y) - n(X $\cap$ Y)
$\Rightarrow$ 60 = 40 + n(Y) - 10
$\Rightarrow$ 60 = 30 + n(Y)
$\Rightarrow$ n(Y) = 60 - 30 = 30
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यदि S और T दो ऐसे समुच्चय हैं कि S में 21, T में 32 और S $\cap$ T में 11 अवयव हों, तो S $\cup$ T में कितने अवयव होंगे?
Answern(S) = 21, n(T) = 32
n(S $\cap$ T) = 11
$\because$ n(S $\cap$ T) = n(S) + n(T) - n(S $\cap$ T)
$\Rightarrow$ n(S $\cap$ T) = 21 + 32 - 11 = 42
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400 व्यक्तियों के समूह में, 250 हिंदी तथा 200 अंग्रेज़ी बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति हिंदी तथा अंग्रेज़ी दोनों बोल सकते हैं?
AnswerA = हिन्दी बोलने वाले व्यक्तियों का समुच्चय।
B = अंग्रेजी बोलने वाले व्यक्तियों का समुच्चय
n(A $\cup$ B) = 400, n(A) = 250, n(B) = 200
$\because$ n(A $\cup$ B) = n(A) + n(B) - n(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$ 400 = 250 + 200 - n(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$ n(A $\cap$ B) = 450 - 400 = 50
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यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X $\cup$ Y में 18, X में 8 और Y में 15 अवयव हों, तो X $\cap$ Y में कितने अवयव होंगे?
Answern(X $\cup$ Y) = 18, n(X) = 8, n(Y) = 15
$\because$ n(X $\cup$ Y) = n(X) + n(Y) - n(X $\cup$ Y)
$\Rightarrow$ 18 = 8 + 15 - n(X $\cap$ Y)
$\Rightarrow$ n(X $\cap$ Y) = 23 - 18 = 5
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यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि n(X) = 17, n(Y) = 23 तथा n(X $\cup$ Y) = 38, तो n(X $\cap$ Y) ज्ञात कीजिए।
Answer$\therefore n ( X \cup Y )$ = n (X) + n (Y) - n $( X \cap Y)$
$\Rightarrow$ 38 = 17 + 23 - n$( X \cap Y)$
$\Rightarrow n ( X \cap Y )$ = 40 - 38 = 2
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