प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

Question 13 Marks

$\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}}+\frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}}+\frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

हमें ज्ञात है: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}}+\frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}}+\frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
$=4(216)^{\frac{2}{3}}+(256)^{\frac{3}{4}}+2(243)^{\frac{1}{5}}$
$=4\left(6^{3}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(4^{4}\right)^{\frac{3}{4}}+2\left(3^{5}\right)^{\frac{1}{5}}$
$=4 \times 6^{3 \times \frac{2}{3}}+4^{4 \times \frac{3}{4}}+2 \times 3^{5 \times \frac{1}{5}}$
$=4 \times 6^2+4^3+2 \times 3 $
$=144+64+6=214$

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Question 23 Marks

सरल कीजिए: $(256)^{-\left(4^{\frac{-3}{2}}\right)}$

Answer

$(256)^{-\left(4^{-\frac{3}{2}}\right)}=\left(2^{8}\right)^{-\left(4^{-\frac{3}{2}}\right)}=\left(2^{8}\right)^{-\left(2^{2 \times-\frac{3}{2}}\right)}=\left(2^{8}\right)^{-\left(2^{-3}\right)}$
$\left(2^{8}\right)^{-\left(\frac{1}{8}\right)}=2^{8 \times\left(-\frac{1}{8}\right)}=2^{-1}=\frac{1}{2}$

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Question 33 Marks

यदि x = $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ और y = $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ है, तो $x^2+ y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} $(परिमेयीकरण करने पर)
$ =\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} $
$ =\frac{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{3-2}\left[\because(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2 ;(a+b)(a-b)=a^2-b^2\right] $
$=3+2+2 \sqrt{6}=5+2 \sqrt{6} $
$ \Rightarrow x^2=(5+2 \sqrt{6})^2=(5)^2+(2 \sqrt{6})^2+2 \cdot 5 \cdot 2 \sqrt{6}=25+24+20 \sqrt{6} $
$ \Rightarrow x^2=49+20 \sqrt{6}$
इसी प्रकार,$y^2=49-20 \sqrt{6}$
अब,$ x^2+y^2=49+20 \sqrt{6}+49-20 \sqrt{6}=98$

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Question 43 Marks

यदि a = $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ है, तो $a^2+\frac{1}{a^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

$a = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$
$\Rightarrow$ $a^2 = \frac{(3+\sqrt{5})^{2}}{4}$
$=\frac{9+5+6 \sqrt{5}}{4}=\frac{14+6 \sqrt{5}}{4}=\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}$
$\frac{1}{a^{2}}=\frac{2}{7+3 \sqrt{5}}=\frac{2}{7+3 \sqrt{5}} \times \frac{7-3 \sqrt{5}}{7-3 \sqrt{5}}=\frac{2(7-3 \sqrt{5})}{(7)^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$
$=\frac{2(7-3 \sqrt{5})}{49-45}=\frac{2(7-3 \sqrt{5})}{4}=\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}$
$\therefore$ $a^2+\frac{1}{a^{2}}$ = $\frac{7+3 \sqrt{5}}{2}+\frac{7-3 \sqrt{5}}{2}$
$=\frac{7+3 \sqrt{5}+7-3 \sqrt{5}}{2}=\frac{14}{2} = 7$

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Question 53 Marks

यदि $\sqrt{2} $ = 1.414, $\sqrt{3} $ = 1.732 हो, तो $\frac{4}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}+\frac{3}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया है,
$\frac{4}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}+\frac{3}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}=\frac{4(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})+3(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}$
$=\frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}+9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{(3 \sqrt{3})^{2}-(2 \sqrt{2})^{2}}$ $\left[\because(a+b)(a-b)=a^2-b^2\right]$
$=\frac{21 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{27-8}=\frac{21 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{19}$
$=\frac{21 \times 1.732+2 \times 1.414}{19}=\frac{36.372+2.828}{19}$
$=\frac{39.2}{19}$ = 2.06316 = 2.063

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Question 63 Marks

सरल कीजिए: $\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}}-\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}+3 \sqrt{2}}$

Answer

$\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{3}}{\sqrt{10}-\sqrt{3}}$ (परिमेयीकरण करने पर)
$=\frac{7 \sqrt{30}-21}{(\sqrt{10})^{-2}-(\sqrt{3})^{2}}$ $\left[\because(a+b)(a-b)=a^2-b^2\right]$
$=\frac{7(\sqrt{30}-3)}{7}=\sqrt{30}$ - 3
$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}$ (परिमेयीकरण करने पर)
$=\frac{2 \sqrt{30}-10}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}=2 \sqrt{30}$ - 10
तथा $\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}+3 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{30}-18}{(\sqrt{15})^{2}-(3 \sqrt{2})^{2}}$ (परिमेयीकरण करने पर)
$=\frac{3(\sqrt{30}-6)}{15-18}=\frac{3(\sqrt{30}-6)}{-3}$ = 6 - $\sqrt{30}$
अब, $\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}}-\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}-\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}+3 \sqrt{2}}$
= ($\sqrt{30}$ - 3) - ($2\sqrt{30}$ - 10) - (6 - $\sqrt{30}$)
= $\sqrt{30}$ - 3 - $2\sqrt{30}$ + 10 - 6 + $\sqrt{30}$ - $2\sqrt{30}$ - $2\sqrt{30}$ + 10 - 9 = 1

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Question 73 Marks

0.6 + $0 . \overline{7}$ + $0 .4 \overline{7}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q $\neq$ 0 है।

Answer

माना, x = $0 . \overline{7}$ = 0.777... (i)
समी (i) में 10 से गुणा करने पर,
10x = 7.77... (ii)
समी (ii) में से समी (i) को घटाने पर,
(10x - x) = (7.77...) - (0.777...)
$\Rightarrow$ 9x = 7 $\Rightarrow$ x = $\frac{7}{9}$
माना, y = $0 . 4\overline{7}$ = 0.4777... (iii)
समी (iii) में 10 से गुणा करने पर,
10y = 4.777... (iv)
समी (iv) में 10 से गुणा करने पर,
(100y - 10y) = (47.77... - 4.777...)
$\Rightarrow$ 90y = 43 $\Rightarrow$ y = $\frac{43}{90}$
0.6 + $0 . \overline{7}$ + $0 .4 \overline{7}$ = $\frac{6}{10}+\frac{7}{9}+\frac{43}{90}=\frac{54+70+43}{90}=\frac{167}{90}$

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Question 83 Marks

यदि $a = 5 + 2 \sqrt{6}$ और b = $\frac{1}{a}$ है, तो $ a^2+b^2$ का मान क्या होगा?

Answer

$a=5+2 \sqrt{6}$
$ b=\frac{1}{a}=\frac{1}{5+2 \sqrt{6}}=\frac{1}{5+2 \sqrt{6}} \times \frac{5-2 \sqrt{6}}{5-2 \sqrt{6}}=\frac{5-2 \sqrt{6}}{5^2-(2 \sqrt{6})^2}=\frac{5-2 \sqrt{6}}{25-24}=5-2 \sqrt{6} $
इसलिए, $a^2+b^2=(a+b)^2-2 a b $
यहाँ, $ a+b=(5+2 \sqrt{6})+(5-2 \sqrt{6})=10$
$ a b=(5+2 \sqrt{6})(5-2 \sqrt{6})=5^2-(2 \sqrt{6})^2=25-24=1$
अतः, $ a^2+b^2=10^2-2 \times 1=100-2=98$

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

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