प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे) - गणित कक्षा 10 Questions - Vidyadip

Questions

प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

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15 questions · self-marked practice — reveal the answer and mark yourself.

Question 11 Mark

दो समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्षलंबों का अनुपात $\frac{3}{5}$ है। क्या यह कहना सही है कि इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{6}{5}$ है? क्यों?

Answer

असत्य
दिया गया है: समरूप त्रिभुजों के शीर्षलंबों का अनुपात $\frac {3}{5}$ है,
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के गुणधर्म से,
हमें प्राप्त होता है,
$\left(\frac{\text { Area }_{1}}{\text { Area }_{2}}\right)=\left(\frac{\text { Altitude }_{1}}{\text { Altitude }_{2}}\right)^{2}$
$\left(\frac{\text { Area }_{1}}{\text { Area }_{2}}\right)=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$ $\left[\therefore \frac{\text { Altitude }_{1}}{\text { Altitude }_{2}}=\frac{3}{5}\right]$
$\Rightarrow \frac{6}{5}=\frac{9}{25}$
यह नहीं हो सकता।
इसलिए, दिया गया कथन सही नहीं है क्योंकि यह मानदंडों को पूरा नहीं करता है।

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Question 21 Mark

यदि दो समकोण त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का एक न्यून कोण दूसरे त्रिभुज के एक न्यून कोण के बराबर हो, तो क्या आप कह सकते हैं कि दोनों त्रिभुज समरूप होंगे? क्यों?

Answer

दो समकोण त्रिभुजों $A B C$ और $P Q$ पर विचार कीजिए
$\angle B=\angle Q \ldots$...दोनों $90^{\circ}$ हैं]
$\angle A =\angle P$...[दिया गया: न्यून कोण बराबर होते हैं]
तो, $\triangle A B C \sim \triangle P Q R$ [AA मानदंड]

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Question 31 Mark

एक त्रिभुज की दो भुजाओं और परिमाप में से प्रत्येक क्रमशः दूसरे त्रिभुज की संगत दोनों भुजाओं और परिमाप के तिगुने हैं। क्या दोनों त्रिभुज समरूप हैं?

Answer

चूँकि परिमाप और दो भुजाएँ समानुपाती हैं, इसलिए तीसरी भुजा संगत तीसरी भुजा के समानुपाती होती है। यानी, SSS मानदंड से दो त्रिकोण समान होंगे।

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Question 41 Mark

दो चतुर्भज समरूप होते हैं, यदि उनके संगत कोण बराबर हों।

Answer

दो चतुर्भुज समरूप होते हैं, यदि उनके संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ भी समानुपाती हों।

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Question 51 Mark

त्रिभुजों PQR और MST मे, $\angle P=55^{\circ}, \angle Q=25^{\circ}, \angle M=100^{\circ}$ और $\angle S=25^{\circ}$ है। क्या $\triangle QPR \sim \triangle TSM$ है? क्यो?

Answer

हम यह जानते हैं, एक त्रिकोण के तीन कोणों का योग $180^{\circ}$ है।
$\triangle PQR$ में, $\angle P +\angle Q +\angle R =180^{\circ}$
$\Rightarrow 55^{\circ}+25^{\circ}+\angle R=180^{\circ} $
$\Rightarrow \angle R=180^{\circ}-\left(55^{\circ}+25^{\circ}\right)=180^{\circ}-80^{\circ}$=100^{\circ} $
$\triangle TSM$ में, $\angle T+\angle S+\angle M=180^{\circ} $
$\Rightarrow \angle T+\angle 25^{\circ}+1000^{\circ}=180^{\circ} $
$\Rightarrow \angle T=180^{\circ}-\left(25^{\circ}+100^{\circ}\right) $
$=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ}$

$\triangle$PQR और $\triangle$TSM में, हमारे पास है
$\angle \mathrm{P}=\angle \mathrm{T}$, $\angle \mathrm{Q}=\angle \mathrm{S}$, और $\angle \mathrm{R}=\angle \mathrm{M}$
इसलिए, $\triangle$PQR $\sim$ $\triangle$TSM [चूंकि, सभी संगत कोण बराबर होते हैं]
इसलिए, $\triangle$QPR, $\triangle$TSM के समान नहीं है, चूंकि सही समानता है P $\leftrightarrow$ T, Q < R $\leftrightarrow$ S और R $\leftrightarrow$ M

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Question 61 Mark

आकृति में, BD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। क्या $\triangle$PBC $\sim$ $\triangle$PDE है? क्यों?

Answer

आरेख से, हमारे पास है $\angle$BPC = $\angle$EPD
अभी, $\frac{P B}{P D}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ ...(i)
और $\frac{P C}{P E}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ ...(ii)
समीकरण, (i) और (ii) से $\frac{P B}{P D}=\frac{P C}{P E}$
चूँकि $\triangle$PDE, का एक कोण $\triangle$PBC के एक कोण के बराबर है और इन कोणों सहित भुजाएँ समानुपाती हैं, इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप हैं। अतः, $\triangle$PBC $\sim$ $\triangle$PDE, SAS समानता मानदंड द्वारा।

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Question 71 Mark

किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु A और B इस प्रकार स्थित हैं कि PQ = 12.5 cm, PA = 5 cm, BR = 6 cm और PB = 4 cm है। क्या AB||QR है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

Answer

PB + BR = PR
PR = 10 cm
$\frac{P A}{P Q}=\frac{5}{12.5}$
= $\frac{2}{5}$
= $\frac{P B}{P Q}=\frac{4}{10}$
= $\frac{2}{5}$
$\frac{P A}{P Q}=\frac{P B}{P Q}$
मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा वे समानांतर हैं।

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Question 81 Mark

$\triangle$DEF $\sim$ $\triangle$RPQ दिया है। क्या यह कहना सत्य है कि $\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{R}$ और $\angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{P}$? क्यो?

Answer

असत्य
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों में संगत कोण भी बराबर होते हैं।
इसलिए,
$\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{R}$
$\angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{P}$ और
$\angle \mathrm{F}=\mathrm{\angle Q}$

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Question 91 Mark

क्या यह कहना सत्य है कि यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर है तथा एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हैं, तो त्रिभुज समरूप होंगे? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

Answer

असत्य
दिया गया कथन गलत है।
जैसे कि यहाँ दो त्रिभुजों का एक कोण और दो भुजाएँ बराबर होती हैं लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि सम्मिलित कोण बराबर है या नहीं, जो एक आवश्यक शर्त है।
दूसरे शब्दों में हम जानते हैं कि SAS समानता मानदंड से, यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को शामिल करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

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Question 101 Mark

आकृति में, यदि $\angle$D = $\angle$C है, तो क्या यह सत्य है कि $\triangle$ADE $\sim$ $\triangle$ACB है? क्यों?

Answer

सत्य
$\triangle$ADE और $\triangle$ACB में,
दिया है,
$\angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{C}$
$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}$ [उभय कोण]
जैसा कि हम जानते हैं कि त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^o$ के बराबर होता है।
अतः त्रिभुज के कोणों के योग के गुण से दोनों त्रिभुजों का तीसरा कोण बराबर होना चाहिए।
$\angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{B}$
$\therefore$ $\triangle$ADE $\sim$ $\triangle$ACB [AAA समानता मानदंड द्वारा]

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Question 111 Mark

$\triangle$PQR की भुजा QR पर कोई बिंदु D इस प्रकार है कि PD$\perp$QR है। क्या $\triangle$PQD $\sim$ $\triangle$RPD कहना सही होगा? क्यों?

Answer

$\triangle$PQD और $\triangle$RPD में,
दिया गया है,
PD = PD [उभयनिष्ठ पक्ष]
$\angle$PDQ = $\angle$PDR [प्रत्येक $90^o$]

यहाँ, कोई अन्य भुजाएँ या कोण समान होने के लिए नहीं दिए गए हैं, इसलिए हम यह नहीं कह सकते कि $\triangle$PQD समान है $\triangle$RPD।

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Question 121 Mark

क्या भुजाओं 25 cm, 5 cm और 24 cm वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

Answer

प्रश्न के अनुसार,
मान लीजिए, $a=25$
$b=5 cm$ और
$c=24 cm$
अब,
$b^2+c^2=(5)^2+(24)^2$
$\Rightarrow b^2+c^2=25+576$
$\Rightarrow b^2+c^2=601 \leq(25)^2$
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में, दो भुजाओं के वर्ग का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर होना चाहिए। लेकिन दी गई भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज नहीं बनाती हैं क्योंकि यह पाइथागोरस प्रमेय के गुण को संतुष्ट नहीं करती है इसलिए $25 cm, 5 cm$ और 24 cm भुजाओं वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज नहीं है।

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Question 131 Mark

$\triangle$FED $\sim$ $\triangle$STU दिया है। क्या यह कहना सत्य है कि $\frac{{DE}}{{ST}}=\frac{{EF}}{{TU}}$? क्यों?

Answer

नहीं, क्योंकि सही संगतता F $\leftrightarrow$ S, E $\leftrightarrow$ T और D $\leftrightarrow$ U है।
इस संगतता के साथ, $\frac{E F}{S T}=\frac{D E}{T U}$ है।

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Question 141 Mark

एक त्रिभुज DEF की भुजाओं DE और DF पर क्रमशः बिंदु P और Q इस प्रकार हैं कि DP = 5 cm, DE = 15 cm, DQ = 6 cm और QF = 18 cm है। क्या PQ||EF है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

Answer

यहाँ, $\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PE}}=\frac{5}{15-5}=\frac{1}{2}$ और $\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{QF}}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$
क्योंकि $\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{PE}} \neq \frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{QF}}$ है, इसलिए PQ भुजा EF के समांतर नहीं है।

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Question 151 Mark

$\triangle A B C$ में, $A B=24 cm, B C=10 cm$ और $A C=26 cm$ है। क्या यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

Answer

यहाँ $A B^2=576, B C^2=100$ और $A C^2=676$ है। अतः, $A C^2=A B^2+B C^2$
अतः, दिया हुआ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

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