प्रश्नों के उत्तर लिखिए। [6M] - गणित कक्षा 10 Questions - Vidyadip

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प्रश्नों के उत्तर लिखिए। [6M]

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Question 16 Marks

समस्या में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है।

Answer

माना नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
और सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष पहले,
नूरी की आयु = (x - 5) वर्ष
सोनू की आयु = (y - 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x - 5 = 3(y - 5)
$\Rightarrow$ x - 5 = 3y - 15
$\Rightarrow$ x - 3y = -10
10 वर्ष बाद,
नूरी की आयु = (x + 10) वर्ष
सोनू की आयु = (y + 10) वर्ष
प्रश्नानुसार,
x + 10 = 2(y + 10)
$\Rightarrow$ x + 10 = 2y + 20
$\Rightarrow$ x - 2y = 10
x - 3y = -10
x - 2y = 10 ...(i)
x - 2y = 10
समीकरण (i) से
x - 3y = -10
$\Rightarrow$ x = 3y - 10 ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
x - 2y = 10
$\Rightarrow $ 3y - 10 - 2y = 10
$\Rightarrow$ y = 20
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 3y - 10
= 3(20) - 10
= 60 - 10 = 50
तो, नूरी की आयु = 50 वर्ष
सोनू की आयु = 20 वर्ष

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Question 26 Marks

समस्या में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह $\frac{1}{2}$ हो जाती है। वह भिन्न क्या है?

Answer

माना भिन्न का अंश x और हर y है, तब
तब भिन्न = $\frac{x}{y}$
प्रश्नानुसार
$\frac{x+1}{y-1}$ = 1
आर - पार गुणा करने पर
$\Rightarrow$ x + 1 = y - 1
$\Rightarrow$ x - y = -2
$\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}$
आर - पार गुणा करने पर
$\Rightarrow$ 2x = y + 1
$\Rightarrow$ 2x - y = 1
x - y = -2 ...(i)
2x - y = 1 ...(ii)
समीकरण (i) से
x - y = -2
$\Rightarrow$ x = y - 2 ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
2x - y = 1
$\Rightarrow$ 2(y - 2) - y = 1
$\Rightarrow$ 2y - 4 - y = 1
$\Rightarrow$ y - 4 = 1 $\Rightarrow$ y = 5
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = y - 2
= 5 - 2 = 3
तो भिन्न होगी = $\frac{3}{5}$

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Question 36 Marks

समीकरण $\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}$ = -1 और x - $\frac{y}{3}$ = 3 के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?

Answer

$\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}$ = -1
x - $\frac{y}{3}$ = 3
$\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}$ = 1
$\Rightarrow \frac{3 x+4 y}{6}$ = -1
$\Rightarrow$ 3x + 4y = -6
x - $\frac{y}{3}$ = 3
$\Rightarrow \frac{3 x-y}{3}$ = 3
3x + 4y = -6 ...(i)
3x - y = 9 ...(ii)
विलोपन विधि द्वारा हल करने पर:
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर

$\Rightarrow$ y = $\frac{-15}{5}$
$\Rightarrow$ y = -3
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
3x + 4y = -6
3x + 4(-3) = -6
$\Rightarrow$ 3x - 12 = -6
$\Rightarrow$ 3x = 6
$\Rightarrow$ x = 2
x = 2, y = -3
प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने पर:
$\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}$ = -1
$\Rightarrow$ 3x + 4y = -6
x - $\frac{y}{3}$ = 3
$\Rightarrow$ 3x - y = 9
3x + 4y = -6 ...(i)
3x - y = 9 ...(ii)
समीकरण (ii) से
3x - y = 9
$\Rightarrow$ y = 3x - 9 ...(iii)
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
3x + 4y = -6
$\Rightarrow$ 3x + 4(3x - 9) = -6
$\Rightarrow$ 3x + 12x - 36 = -6
$\Rightarrow$ 15x = -6 + 36
$\Rightarrow$ 15x = 30
$\Rightarrow$ x = 2
x का मान समीकरण (iii) में रखने पर
y = 3x - 9
= 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3
x = 2, y = -3

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Question 46 Marks

समीकरण 3x - 5y - 4 = 0 और 9x = 2y + 7 के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?

Answer

विलोपन विधि:
3x - 5y - 4 = 0 $\Rightarrow$ 3x - 5y = 4 ...(i)
एवं 9x = 2y + 7 = 9x - 2y = 7 ...(ii)
9x - 15y = 12 ...(iii) [समीकरण (i) $\times$ (iii) से]
$\Rightarrow$ 13y = -5 [समीकरण (ii) - समीकरण (iii) से]
$\Rightarrow$ y = $(\frac{-5}{13})$
समीकरण (1) में y का मान रखने पर हम पाते हैं :
3x – 5$\left(\frac{-5}{13}\right)$ = 4
$\Rightarrow$ 39x + 25 = 52 $\Rightarrow$ 39x = 52 - 25 = 27
$\Rightarrow$ x = $\frac{27}{39}=\frac{9}{13}$
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = $\frac{9}{13}$ एवं y = $\frac{-5}{13}$ है।
प्रतिस्थापन विधि:
समीकरण (i) से x = $\frac{5 y+4}{3}$ समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
$9\left(\frac{5 y+4}{3}\right)$ - 2y = 7
$\Rightarrow$ 15y + 12 - 2y = 7 $\Rightarrow$ 13y = 7 - 12 = -5
$\Rightarrow$ y = $\frac{-5}{13}$
एवं x = $\frac{5\left(\frac{-5}{13}\right)+4}{3}=\frac{-25+52}{39}$ = $\frac{27}{39}=\frac{9}{13}$
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = $\frac{9}{13}$ एवं y = $\frac{-5}{13}$ है।

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Question 56 Marks

इस समीकरण 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2 के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?

Answer

3x + 4y = 10 ...(i)
2x - 2y = 2 ...(ii)
विलोपन विधि द्वारा हल करने पर:
समीकरण (i) और ((ii) को समन बनाने के लिए समीकरण (ii) को 2 से गुणा करके जाने पर
3x + 4y = 10
$\frac{4 x-4 y=4}{7 x}$ = 14
$\Rightarrow$ x = $\frac{14}{7}$ = 2
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
3x + 4y = 10
$\Rightarrow$ 3(2) + 4y = 10
$\Rightarrow$ 6 + 4y = 10
$\Rightarrow$ 4y = 4
x = 2, y = 1
$\Rightarrow$ y = 1
प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने पर:
3x + 4y = 10 ...(i)
2x - 2y = 2 ...(ii)
समीकरण (i) से
3x + 4y = 10
$\Rightarrow$ 3x = 10 - 4y
$\Rightarrow$ x$\frac{10-4 y}{3}$ ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
2x - 2y = 2
$\Rightarrow$ $2\left(\frac{10-4 y}{3}\right)-2 y$ = 2
$\Rightarrow \frac{2(10-4 y)-6 y}{3}$ = 2
$\Rightarrow$ 20 - 8y - 6y = 6
$\Rightarrow$ -14y = 6 - 20
$\Rightarrow$ -14y = -14
$\Rightarrow$ y = 1
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = $\frac{10-4 y}{3}$ = $\frac{10-4(1)}{3}$ = $\frac{10-4}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2
x = 2, y = 1

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Question 66 Marks

इस समीकरण x + y = 5 और 2x - 3y = 4 के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?

Answer

x + y = 5 ...(i)
2x - 3y = 4 ...(ii)
विलोपन विधि द्वारा हल करने पर:
समीकरण (i) और (ii) को 3 से गुणाकरने पर, हमे प्राप्त होगा

x का मान समीकरण (i) में रखने पर
x + y = 5
$\Rightarrow$ $\frac{19}{5}$ + y = 5
$\Rightarrow$ y = 5 - $\frac{19}{5}$ = $\frac{25-19}{5}=\frac{6}{5}$
x = $\frac{19}{5}$, y = $\frac{6}{5}$
प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करने पर:
x + y = 5 ...(i)
2x - 3y = 4 ...(ii)
समीकरण (i) से
x + y = 5
$\Rightarrow$ x = 5 - y ...(iii)
x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
2x - 3y = 4
$\Rightarrow$ 2(5 - y) - 3y = 4
$\Rightarrow$ 10 - 2y - 3y = 4
$\Rightarrow$ 10 - 5y = 4
$\Rightarrow$ -5y = 4 - 10
$\Rightarrow$ -5y = -6
$\Rightarrow$ y = $\frac{6}{5}$
y का मान समीकरण (iii) में रखने पर
$\Rightarrow$ x = 5 - $\frac{6}{5}$
$\Rightarrow$ x = $\frac{25-6}{5}=\frac{19}{5}$
x = $\frac{19}{5}$, y = $\frac{6}{5}$

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Question 76 Marks

प्रश्नावली 3.1 के प्रश्न संख्या 1 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।

Answer

माना आफ़ताब और उसकी पुत्री की आयु (वर्षों में) क्रमशः s और t हैं। तब, उस स्थिति को निरूपित करने के लिए, रैखिक समीकरण युग्म है:
s - 7 = 7(t - 7), अर्थात् s - 7t + 42 = 0 ...(1)
तथा s + 3 = 3(t + 3), अर्थात् s - 3t = 6 ...(2)
समीकरण (2) का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं: s = 3t + 6
समीकरण (1) में s का मान रखने पर, हम पाते हैं:
(3t + 6) -7t + 42 = 0
अर्थात्
4t = 48, जिससे t = 12 प्राप्त होता है।
t के इस मान को समीकरण (2) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
s = 3(12) + 6 = 42
अत:, आफ़ताब और उसकी पुत्री क्रमशः 42 वर्ष और 12 वर्ष के हैं।
इस उत्तर की पुष्टि के लिए, यह जाँच कर लीजिए कि यह दी हुई समस्या के प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है या नहीं।

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Question 86 Marks

प्रतिस्थापना विधि द्वारा निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए :
7x - 15y = 2 ...(1)
x + 2y = 3 ...(2)

Answer

चरण 1: हम किसी एक समीकरण को लेते हैं और किसी एक चर को दूसरे के पदों में लिखते हैं। आइए समीकरण (2)
x + 2y = 3, को लें और इसे x = 3 - 2y के रूप में लिखें। (3)
चरण 2: x का यह मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित कीजिए। हम पाते हैं:
7(3 - 2y) - 15y = 2
अर्थात् 21 - 14y - 15y = 2
अर्थात् -29y = -19
इसलिए y = $\frac{19}{29}$
चरण 3: y का यह मान समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:
x = 3 - 2$\left(\frac{19}{29}\right)=\frac{49}{29}$
अतः हल है: x = $\frac{49}{29}$, y = $\frac{19}{29}$

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Question 96 Marks

चंपा एक सेल में कुछ पैंट और स्कर्ट खरीदने गई। जब उसकी सहेलियों ने पूछा कि प्रत्येक के कितने नग खरीदे, तो उसने उत्तर दिया, स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंटों की संख्या की दो गुनी से दो कम है। स्कर्ट की संख्या खरीदी गई पैंटों की संख्या की चार गुनी से भी चार कम है। सहेलियों की यह जानने के लिए सहायता कीजिए कि चंपा ने कितनी पैंट और स्कर्ट खरीदीं।

Answer

आइए हम पैंटों की संख्या को x तथा स्कर्ट की संख्या को y से निरूपित करें। तब, इनसे बनी समीकरण हैं:
y = 2x - 2 ...(1)
और y = 4x - 4 ...(2)
अब आइए समीकरणों (1) और (2) के ग्राफ खींचने के लिए, प्रत्येक समीकरण के दो हल ज्ञात करेंगे। ये सारणी में दिए हैं:

x	2	0
y = 2x - 2	2	-2

x	0	1
y = 4x - 4	-4	0

बिंदुओं को आलेखित कीजिए और समीकरणों को निरूपित करने के लिए उनसे जाने वाली रेखाएँ खींचिए, जैसा आकृति में दिखाया गया है।
ये दोनों रेखाएँ बिंदु (1, 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए x = 1, y = 0 रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल है, अर्थात् उसके द्वारा खरीदी गई पैंटों की संख्या 1 है और उसने कोई स्कर्ट नहीं खरीदी है।

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Question 106 Marks

ग्राफ द्वारा जाँच कीजिए कि समीकरण युग्म
x + 3y = 6 ...(1)
और 2x - 3y = 12 ...(2)
संगत है। यदि ऐसा है, तो उन्हें ग्राफ द्वारा हल कीजिए।

Answer

आइए समीकरणों (1) और (2) के ग्राफ खींचें। इसके लिए, हम प्रत्येक समीकरण के दो हल ज्ञात करते हैं, जो सारणी में दिए हैं:

x	0	6
y = $\frac{6-x}{3}$	2	0

x	0	3
y = $\frac{2 x-12}{3}$	-4	-2

एक ग्राफ पेपर पर बिंदुओं A(0, 2), B(6, 0), P(0, -4) और Q(3, -2) को आलेखित कीजिए, और बिंदुओं को मिलाकर रेखा AB और PQ आकृति के अनुसार बनाइए। हम देखते हैं कि रेखाओं AB और PQ में एक उभयनिष्ठ बिंदु B(6, 0) है। इसलिए, रैखिक समीकरण युग्म का एक हल x = 6, y = 0 है, अर्थात् समीकरण युग्म संगत है।

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Question 116 Marks

दो रेल पटरियाँ, समीकरणों x + 2y - 4 = 0 और 2x + 4y - 12 = 0 द्वारा निरूपित की गई हैं। इस स्थिति को ज्यामितीय रूप से व्यक्त कीजिए।

Answer

समीकरणों
x + 2y - 4 = 0 ...(1)
2x + 4y - 12 = 0 ...(2)
में से प्रत्येक के दो हल सारणी में दिए गए हैं:

x 0 4

y = $\frac{4-x}{2}$ 2 2
x 0 6

y = $\frac{12-2 x}{4}$ 3 0

इन समीकरणों को ग्राफीय रूप में प्रदर्शित करने के लिए, हम बिंदुओं R(0, 2) और S(4, 0) को रेखा RS प्राप्त करने के लिए आलेखित करते हैं और बिंदुओं P(0, 3) और Q(6, 0) को रेखा PQ प्राप्त करने के लिए आलेखित करते हैं।

आकृति में, हम देखते हैं कि ये रेखाएँ कहीं पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, अर्थात् वे समांतर हैं।

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Question 126 Marks

रोमिला एक स्टेशनरी की दुकान में गई और ₹9 में 2 पेंसिल तथा 3 रबड़ खरीदीं। उसकी सहेली सोनाली ने रोमिला के पास नई तरह की पेंसिल और रबड़ देखी और उसने भी ₹18 में उसी तरह की 4 पेंसिल और 6 रबड़ खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ग्राफीय (ज्यामितीय) रूपों में व्यक्त कीजिए।

Answer

आइए 1 पेंसिल का मूल्य ₹x तथा 1 रबड़ का मूल्य ₹ y मान लें। तब, बीजगणितीय रूप निम्न समीकरणों द्वारा देय है:
2x + 3y = 9 ...(1)
4x + 6y = 18 ...(2)
इनका तुल्य ज्यामितीय निरूपण ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण द्वारा निरूपित रेखा पर दो बिंदु प्राप्त करते हैं। अर्थात्, हम प्रत्येक समीकरण के दो हल प्राप्त करते हैं। ये हल निम्न सारणी में दिए गए हैं:

x 0 4.5

y = $\frac {9-2x}{3}$ 3 0
x 0 3

y = $\frac{18-4 x}{6}$ 3 1

हम इन बिंदुओं को एक ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं और रेखाएँ खींचते हैं। हम पाते हैं कि दोनों रेखाएँ संपाती हैं (देखिए आकृति)। ऐसा इसलिए है कि दोनों समीकरण तुल्य हैं, अर्थात् एक को दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है।

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Question 136 Marks

एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 km तथा धारा के अनुकूल 44 km जाती है। 13 घंटे में वह 40 km धारा के प्रतिकूल एवं 55 km धारा के अनुकूल जाती है। धारा की चाल तथा नाव की स्थिर पानी में चाल ज्ञात कीजिए।

Answer

माना नाव की स्थिर जल में चाल x km/h है तथा धारा की चाल y km/h है। साथ ही, नाव की धारा के अनुकूल चाल = (x + y) km/h तथा नाव की धारा के प्रतिकूल चाल = (x-y) km/h होगी।
साथ ही,
समय
प्रथम स्थिति में, जब नाव 30 km धारा के प्रतिकूल चलती है, माना घंटों में लिया गया समय t₁ है। तब
t₁= $\frac{30}{(x-y)}$
माना t₂ घंटों में वह समय है जिसमें नाव 44 km धारा के अनुकूल चलती है। तब, t₂= $\frac{44}{x+y}$ है। कुल लगा समय t₁+ t₂, 10 घंटा है। अतः, हमें समीकरण मिलता है:
$\frac{30}{x-y}+\frac{44}{x+y}$ = 10 ...(i)
दूसरी स्थिति में, 13 घंटों में वह 40 km धारा के प्रतिकूल और 55 km धारा के अनुकूल चलती है। हम इससे समीकरण प्राप्त करते हैं:
$\frac{40}{x-y}+\frac{55}{x+y}$ = 13 ...(ii)
$\frac{1}{x-y}$ = u और $\frac{1}{x+y}$ = v रखिए। ...(iii)
इन मानों को समीकरण (i) और (ii) में प्रतिस्थापित करने पर, हम रैखिक समीकरणों का निम्न युग्म प्राप्त करते हैं:
30u + 44v = 10 या 30u + 44v - 10 = 0 ...(iv)
40u + 55v = 13 या 40u + 55v - 13 = 0 ...(v)
वज्र-गुणन विधि प्रयोग करने पर, हम पाते हैं:
$\frac{u}{44(-13)-55(-10)}$ = $\frac{v}{40(-10)-30(-13)}$ = $\frac{1}{30(55)-44(40)}$
अर्थात् $\frac{u}{-22}=\frac{v}{-10}=\frac{1}{-110}$
अर्थात् u = $\frac{1}{5}$, v = $\frac{1}{11}$
अब u, v के इन मानों को समीकरणों (iii) में रखने पर, हम पाते हैं:
$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}$ और $\frac{1}{x+y}=\frac{1}{11}$
अर्थात् x - y = 5 और x + y = 11 ...(vi)
इन समीकरणों को जोड़ने पर, हम पाते हैं:
2x = 16
अर्थात् x = 8
(vi) में दी हुई समीकरणों को घटाने पर, हम पाते हैं:
2y = 6
अर्थात् y = 3
अतः, नाव की स्थिर जल में चाल 8 km/h तथा धारा की चाल 3 km/h है।

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Question 146 Marks

निम्न समीकरण युग्म को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए:
$\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}$ = 2
$\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}$ = 1

Answer

आइए $\frac{1}{x-1}$ = p और $\frac{1}{y-2}$ = q रखें। तब, दी गई समीकरण
$5\left(\frac{1}{x-1}\right)+\frac{1}{y-2}$ = 2 ...(i)
$6\left(\frac{1}{x-1}\right)-3\left(\frac{1}{y-2}\right)$ ...(ii)
5p + q = 2 ...(iii)
6p - 3q = 1 ...(iv)
के रूप में लिखी जा सकती हैं:
समीरकण (iii) और (iv) व्यापक रूप में एक रैखिक समीकरण युग्म बनाती हैं। अब आप इन समीकरणों को हल करने के लिए, किसी भी विधि का प्रयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं, p = $\frac{1}{3}$ और q = $\frac{1}{3}$
अब p के लिए, $\frac{1}{x-1}$ प्रतिस्थापित कर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{1}{x-1}=\frac{1}{3}$
अर्थात् x - 1 = 3, अर्थात् x = 4 है।
इसी प्रकार q के लिए $\frac{1}{y-2}$, रखने पर हम पाते हैं:
$\frac{1}{y-2}=\frac{1}{3}$
अर्थात् 3 = y - 2, अर्थात् y = 5 है।
अतः, दिए गए समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 4, y = 5 है।

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Question 156 Marks

समीकरणों के निम्न युग्म को हल कीजिए:
$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}$ = 13
$\frac{5}{x}-\frac{4}{y}$ = -2

Answer

आइए दिए गए समीकरणों के युग्म को
$2\left(\frac{1}{x}\right)+3\left(\frac{1}{y}\right)$ = 13 ...(i)
$5\left(\frac{1}{x}\right)-4\left(\frac{1}{y}\right)$ = -2 ...(ii)
के रूप में लिखें।
ये समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में नहीं हैं। परंतु, यदि हम समीकरण (i) और (ii) में, $\frac{1}{x}$ = p और $\frac{1}{y}$ = q प्रतिस्थापित करें, तो हम पाते हैं:
2p + 3q = 13 ...(iii)
5p - 4q = -2 ...(iv)
अतः, हमने समीकरणों को रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में व्यक्त कर दिया है। अब आप इन्हें किसी भी विधि से हल करके p = 2, q = 3 प्राप्त कर सकते हैं।
आप जानते हैं कि p = $\frac{1}{x}$ और q = $\frac{1}{y}$ है।
p और q के मानों को प्रतिस्थापित कर, हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{1}{x}$ = 2, अर्थात् x = $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{y}$ = 3, अर्थात् y = $\frac{1}{3}$

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Question 166 Marks

k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
kx + 3y - (k - 3) = 0
12x + ky - k = 0

Answer

यहाँ $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{k}{12}$, $\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3}{k}$, $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{k-3}{k}$ है।
रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ होना चाहिए।
इसलिए हमें चाहिए
$\frac{k}{12}=\frac{3}{k}=\frac{k-3}{k}$
या
$\frac{k}{12}=\frac{3}{k}$
जिससे k²= 36 प्राप्त होता है, अर्थात् k = $\pm$ 6 हैं।
साथ ही
$\frac{3}{k}=\frac{k-3}{k}$
जिससे 3k = k²- 3k प्राप्त होता है, अर्थात् 6k = k² है।
जिसका अर्थ k = 0 या k = 6 है।
इसलिए, k का मान, जो दोनों प्रतिबन्धों को संतुष्ट करता है, k = 6 है। इस मान के लिए समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

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Question 176 Marks

बैंगलोर के एक बस स्टैंड से यदि हम दो टिकट मल्लेश्वरम के तथा 3 टिकट यशवंतपुर के खरीदें, तो कुल लागत ₹ 46 है। परंतु यदि हम 3 टिकट मल्लेश्वरम के और 5 टिकट यशवंतपुर के खरीदें, तो कुल लागत ₹ 74 है। बस स्टैंड से मल्लेश्वरम का किराया तथा बस स्टैंड यशवंतपुर का किराया ज्ञात कीजिए।

Answer

माना बैंगलोर के बस स्टैंड से, मल्लेश्वरम का किराया ₹ x तथा यशवंतपुर का किराया ₹ y है। दी गई सूचनाओं से, हम पाते हैं:
2x + 3y = 46, अर्थात् 2x + 3y - 46 = 0
3x + 5y = 74, अर्थात् 3x + 5y - 74 = 0
वज्र-गुणन विधि से इन समीकरणों को हल करने के लिए, हम निम्न प्रकार से चित्र खींचते हैं:

तब $\frac{x}{(3)(-74)-(5)(-46)}$ = $\frac{y}{(-46)(3)-(-74)(2)}$ = $\frac{1}{(2)(5)-(3)(3)}$
अर्थात् $\frac{x}{-222+230}$ = $\frac{y}{-138+148}$ = $\frac{1}{10-9}$
अर्थात् $\frac{x}{8}=\frac{y}{10}=\frac{1}{1}$
अर्थात् $\frac{x}{8}=\frac{1}{1}$ और $\frac{y}{10}=\frac{1}{1}$
अर्थात् x = 8 और y = 10
अतः, बैंगलोर के बस स्टैंड से, मल्लेश्वरम का किराया ₹ 8 तथा यशवंतपुर का किराया ₹ 10 है।

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Question 186 Marks

दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों का अंतर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी संख्याएँ कितनी हैं?

Answer

माना प्रथम संख्या की दहाई तथा इकाई के अंक क्रमशः x और y हैं। इसलिए, प्रथम संख्या को प्रसारित रूप में 10x + y लिख सकते हैं [उदाहरण के लिए, 56 = 10(5) + 6]।
जब अंक उलट जाते हैं, तो x इकाई का अंक बन जाता है तथा y दहाई का अंक। यह संख्या प्रसारित रूप में 10y + x है [उदाहरण के लिए, जब 56 को उलट दिया जाता है, तो हम पाते है: 65 = 10(6) + 5]।
दिए हुए प्रतिबंधों के अनुसार,
(10x + y) + (10y + x) = 66
अर्थात् 11(x + y) = 66
अर्थात् x + y = 6 ...(1)
हमें यह भी दिया गया है कि अंकों का अंतर 2 है। इसलिए,
या तो x - y = 2 ...(2)
या y - x = 2 ...(3)
यदि x - y = 2 है, तो (1) और (2) को विलोपन विधि से हल करने पर, x = 4 और y = 2 प्राप्त होता है। इस स्थिति में, हमें संख्या 42 प्राप्त होती है।
यदि y - x = 2 है, तो (1) और (3) को विलोपन विधि से हल करने पर, हमें x = 2 और y = 4 प्राप्त होता है। इस स्थिति में, हमें संख्या 24 प्राप्त होती है।
इस प्रकार ऐसी दो संख्याएँ 42 और 24 हैं।

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Question 196 Marks

अखिला मेले में ₹20 लेकर जाती है और वह चरखी की सवारी करना तथा हूपला खेल खेलना चाहती है। इन स्थितियों को बीजगणितीय तथा ग्राफीय (ज्यामितीय) रूपों में व्यक्त कीजिए।

Answer

बनाया गया समीकरण युग्म है:
y = $\frac{1}{2} x$
अर्थात् x - 2y = 0 ...(1)
और 3x + 4y = 20 ...(2)
आइए इन समीकरणों को ग्राफीय रूप में व्यक्त करें। इसके लिए, हमें प्रत्येक समीकरण के कम-से-कम दो हल चाहिए।

x 0 2

$y=\frac {x}{2}$ 0 1
x 0 $\frac {20}{3}$ 4

y = $\frac {20 - 3x}{4}$ 5 0 2

याद कीजिए कि प्रत्येक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इसलिए आप कोई भी दो हल चुन सकते हैं, जो हमारे द्वारा चुने गए हलों से भी हो सकते हैं। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि हमने पहले तथा दूसरे समीकरणों के हल के लिए, x = 0 क्यों चुना है? जब एक चर शून्य हो जाता है, तो समीकरण एक चर के रैखिक समीकरण में बदल जाता है, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण (2) में x = 0 रखने पर, हम पाते हैं कि 4y = 20 है, अर्थात् y = 5 है। इसी प्रकार, समीकरण (2) में y = 0 रखने पर हमें प्राप्त होता है:
3x = 20, अर्थात्, x = $\frac{20}{3}$ है। चूँक $\frac{20}{3}$ एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए इसे ग्राफ पेपर पर ठीक-ठीक आलेखित करना आसान नहीं है। अतः हम y = 2 चुनते हैं, जिससे x = 4 मिलता है, जो एक पूर्णांक है।
सारणी के हलों के संगत बिंदुओं A(0, 0), B(2, 1) और P(0, 5), Q(4, 2) को आलेखित कीजिए। अब समीकरणों x - 2y = 0 और 3x + 4y = 20 को निरूपित करने वाली रेखाओं AB तथा PQ को खींचिए, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

आकृति में ध्यान दीजिए कि दोनों समीकरणों को निरूपित करने वाली दोनों रेखाएँ बिंदु (4, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसका क्या अर्थ है, इस पर हम अगले अनुच्छेद में चर्चा करेंगे।

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Generate Paper Free All दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म topics