Question 512 Marks
Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\text{x}-\sin\text{x}}{\tan\text{x}+\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\text{x}-\sin\text{x}}{\tan\text{x}+\text{x}}$Dividing each term by x
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2-\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}}{\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}+1}$
$=\frac{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}2-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}+1}$
$=\frac{2-1}{1+1}$ $\Big[\because\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}=1,\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}=1\Big]$
$=\frac{1}{2}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{3^{2+\text{x}}-9}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{3^{2+\text{x}}-9}{\text{x}}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{3^2.3^\text{x}-9}{\text{x}}$
$=9\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{3^\text{x}-1}{\text{x}}$
$=9 \text{log}_\text{e}3$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\log\text{(3}+\text{x})-\log\text{(3}-\text{x})}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\log\text{(3}+\text{x})-\log\text{(3}-\text{x})}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log}\Big(\frac{3+\text{x}}{3-\text{x}}\Big)}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log}\Big(1+\frac{2\text{x}}{3-\text{x}}\Big)}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log}\Big(1+\frac{2\text{x}}{3-\text{x}}\Big)}{\frac{2\text{x}}{3-\text{x}}}\times\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2}{3-\text{x}}$
$=\frac{2}{3}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-1}\frac{\text{x}^3+1}{{\text{x}+1}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-1}\frac{\text{x}^3+1}{{\text{x}+1}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-1}\frac{(\text{x}+1)\big(\text{x}^2-\text{x}+1\big)}{(\text{x}+1)}$ $\Big[\text{a}^3+\text{b}^3=(\text{a}+\text{b})\big(\text{a}^2+\text{b}^2-\text{ab}\big)\Big]$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-1}{(\text{x}^2-\text{x}-1)}$
$=(-1)^2-(-1)+1$
$=1+1+1$
$=3$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{7\text{x}\cos\text{x}-3\sin\text{x}}{4\text{x}+\tan\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{7\text{x}\cos\text{x}-3\sin\text{x}}{4\text{x}+\tan\text{x}}$
$=\frac{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}{7\cos\text{x}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{3\sin\text{x}}{\text{x}}}{}}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}4+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}}$
$=\frac{7\times\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\cos\text{x}-3\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}}{4+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}}$
$=\frac{7\times1-3\times1}{4+1}$ $\Big[\because\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}=1,\text{ also }\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}=1\Big]$
$=\frac{4}{5}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{mx}-\text{b}^\text{nx}}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{mx}-\text{b}^\text{nx}}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\text{m}\frac{\text{a}^\text{nx}-1}{\text{mx}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\text{n}\frac{\text{b}^\text{nx}-1}{\text{nx}}$
$=\text{mlog a}-\text{nlog b}$
$=\text{log}\Big(\frac{\text{a}^\text{m}}{\text{b}^\text{n}}\Big)$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}+\text{b}^\text{x}-2}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}+\text{b}^\text{x}-2}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}-1}{\text{x}}+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{b}^\text{x}-1}{\text{x}}$
$=\text{loga}+\text{logb}$
$=\text{log (ab)}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{{\text{x}}\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\text{a}^{\cot\text{x}}-\text{a}^{\cos\text{x}}}{\cot\text{x}-\cos\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{{\text{x}}\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\text{a}^{\cot\text{x}}-\text{a}^{\cos\text{x}}}{\cot\text{x}-\cos\text{x}}$
$=\lim\limits_{{\text{x}}\rightarrow\frac{\pi}{2}}\text{a}^{\cos\text{x}}\Big[\frac{\text{a}^{\cot\text{x}-{\cos\text{x}}}-1}{\cot\text{x}-\cos\text{x}}\Big]$
$=1\times\text{log a}$
$=\text{log a}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}+\text{b}^\text{x}+\text{c}^\text{x}-3}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}+\text{b}^\text{x}+\text{c}^\text{x}-3}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}-1}{\text{x}}+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{b}^\text{x}-1}{\text{x}}+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{c}^\text{x}-1}{\text{x}}$
$=\text{log a}+\text{log b}+\text{log c}$
$=\text{log (abc)}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}+\text{b}^\text{x}-\text{c}^\text{x}-\text{d}^\text{x}}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}+\text{b}^\text{x}-\text{c}^\text{x}-\text{d}^\text{x}}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}-1}{\text{x}}+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}-1}{\text{x}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{c}^\text{x}-1}{\text{x}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{d}^\text{x}-1}{\text{x}}$
$=\text{log a}+\text{log b}-\text{log c}-\text{log d}$
$=\text{log}\Big(\frac{\text{ab}}{\text{cd}}\Big)$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\log\big|1+\text{x}^3\big|}{\sin^3\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\log\big|1+\text{x}^3\big|}{\sin^3\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\log\big|1+\text{x}^3\big|}{\sin^3\text{x}}\times\frac{1}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\big(\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}\big)^3}$
$=1\times1$
$=1$
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Evaluate the following one sided limits:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow\frac{-\pi}{2^+}}\sec\text{x}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow\frac{\pi^+}{2}}\sec\text{x}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\sec\big(-\frac{\pi}{2}+\text{h}\big)$
$=\sec\Big(-\frac{\pi}{2}+0\Big)$
$=\sec\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)$
$=\frac{1}{\cos\Big(-\frac\pi2\Big)}$
$=\frac{-1}{\Big(\cos\frac{\pi}{2}\Big)}$
$\Rightarrow\frac{-1}{0}=-\infty$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{sinx}-1}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{sinx}-1}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{sinx}-1}{\text{sinx}}\times\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{sinx}}{\text{x}}$
$=\text{log e}\times1$
$=1$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{mx}-1}{\text{b}^\text{nx}-1},\text{n}\not=0$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{mx}-1}{\text{b}^\text{nx}-1},\text{n}\not=0$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{mx}-1}{\text{mx}}\times\frac{1}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{b}^\text{nx}-1}{\text{nx}}}\times\frac{\text{m}}{\text{n}}$
$=\frac{\text{mloga}}{\text{nlogb}},\text{n}\not=0$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log}(1+\text{x})}{3^{\text{x}}-1 }$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log}(1+\text{x})}{3^{\text{x}}-1 }$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log}(1+\text{x})}{\text{x}}\times\frac{1}{\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{3^\text{x}-1}{\text{x}}}$
$=\frac{1}{\text{log3}}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}\big(2^\text{x}-1\big)}{1-\cos\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}\big(2^\text{x}-1\big)}{1-\cos\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}\big(2^\text{x}-1\big)}{2\sin^2\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\big(2^\text{x}-1\big)}{\text{x}}\times\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}^2}{\begin{pmatrix}\frac{\sin\big(\frac{\text{x}}{2}\big)}{\frac{\text{x}}{2}}\end{pmatrix}^2\times\frac{\text{x}^2}{2}}$
$=\text{2log2}$
$=\text{log4}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{2x}-\text{e}^\text{x}}{\sin2\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{2x}-\text{e}^\text{x}}{\sin2\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{2x}-\text{1}}{\sin2\text{x}}-\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{x}-\text{1}}{\sin2\text{x}}$
$=\Big(\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{2x}-\text{1}}{2\text{x}}\times\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{2x}}{\sin2\text{x}}\Big)-\frac{1}{2}\Big(\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{x}-1}{\text{x}}\times\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{2x}}{\sin2\text{x}}\Big)$
$=1-\frac{1}{2}$
$=\frac12$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^{\text{x}}-\text{e}^5}{\text{x}-5}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^{\text{x}}-\text{e}^5}{\text{x}-5}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^{5+\text{h}}-\text{e}^5}{\text{h}}$
$=\text{e}^5\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^{\text{h}}-1}{\text{h}}$
$=\text{e}^5\times1$
$=\text{e}^5$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\theta\rightarrow0}\frac{1-\cos4\theta}{1-\cos6\theta}$
Answer$\lim\limits_{\theta\rightarrow0}\frac{1-\cos4\theta}{1-\cos6\theta}$
$=\lim\limits_{\theta \rightarrow0}\frac{2\sin^22\theta}{2\sin^23\theta}$
$=\lim\limits_{\theta \rightarrow0}\frac{(\sin2\theta)^2}{(\sin3\theta)^2}$
$=\frac{\lim\limits_{\theta \rightarrow0}\big(\frac{\sin2\theta}{2\theta}\big)^2\times4\theta^2}{\lim\limits_{\theta \rightarrow0}\big(\frac{\sin3\theta}{3\theta}\big)^2\times9\theta^2}$
$=\frac{1\times4\theta^2}{1\times9\theta^2}$
$=\frac{4}{9}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{8^\text{x}-4^\text{x}-2^\text{x}+1}{\text{x}^2}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\bigg[\frac{8^\text{x}-4^\text{x}-2^\text{x}+1}{\text{x}^2}\bigg]$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\Bigg[\frac{\big(2^\text{x}\big)^3-\big(2^\text{x}\big)^2-2^\text{x}+1}{\text{x}^2}\Bigg]$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\Bigg[\frac{\big(2^\text{x}\big)^2\big(2^\text{x}-1\big)-1\big(2^\text{x}-1\big)}{\text{x}^2}\Bigg]$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\Bigg[\frac{\big(2^\text{2x}-1\big)\big(2^\text{x}-1\big)}{\text{x}^2}\Bigg]$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\Bigg[\frac{2\big(2^\text{2x}-1\big)}{2\text{x}}\times\Big(\frac{2^\text{x}-1}{\text{x}}\Big)\Bigg]$
$=2\text{ log }2\times\text{log }2$
$=\text{ log }(2)^2\times\text{log }2$
$=(\text{ log }4)\times(\text{log }2)$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow4}\frac{\text{x}^2-7\text{x}+12}{{\text{x}^2}-3\text{x}-4}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow4}\frac{\text{x}^2-7\text{x}+12}{{\text{x}^2}-3\text{x}-4}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow4}\frac{\text{x}^2-3\text{x}-4\text{x}+12}{\text{x}^2+\text{x}-4\text{x}-4}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow4}\frac{\text{x}(\text{x}-3)-4(\text{x}-3)}{\text{x}(\text{x}+1)-1(\text{x}+1)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow4}\frac{(\text{x}-3)(\text{x}-4)}{(\text{x}-4)(\text{x}+1)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow4}\frac{\text{x}-3}{\text{x}+1}$
$=\frac{4-3}{4+1}$
$=\frac15$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log(a+x)}-\text{log(a}-\text{x})}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log(a+x)}-\text{log(a}-\text{x})}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log}\Big(\frac{\text{a}+\text{x}}{\text{a}-\text{x}}\Big)}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{log}\Big(1+\frac{2\text{x}}{\text{a}-\text{x}}\Big)}{\frac{\text{2x}}{\text{a}-\text{x}}}\times\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2}{\text{a}-\text{x}}$
$=\frac{2}{\text{a}}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{x}-1+\sin\text{x}}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{x}-1+\sin\text{x}}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{e}^\text{x}-1}{\text{x}}+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}$
$=\text{log e+1}$
$=2$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-\frac12}\frac{8\text{x}^3+1}{2{\text{x}}+1}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-\frac12}\frac{8\text{x}^3+1}{2{\text{x}}+1}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-\frac12}\frac{8\Big(\text{x}^2+\frac18\Big)}{2\Big(\text{x}+\frac12\Big)}$
$=\frac82\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-\frac12}\frac{\Big(\text{x}^3+\big(\frac12\big)^3\Big)}{\text{x}+\frac12}$
$=4\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-\frac{1}{2}}\frac{\Big(\text{x}+\frac12\Big)\Big(\text{x}^2+\frac14-\frac12\text{x}\Big)}{\Big(\text{x}+\frac12\Big)}$
$=4\Big(\Big(\frac{-1}{2}\Big)+\frac14-\frac12\Big(\frac{-1}{2}\Big)\Big)$
$=4\Big(\frac14+\frac14+\frac14\Big)$
$=3$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}\frac{\text{x}^4-16}{{\text{x}}-2}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}\frac{\text{x}^4-16}{{\text{x}}-2}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}\frac{\big(\text{x}^2+4\big)\big(\text{x}^2+4\big)}{({\text{x}}-2)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}\frac{(\text{x}-2)(\text{x}+2)\big(\text{x}^2+4\big)}{({\text{x}}-2)}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}{(\text{x}+2)\big(\text{x}^2+4\big)}$
$=(2+2)(4+4)$
$=4(8)$
$=32$
View full question & answer→Question 762 Marks
Find $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\text{f(x)}$ if $\text{f(x)}=\begin{cases}\text{x}^2-1, & \text{x} \le1\\-\text{x}^2-1, &\text{x} > 1\end{cases}.$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^+}\text{f(x)}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^-}\text{x}^2-1=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}(-1-\text{h})^2-1=1-1=0$
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^+}\text{f(x)}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^+}\text{x}^2-\text{x}^2-1=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}-(1-\text{h})^2-1=-2$
Since,
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^-}\text{f(x)}\ne\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1^+}\text{f(x)}$
$\therefore\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\text{f(x)}$ doesnot exist.
View full question & answer→Question 772 Marks
Let $\text{f(x)}=\begin{cases}\text{x}+1, & \text{if x}> 0\\\text{x}-1, &\text{if x} < 0\end{cases}.$ Prove that $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\text{f(x)}$ does not exist.
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^+}\text{f(x)}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^+}\text{ x}+1$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}(0+\text{h})+1=1$
Also, $\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^+}\text{f(x)}\neq\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\text{f(x)}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}(0-\text{h})-1=-1$
$\Rightarrow\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^+}\text{f(x)}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^-}\text{f(x)}$
Hence, limit does not exist.
View full question & answer→Question 782 Marks
Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}^\circ}{\text{x}^\circ}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}^\circ}{\text{x}^\circ}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{{\sin\frac{\text{x}\times\pi}{180}}}{{\text{x}}\times\frac{\pi}{180}}$ $\Big[\because1^\circ=\frac{\pi}{180}\text{ radious}\Big]$
$=\lim\limits_{{\frac{\pi\text{x}}{180}}\rightarrow0}\frac{\sin\frac{\text{x}\times\pi}{180}}{\frac{\pi\text{x}}{180}}$ $\Big[\because\text{if x}\rightarrow0\text{ then }\frac{\pi\text{x}}{180}\rightarrow0\Big]$
$=1$ $\Big[\because\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\tan\text{x}}{\text{x}}=1\Big]$
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Evaluate the following one sided limits:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^+}\frac{1}{3\text{x}}.$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0^+}\frac{1}{3\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{1}{3(0+\text{h)}}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{1}{(0+3\text{h})}$
$=\frac{1}{0}=\infty$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+\text{x}}-1}{\text{log(1+x)}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+\text{x}}-1}{\text{log(1+x)}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\big(\sqrt{1+\text{x}}-1\big)\big(\sqrt{1+\text{x}}+1\big)}{\log\text{(1+x)}{\big(\sqrt{1+\text{x}}+1\big)}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}}{\text{log(1+x)}{\big(\sqrt{1+\text{x}}+1\big)}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{1}{\frac{\text{log(1+x)}}{\text{x}}}\times\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{1}{\big(\sqrt{1+\text{x}+1}\big)}$
$=1\times\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\Big(\frac{1}{\text{x}-3}-\frac{3}{\text{x}^2-3\text{x}}\Big)$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\Big(\frac{1}{\text{x}-3}-\frac{3}{\text{x}^2-3\text{x}}\Big)$$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\Big(\frac{1}{\text{x}-3}-\frac{3}{\text{x}(\text{x}-3)}\Big)$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\Big(\frac{\text{x}-3}{\text{x}(\text{x}-3)}\Big)$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow3}\Big(\frac{1}{\text{x}}\Big)$
$=\frac{1}{3}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin2\text{x}}{\text{e}^\text{x}-1}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin2\text{x}}{\text{e}^\text{x}-1}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin2\text{x}}{\text{2x}}\times2\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{x}}{\text{e}^\text{x}-1}$
$=1\times2\times\text{log}\text{ e}$
$=2$
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Evaluate the following one sided limits:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-8^+}\frac{2\text{x}}{\text{x}+8}.$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow-8^+}\frac{2\text{x}}{\text{x}+8}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{2(-8+\text{h})}{(-8+\text{h)+8}}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{-16+2\text{h}}{\text{h}}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{-16}{\text{h}}+2$
$\Rightarrow\frac{-16}{0}+2=-\infty$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}-\text{a}^{\text{-x}}}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{x}-\text{a}^{\text{-x}}}{\text{x}}=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\text{a}^\text{2x}-1}{\text{xa}^\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2\big(\text{a}^{2\text{x}}-1\big)}{2\text{x}}\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{1}{\text{a}^\text{x}}$
$=2\text{log}_e 2$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}\frac{\text{x}-2}{\text{log}_\text{a}(\text{x}-1)}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow2}\frac{\text{x}-2}{\text{log}_\text{a}(\text{x}-1)}$
Let x - 2 = h
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{\text{h}}{\text{log}_\text{a}(\text{h+1})}$
$=\lim\limits_{\text{h}\rightarrow0}\frac{\frac{\text{log a}}{\text{log(h+1)}}}{\text{h}}$
$=\text{log a}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\Big(\frac{1}{\text{x}^2+\text{x}-2}-\frac{\text{x}}{\text{x}^3-1}\Big)$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\Big(\frac{1}{\text{x}^2+\text{x}-2}-\frac{\text{x}}{\text{x}^3-1}\Big)$$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\Big(\frac{1}{\text{x}^2+\text{x}-2}-\frac{\text{x}}{(\text{x}-1)(\text{x}^2+\text{x}+1)}\Big)$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\Big(\frac{\text{x}^3-1-\text{x}^3-\text{x}^2+2\text{x}}{(\text{x}^3-1)(\text{x}^2+\text{x}-2)}\Big)$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\Bigg(\frac{\big(\text{x}^2-2\text{x}+1\big)}{\big(\text{x}^3-1\big)\big(\text{x}^2+\text{x}-2\big)}\Bigg)$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\Big(\frac{(\text{x}-1)(\text{x}-1)}{(\text{x}-1)(\text{x}^2+1+\text{x})(\text{x}^2+\text{x}-2)}\Big)$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow1}\Big(\frac{\text{x}-1}{(\text{x}^2+1+\text{x})(\text{x}+2)(\text{x}-1)}\Big)$
$=\frac{1}{(1+1+1)(1+2)}$
$=\frac19$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{5^\text{x}+3^\text{x}+2^\text{x}-3}{\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{5^\text{x}+3^\text{x}+2^\text{x}-3}{\text{x}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{5^\text{x}-1}{\text{x}}+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{3^\text{x}-1}{\text{x}}+\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{2^\text{x}-1}{\text{x}}$
$=\text{log5}+\text{log3}+\text{log2}$
$=\text{log 30}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin3\text{x}}{5\text{x}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin3\text{x}}{5\text{x}}$
$=\frac{1}{5}\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin3\text{x}}{3\text{x}}\times3$
$=\frac35\lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin3\text{x}}{3\text{x}}$
$=\frac{3}{5}\times1$ $\Big[\because\ \lim\limits_{\text{x}\rightarrow0}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}=1\Big]$
$=\frac{3}{5}$
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Evaluate the following limit:
$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\cos\text{x}-\cos\text{a}}{\text{x}-\text{a}}$
Answer$\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\cos\text{x}-\cos\text{a}}{\text{x}-\text{a}}$
$=\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\big(-2\sin\big(\frac{\text{x}+\text{a}}{2}\big)\sin\big(\frac{\text{x}-\text{a}}{2}\big)\big)}{\text{x}-\text{a}}$
$=-2\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\sin\Big(\frac{\text{x}+\text{a}}{2}\Big)\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\sin\big(\frac{\text{x}-\text{a}}{2}\big)}{\text{x}-\text{a}}$
$=-2\times\sin\Big(\frac{\text{a}+\text{a}}{2}\Big)\times\Bigg(\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}\rightarrow0}}\frac{\sin\big(\frac{\text{x}-\text{a}}{2}\big)}{\frac{\text{x}-\text{a}}{2}}\Bigg)\times\frac{1}{2}$
$=-2\sin\text{a}\times1\times\frac12$ $\Big[\because\lim\limits_{\text{x}\rightarrow{\text{a}}}\frac{\sin\text{x}}{\text{x}}=1\Big]$
$=-\sin\text{a}$
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