MCQ 11 Mark
अवकल समीकरण $(x+y)(d x-d y)=d x+d y$ का हल है :
AnswerCorrect option: C. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}+x y=x+y+c$
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$\left(1+x^2\right) d y=\left(1+y^2\right) d x$ का हल है :
- A
$x+y=k(1-x y)$
- B
$y-x=k(1-x y)$
- C
$x+y=k(1+x y)$
- ✓
$y-x=k(1+x y)$ Ans.
AnswerCorrect option: D. $y-x=k(1+x y)$ Ans.
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समीकरण $\frac{d x}{d y}+P x=Q$ का समाकलन गुणक है :
- A
$e^{\int P d x}$
- ✓
$e^{\int P d y}$
- C
$e^{\int Q d x}$
- D
$e^{\int Q d y}$
AnswerCorrect option: B. $e^{\int P d y}$
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अवकल समीकरण $x d x+y d y+\frac{x d y-y d x}{x^2+y^2}=0$ का हल है ?
- A
$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\log \left(x^2+y^2\right)+c$
- ✓
$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\log \left(x^2-y^2\right)+c$
- C
$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\tan ^{-1} \frac{x}{y}+c$
- D
$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\tan ^{-1} \frac{y}{x}+c$
AnswerCorrect option: B. $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\log \left(x^2-y^2\right)+c$
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$\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^3}{r^4+n^4}$ का मान है :
- A
$\log 2$
- ✓
$\frac{1}{4} \log 2$
- C
$-\frac{1}{4} \log 2$
- D
$4 \log 2$
AnswerCorrect option: B. $\frac{1}{4} \log 2$
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समीकरण $\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+3 y\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)=0$ का घात है :
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अवकल समीकरण $\sqrt{y^{\prime \prime}}=\left(y^{\prime}+3\right)^{1 / 3}$ की कोटि और घात है :
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अवकल समीकरण $x y \frac{d^2 y}{d x^2}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-y \frac{d y}{d x}=0$ की कोटि है :
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अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$ का घात है :
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अवकल समीकरण $2 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-3 \frac{d y}{d x}+y=0$ की कोटि है :
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अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)=1$ का घात है :
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अवकल समीकरण $1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\frac{d^2 y}{d x^2}$ का घात है :
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अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+x^3\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=x^4$ की कोटि है :
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अवकल समीकरण $(x+4)(d x-d y)=d x+d y$ का हल है :
- A
$x-y=\log (x+y)+C$
- ✓
$x^2+y^2=x+y+C$
- C
$x+y=\log (x-y)+C$
- D
$x^2-y^2=x+y+C$
AnswerCorrect option: B. $x^2+y^2=x+y+C$
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रैखिक अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ का समाकलन गुणक है :
- A
$\int_e P d y$
- B
$\int_e Q d x$
- C
$\int_e Q d y$
- ✓
$\int_P P d x$
AnswerCorrect option: D. $\int_P P d x$
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अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=e^{x+y}$ का हल है :
- ✓
$e^x+e^{-y}+k=0$
- B
$e^{2 x}=k e^y$
- C
$e^x=k e^{2 y}$
- D
$e^x=k e^y$
AnswerCorrect option: A. $e^x+e^{-y}+k=0$
View full question & answer→MCQ 171 Mark
समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2-x\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=y^3$ का घात है :
View full question & answer→MCQ 181 Mark
अवकल समीकरण $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+y=x$ की कोटि है :
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अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ जहाँ $P$ और $Q, x$ के फलन है, का समाकलन गुणांक है :
- A
$\int e^P d x$
- ✓
$e^{\int P d x}$
- C
$e^{-\int P d x}$
- D
AnswerCorrect option: B. $e^{\int P d x}$
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समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x^2}$ का समाकलन गुणक है :
- A
$\log x$
- B
$x$
- C
$\frac{1}{x}$
- ✓
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अवकल समीकरण $y d x-x d y=x y d x$ का हल है :
AnswerCorrect option: B. $x=k y e^x$
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अवकल समीकरण $1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ की कोटि और घात है :
- ✓
कोटि $=2$, घात $=3$
- B
कोटि $=1$, घात $=2$
- C
कोटि $=2$, घात $=2$
- D
AnswerCorrect option: A. कोटि $=2$, घात $=3$
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अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+y=e^{x+y}$ का व्यापक हल है :
- ✓
$e^x+e^{-y}=K$
- B
$e^x+e^y=K$
- C
$e^{-x}+e^y=K$
- D
$e^{-x}+e^{-y}=K$
AnswerCorrect option: A. $e^x+e^{-y}=K$
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अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+y=e^x$ की कोटि है :
View full question & answer→MCQ 251 Mark
अवकल समीकरण exdy + (yex + 2x)dx = 0 का व्यापक हल है:
Answerदिया गया अवकल समीकरण
exdy + (yex + 2x)dx = 0
ex$ \frac{d y}{d x}$ + yex + 2x = 0
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}$ + y = -2xe-x
जो रैखिक अवकल समीकरण है।
$\frac{d y}{d x}$ + Py = Q
तुलना करने पर, P = 1 तथा Q = -2xe-x
$\therefore$ IF = $e^{\int 1 d x}$ = ex
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
y $\cdot$ IF = $\int\left(-2 x e^{-x} \times e^{x}\right) d x+C$
$\Rightarrow y e^{x}=-\int 2 x d x+C$
$\Rightarrow$ yex = -x2 + C $\Rightarrow$ yex + x2 = C
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$\frac{d x}{d y}$ + P1x = Q1 के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल है:
- A
$y e^{\int \mathrm{P}_{1} d y}=\int\left(\mathrm{Q}_{1} e^{\int \mathrm{P}_{1} d y}\right) d y+\mathrm{C}$
- B
$x e^{\int \mathrm{P}_{1} d y}=\int\left(\mathrm{Q}_{1} e^{\int \mathrm{P}_{1} d y}\right) d y+\mathrm{C} $
- C
$y \cdot e^{\int \mathrm{P}_{1} d x}=\int\left(\mathrm{Q}_{1} e^{\int \mathrm{P}_{1} d x}\right) d x+\mathrm{C}$
- D
$x e^{\int \mathrm{P}_{1} d x}=\int\left(\mathrm{Q}_{1} e^{\int \mathrm{P}_{1} d x}\right) d x+\mathrm{C}$
Answerदिया गया अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y}$ + P1x = Q1 का समाकलन गुणांक $e^{\int \mathrm{P}_{1} d y}$ है।
अतः व्यापक हल $x \cdot {IF}=\int(Q \times {IF}) d y+C$
$\therefore x e^{\int P_1 d y}=\int\left(Q_{1} e^{\int P_1 d y}\right) d y+C$
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अवकल समीकरण $\frac{y d x-x d y}{y}=0$ का व्यापक हल है:
Answerदिया गया अवकल समीकरण है $\frac{y d x-x d y}{y}=0$
$\Rightarrow$ ydx - xdy = 0 $\Rightarrow \frac{1}{x} d x-\frac{1}{y} d y=0$
समाकलन करने पर, log |x| - log |y| = log k $\Rightarrow \log \left|\frac{x}{y}\right|=\log k \Rightarrow \frac{x}{y}=k$
$y=\frac{1}{k} x$ $\Rightarrow$ y = Cx (माना $\frac{1}{k}=C$)
View full question & answer→MCQ 281 Mark
अवकल समीकरण (1 - y2)$\frac{d y}{d x}$ + yx = ay(-1 < y < 1) का समाकलन गुणक है
Answerदिया गया अवकल समीकरण
$\left(1-y^{2}\right) \frac{d y}{d x}+y x$ = ay, -1 < y < 1 [(1 - y2) से भाग करने पर,]
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\left(\frac{y}{1-y^{2}}\right) x=\frac{a y}{1-y^{2}}$
यहाँ, $P=\frac{y}{1-y^{2}}, Q=\frac{a y}{1-y^{2}}$ तथा (समाकलन गुणांक) ${IF}=e^{\int \frac{y}{1-y^{2}} d y}$
$\Rightarrow {IF}=e^{-\frac{1}{2} f \frac{-2 y}{1-y^{2}} d y}$
$\Rightarrow {IF}=e^{\frac{-1}{2} \log \left(1-y^{2}\right)}$$\Rightarrow IF=e^{\log \left(1-y^{2}\right)^{\frac {-1} 2}}$ $=\left(1-y^{2}\right)^{\frac{-1} 2}$ $=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}$
View full question & answer→MCQ 291 Mark
अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}$ - y = 2x2 का समाकलन गुणक है:
Answerदिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}$ - y = 2x2
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}+\left(-\frac{1}{x}\right) y=2 x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + Py = Q से तुलना करने पर,
$\therefore P=-\frac{1}{x}$ तथा Q = 2x तथा (समाकलन गुणांक) IF = $e^{\int P d x}$
$\Rightarrow$ IF $= e^{\int \left(-\frac{1}{x}\right) d x}$ $\Rightarrow$ IF = e-log |x| $\Rightarrow$ IF $= e^{\log |x|^{-1}}=\frac{1}{x}$ (x > 0 मान लीजिए)
View full question & answer→MCQ 301 Mark
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है?
- A
(4x + 6y + 5) dy - (3y + 2x + 4) dx = 0
- B
(xy) dx - (x3 + y3) dy = 0
- C
y2 dx + (x2 - xy - y2) dy = 0
- D
(x3 + 2y2) dx + 2xy dy = 0
Answerदिया गया अवकल समीकरण y2 dx + (x2 - xy - y2) dy = 0
चरों के पृथक्करण से,
(x2 - xy - y2)dy = -y2 dx
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{y^{2}}{x^{2}-x y-y^{2}}$$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}{\left[1-\frac{y}{x}-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\right]} $
जो कि समघातीय अवकल समीकरण है।
View full question & answer→MCQ 311 Mark
$\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)$ के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है?
Answerचूँकि दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)$ समघातीय है।
अतः $\frac{x}{y}=v$ रखने पर,
$x=v y \Rightarrow \frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$
$v+y \frac{d v}{d y}=h v \Rightarrow y \frac{d v}{d y}=v(h-1) $ $\Rightarrow \frac{1}{(h-1) v} d v=\frac{1}{y} d v$
समाकलन करने पर, $\frac{1}{(h-1)} \int \frac{1}{V} d v=\int \frac{d y}{y}$
$\Rightarrow\frac{1}{(h-1)} \log |v|$ = log |y| + C
View full question & answer→MCQ 321 Mark
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ = ex + y का व्यापक हल है:
Answerदिया है, $\frac{d y}{d x}=e^{x+y} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{x} e^{y}$
चरों के पृथक्करण से, e-ydy = exdx
समाकलन करने पर, $\int e^{-y} d y=\int e^{x} d x $ $\Rightarrow \frac{e^{-y}}{-1}=e^{x}+A$
$\Rightarrow$ ex + e-y = -A $\Rightarrow$ ex + e-y = C, जहाँ C = -A
View full question & answer→MCQ 331 Mark
निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y = x है?
- A
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+x y=0$
- B
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+x y=x$
- C
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=x$
- D
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=0$
Answerदिया है, y = x ...(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x}=1$ ...(ii)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$ ...(iii)
अब, समी. (i) से y, समी. (ii) से y', तथा समी. (iii) से y'' का मान प्रत्येक अवकल समीकरण में रखने पर हम पाते हैं कि केवल इस विकल्प में दी गई अवकल समीकरण संतुष्ट होता है।
$\frac{d^{2} y}{d x}-x^{2} \frac{d y}{d x}$ + xy = 0 - x2 $\cdot$ 1 + x $\cdot$ x = -x2 + x2 = 0
View full question & answer→MCQ 341 Mark
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल y = c1ex + c2e-x है?
- A
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+1=0$
- B
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0$
- C
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-1=0$
- D
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$
Answerदी गई व्यापक हल y = c1ex + c2e-x ...(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y' = c1ex + c2e-x(-1)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y'' = c1ex - c2e-x(-1) $\Rightarrow$ y'' = c1ex + c2e-x
$\Rightarrow$ y'' = y [समी. (i) से]
$\Rightarrow$ y'' - y = 0
जोकि दिए गए व्यापक हल की अभीष्ट अवकल समीकरण है।
y' को $\frac{d y}{d x}$ तथा y'' को $\frac{d^2y}{d x^2}$ में परिवर्तित करने पर यह विकल्प सही है।
View full question & answer→MCQ 351 Mark
तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
Answerकिसी दिए गए अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या शून्य होती है क्योंकि अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में, हम कुछ विशिष्ट मानों को रखकर सभी अचरों को समाप्त कर देते हैं।
View full question & answer→MCQ 361 Mark
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
Answerहम जानते हैं कि किसी दिए गए अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित चरों की संख्या, दिए गए अवकल समीकरण की कोटि के बराबर होती है।
अतः दिए गए चार कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में अचरों की संख्या 4 होगी।
View full question & answer→MCQ 371 Mark
अवकल समीकरण $2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0$ की कोटि है:
Answerचूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है, अतः अवकल समीकरण की कोटि 2 है।
View full question & answer→MCQ 381 Mark
अवकल समीकरण $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ की घात है:
Answerचूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}$ है लेकिन $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ बहुपदी नहीं है, अतः घात परिभाषित नहीं है।
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