Question 13 Marks
किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $1$ है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग $90$ हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer$a = 1$
$\because T_{3}+T_{5} = 90$
$\Rightarrow ar^2 + ar^4= 90$
$\Rightarrow 1 \times r^{2}+1 \times r^{4} = 90$
$\Rightarrow r^4+ r^2- 90 = 0$
$\Rightarrow r^4 + 10r^2 - 9r^2 - 90 = 0$
$\Rightarrow r^2(r^2 + 10) - 9(r^2+ 10) = 0$
$\Rightarrow (r^2+ 10) (r^2- 9) = 0$
$\therefore r^2- 9 = 0 (\because r^2 + 10 \ne 0)$
$r^2 = 9$
$\therefore r = \pm 3$
View full question & answer→Question 23 Marks
गुणोत्तर श्रेणी के कुछ पदों का योग $315$ है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः $5$ तथा $2$ हैं। अंतिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer$a = 5, r = 2 > 1$
$\because S_n= 315$
$\Rightarrow \frac{l r-a}{r-1} = 315$
$\Rightarrow \frac{l \times 2-5}{2-1} = 315$
$\Rightarrow 2l - 5 = 315$
$2l = 320 \therefore l = 160$
$\because l = ar^{n-1}$
$\Rightarrow 5 \times 2^{n-1}= 160$
$2^{n-1} = 32 = 2^5$
$\therefore n - 1 = 5$
$n = 6$
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सभी $x, y \in N$ के लिए $f(x + y) = f(x)\cdot f(y)$ को संतुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि $f(1) = 3$ एवं $\sum_\limits{x=1}^{n} f(x) = 120$ तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$f(1) = 3 ...(1)$
और $f(x + y) = f(x)\cdot f(y), \forall x, y \in N$
$x = 1, y = 1$ रखने पर
$f(1 + 1) = f(1) \times f(1)$
$\Rightarrow f(2) = 3 \times 3 = 3^2...(2)$
समी. (2) में $x = 2, y = 1$ रखने पर,
$f(2 + 1) = f(2) f(1)$
$f(3) = 3^2 \times 3 = 3^3$^
समी. $(2)$ में, $x = 3, y = 1$ रखने पर,
$f(3 + 1) = f(3) f(1) = 3^3 \times 3$
$\Rightarrow f(4) = 3^4...$
इसी प्रकार, $f(n) = 3^n$^
$\because \sum_\limits{x=1}^{n} f(x) = 120$
$\Rightarrow f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = 120$
$\Rightarrow 3 + 3^2 + 3^3+ ... + 3^n= 120$
$\Rightarrow \frac{3\left(3^{n}-1\right)}{3-1} = 120 \{\because GP$ के $n$ पदों का योग $= \frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\}$
$\Rightarrow \frac{3\left(3^{n}-1\right)}{2} = 120$
$\Rightarrow 3^{n}-1=\frac{120 \times 2}{3} = 80$
$3^n= 81 = 3^4$
$\therefore n = 4$
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दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको 4 से विभजित करने पर शेषफल 1 हो।
Answerअभीष्ट संख्याऐं 13, 17, 21, ..., 97
a = 13, d = 17 - 13 = 4, l = 97
$\because$ l = a + (n - 1)d
$\Rightarrow$ 97 = 13 + (n - 1) $\times$ 4
$\Rightarrow$ 97 = 13 + 4n - 4
$\therefore$ 4n + 9 = 97
4n = 97 - 9 = 88
n = 22
योगफल S = $\frac{n}{2}$(a + l)
= $\frac{22}{2}$(13 + 97)
= 11 $\times$ 110 = 1210
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$1$ से $100$ तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो $2$ या $5$ से विभाजित हों।
Answer$1$ से $100$ तक $2$ से विभाज्य पूर्णांक संख्याएं हैं-
$2, 4, 6, ..., 100$
यहां $a = 2, d = 4 - 2 = 2, l = 100$
$\because l = a + (n - 1)d$
$100 = 2 + (n - 1) \times 2$
$\therefore n = 50$
इनका योग $S_1= \frac{n}{2}(a+l)$
$= \frac{50}{2}(2+100)$
$= 25 \times 102 = 2550 ...(1)$
तथा
$1$ से $100$ तक $5$ से विभाज्य पूर्णांक संख्याएं हैं-
$5, 10, 15, 20, 25, ..., 100$
यहां $a = 5, d = 10 - 5 = 5, l = 100$
$\because l = a + (n - 1)d$
$100 = 5 + (n - 1) \times 5$
$\therefore n = 20$
इनका योग $S_2= \frac{n}{2}(a + 1) = \frac{20}{2}(5 + 100)$
$= 10 \times 105 = 1050 ...(2)$
इसी प्रकार, $2$ तथा $5$ दोनों से विभाज्य संख्याएं हैं-
$10, 20, 30, ..., 100$
यहां $a = 10, d = 20 - 10 = 10, l = 100$
$\because l = a + (n - 1)d$
$100 = 10 + (n - 1) \times 10$
$\therefore n = 10$
योग $S_3= \frac{n}{2}(a+l)=\frac{10}2(10 + 100) = 550 ...(3)$
अतः अभीष्ट योग $= S_1+ S_2- S_3$
$= 2550 + 1050 - 550$
$= 3050$
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$200$ तथा $400$ के मध्य आने वाली उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो $7$ से विभाजित हों।
Answer$200$ और $400$ के मध्य $7$ से विभाजित संख्याएं हैं:
$203, 210, 217, ..., 399$
यह एक समान्तर श्रेणी है जिसमें $a = 203, d = 210 - 203 = 7$
और $T_n = 399$
$a + (n - 1)d = 399$
$\Rightarrow 203 + (n - 1) \times 7 = 399$
$\Rightarrow 7n - 7 = 196$
$\Rightarrow 7n = 203$
$\therefore n = 29$
इनका योगफल $= \frac{n}{2}(a + l)$
$= \frac{29}{2}(203 + 399)$
$= \frac{29}{2} \times 602 = 29 \times 301$
$= 8729$
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किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए $150$ कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन $4$ कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन $4$ और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य। अब कार्य पूर्ण करने में $8$ दिन अधिक लगते हैं, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूर्ण किया गया।
Answerमाना कर्मचारियों के लगातार काम छोड़ने की स्थिति में काम पूरा $n$ दिनों में होता है। कर्मचारियों की प्रारम्भिक संख्या $a = 150$
प्रतिदिन काम छोड़ कर जाने वाले कर्मचारियों की संख्या $= 4$
$\therefore d = -4$
$\therefore$ पूरे $n$ दिनों तक काम रकने वाले कर्मचारियों की कुल संख्या $= AP$ के $n$ पदों का योग
$= \frac{n}{2}{2 \times 150 + (n - 1) \times -4}$
$= n{150 - 2n + 2} = n(152 - 2n) ...(1)$
यदि कर्मचारी काम नहीं छोड़ते तो यही काम $(n - 8)$ दिनों में पूरा हो जाता।
तब कर्मचारियों की कुल संख्या $= (n - 8) \times 150 ...(2)$
समी. $(1)$ और $(2)$ से,
$(n - 8) \times 150 = n(152 - 2n)$
$\Rightarrow 150n - 1200 = 152n - 2n^2$
$\Rightarrow 2n^2- 2n - 1200 = 0$
$\Rightarrow n^2- n - 600 = 0$
$\Rightarrow (n - 25)(n + 24) = 0$
$\therefore n = 25, n \ne -24$
इस प्रकार कार्य $25$ दिनों मे पूरा हो जाता है।
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एक निर्माता घोषित करता है कि उसकी मशीन जिसका मूल्य $15625$ रुपये है, हर वर्ष $20\%$ की दर से उसका अवमूल्यन होता है। $5$ वर्ष बाद मशीन का अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answerमशीन का मूल्य $= ₹15625$
अवमूल्यन $@ 20\% = 15625 \times \frac{20}{100} = ₹3125$
$1$ वर्ष बाद मशीन का मूल्य $= 15625 - 3125 = ₹12500$
अवमूल्यन $@ 20\% = 12500 \times \frac{20}{100} = ₹2500$
$2$ वर्ष बाद मशीन का मूल्य $= 12500 - 2500 = ₹10000$
मशीन का मूल्य क्रमशः $15625, 12500, 10000, ...$
$a = 15625, r = \frac{12500}{15625}=\frac{100}{125}=\frac{4}{5}$
$\therefore 5$ वर्ष बाद मशीन का अनुमानित मूल्य
$= 6$वां पद
$= ar^{6-1}= ar^5$
$= 15625 \times\left(\frac{4}{5}\right)^{5}$
$= ₹5120$
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एक आदमी ने एक बैंक में 10000 रुपये 5% वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया। जब से रकम बैंक में जमा की गई तब से, 15 वें वर्ष में उसके खातें में कितनी रकम हो गई, तथा 20 वर्षो बाद कुल कितनी रकम हो गई, ज्ञात कीजिए।
Answerमूलधन = ₹10,000
प्रति वर्ष का साधारण ब्याज @ 5% = $\frac{10000 \times 5 \times 1}{100}$ = ₹500
$\therefore$ a = 10000, d = 500
15वें वर्ष में खाते में रकम अर्थात् 14 वर्ष बाद मिश्रधन = 15वां पद
= a + 14d = 10000 + 14 $\times$ 500
= 10000 + 7000
= ₹17000
तथा 20वर्षों बाद मिश्रधन = 21वां पद
= a + 20d
= 10000 + 20 $\times$ 500
= ₹20000
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माना कि किसी समांतर श्रेणी के $n, 2n,$ तथा $3n$ पदों का योगफल क्रमशः $S_1, S_2 $ तथा $S_3 $ है तो दिखाइए कि $S_3= 3(S_2-S_1)$
AnswerAP के $n, 2n$ और $3n$ पदों के योगफल
क्रमशः ${S_1} = {n \over 2}\left[ {2a + (n - 1)d} \right] ...(i)$
${S_2} = {{2n} \over 2}\left[ {2a + (2n - 1)d} \right] ...(ii)$
$और {S_3} = {{3n} \over 2}\left[ {2a + (3n - 1)d} \right] ...(iii)$
RHS $= 3(S_2 - S_1)$
$= 3[{{2n} \over 2}\left[ {2a + (2n - 1)d} \right] - {n \over 2}\left[ {2a + (n - 1)d} \right]]$
$= \frac{3 n}{2}[4a + 2(2n - 1)d - 2a - (n - 1)d]$
$= \frac{3 n}{2}[2a + (4n - 2 - n + 1)d]$
$= \frac{3 n}{2}[2a + (3n - 1)d]$
$= S_3...($समी. $(iii)$ से$)$
$=$ LHS.
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एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है। वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है, तथा उनसे यह भी करने को कहता हैं कि प्रत्येक पत्र प्राप्त करने वाला व्यक्ति इस शृंखला को जारी रखे। यह कल्पना करके कि शृंखला न टूटे तो 8वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र का डाक खर्च 50 पैसे है।
Answer$\because$ एक पत्र को भेजने का डाक खंर्च = 50 पैसे = ₹$\frac{1}{2}$
$\therefore$ 4 पत्रों के प्रथम समूह को भेजने का डाक खर्च = 4 $\times \frac{1}{2}$ = ₹2
इसी प्रकार,
द्वितीय समूह 4 $\times$ 4 = 16 पत्र, डाक खर्च = 16 $\times \frac{1}{2}$ = ₹8
तृतीय समूह 16 $\times$ 4 = 64 पत्र, डाक खर्च = 64 $\times \frac{1}{2}$ = ₹32
...
अतः 2, 8, 32, ... एक गुणोत्तर श्रेणी है। जिसमें a = 2, r = $\frac{8}{2}$ = 4
पत्रों के 8 वें समूह को भेजने में खर्च = GP के 8 पदों का योग
= $\frac{a\left(r^{8}-1\right)}{r-1}$
= $\frac{2\left\{4^{8}-1\right\}}{4-1}$
= 2 $\times\left(\frac{65536-1}{3}\right)$
= $\frac{2 \times 65535}{3}$ = ₹43690
View full question & answer→Question 123 Marks
शमशाद अली 22000 रुपये में एक स्कूटर खरीदता है। वह 4000 रुपये नकद देता है तथा शेष राशि को 1000 रुपयें वार्षिक किश्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 10% वार्षिक ब्याज भी देता है। उसे स्कूटर के लिए कुल कितनी राशि चुकानी पड़ेगी?
Answerनकद भुगतान की गई धनराशि = ₹4000
शेष राशि = 22000 - 4000
= ₹18000
$\because$ वार्षिक किस्त = ₹1000
$\therefore$ किस्तों की कुल संख्या = $\frac{18000}{1000}$ = 18
अतः प्रथम किस्त + ब्याज @ 10% = 1000 + 18000 $\times \frac{10}{100}$ ...(1)
द्वितीय किस्त + ब्याज @10% = 1000 + 17000 $\times \frac{10}{100}$ ...(2)
तृतीय किस्त + ब्याज = 1000 + 16000 $\times \frac{10}{100}$ ...(3)
...
अन्तिम किस्त (18वीं किस्त) + ब्याज = 1000 + 1000 $\times \frac{10}{100}$
$\therefore$ किस्तों में भुगतान की गई कुल साथ
= 1000 $\times$ 18 + {18000 + 17000 + 16000 + ... + 1000} $\times \frac{10}{100}$ (18 पदोतक)
= 18000 + $\frac{18}{2}$((18000 + 1000) $\times \frac{10}{100}$
= 18000 + 9 $\times$ 19000 $\times \frac{1}{10}$
= 18000 + 17100 = ₹35100
अतः स्कूटर की कुल कीमत
= नकद भुगतान + किस्तों में भुगतान
= 4000 + 35100 = ₹39100
View full question & answer→Question 133 Marks
कोई किसान एक पुराने ट्रैक्टर को $₹12000$ में खरीदता है। वह $₹6000$ नकद भुगतान करता है और शेष राशि को $₹500$ की वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो $12\%$ वार्षिक ब्याज भी देता है। किसान को ट्रैक्टर की कुल कितनी कीमत देनी पड़ेगी$?$
Answerनकद भुगतान $= ₹6000$
$\therefore$ शेष राशि $= 12000 - 6000$
$= ₹6000$
$\because$ वार्षिक किस्त $₹500$
$\therefore$ किस्तों की कुल संख्या $= \frac{6000}{500} = 12$
$\therefore$ प्रथम किस्त + ब्याज $= 500 + 6000 \times \frac{12}{100} ...(1) (\because$ ब्याज की दर $= 12\%)$
प्रथम किस्त $₹500$ के बाद शेष धनराशि $= 6000 - 500 = 5500$
$\therefore$ द्वितीय किस्त $+$ ब्याज $= 500 + 5500 \times \frac{12}{100} ...(2)$
इसी प्रकार,
तृतीय किस्त $+$ ब्याज $= 500 + 5000 \times \frac{12}{100} ...(3)$
$...$
अंतिम किस्त + ब्याज $= 500 + 500 \times \frac{12}{100}$
$\therefore$ किस्तों में देय राशि$ = (500 + 6000 \times \frac{12}{100}) + (500 + 5500 \times \frac{12}{100}) + (500 + 5000 \times \frac{12}{100}) + ... + (500 + 500 \times \frac{12}{100})$
$= 500 \times 12 + {6000 + 5500 + 5000 + ... + 500} \times \frac{12}{100} 12 $पदों तक
$= 6000 + \frac{12}2 (6000 + 500) \times \frac{12}{100} \{\because S_n = \frac n2 (a + l)$ से$\}$
$= 600 + \frac{72}{100} \times 6500$
$= 6000 + 4680 = ₹10680$
\therefore ट्रैक्टर की कुल राशि $=$ नकद भुगतान $+$ किस्तों में दी गई राशि
$= 6000 + 10680$
$= ₹16680$
View full question & answer→Question 143 Marks
श्रेणी का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए: 2 $\times 4+4 \times 6+6 \times$ 8 + ... + n पदों तक
Answer2 $\times 4+4 \times 6+6 \times$ 8 + ... + n पदों तक इस श्रेणी का 20वाँ पद
= {2, 4, 6, ... का 20वां पद} $\times$ {4, 6, 8, ... का 20वां पद}
= {2 + (20 - 1) $\times$ 2} $\times$ {4 + (20 - 1) $\times$ 2}
= (2 $\times$19 $\times$ 2) $\times$ (4 + 19 $\times$ 2)
= (2 + 38) $\times$ (4 + 38) = 40 $\times$ 42
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दिए गए .6 + .66 + .666 + ... श्रेणि के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer.6 + .66 + .666 + ... n पदों तक
= 6[0.1 + 0.11 + 0.111 + ... n पदों तक]
= $\frac{6}{9}$[0.9 + 0.99 + 0.999 + ... n पदों तक]
= $\frac{2}{3}$[(1 - 0.1) + (1 - 0.01) + (1 - 0.001) + ... n पदों तक]
= $\frac{2}{3}$[{1 + 1 + 1 + ... n पदों तक} - {$\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{3}}$ + ... n पदों तक}
= $\frac{2}{3}\left[n-\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{10^{n}}\right)}{1-\frac{1}{10}}\right]$
= $\frac{2}{3}\left[n-\frac{1}{9}\left(1-\frac{1}{10^{n}}\right)\right]$ = $\frac{2 n}{3}-\frac{2}{27}\left(1-\frac{1}{10^{n}}\right)$
View full question & answer→Question 163 Marks
दिए गए $5 + 55 + 555 + ... $ श्रेणि के $ n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer$5 + 55 + 555 + ... n$ पदों तक
$= 5\{1 + 11 + 111 + ... n$ पदों तक$\}$
$= \frac{5}{9}\{9 + 99 + 999 + ... n$ पदों तक $\}$
$= \frac{5}{9}\{(10 - 1) + (10^2- 1) + (10^3- 1) + ... n$ पदों तक $\}$
$= \frac{5}{9}[\{10 + 10^2+ 10^3+ ... n$ पदों तक$\} - \{1 + 1 + 1 + ... n$ पदों तक$\}]$
$= \frac{5}{9}\left[\frac{10\left(10^{n}-1\right)}{10-1}-n\right]$
$= \frac{50}{81}\left(10^{n}-1\right)-\frac{5 n}{9}$
View full question & answer→Question 173 Marks
यदि किसी समांतर श्रेणी की तीन संख्याओं का योग $24$ है तथा उनका गुणनफल $440$ है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answerमाना $A.P.$ की तीन संख्याऐं $a - d, a, a + d$ हैं।
योगफल $(a - d) + a + (a + d) = 24$
$\Rightarrow 3a = 24$
$\therefore a = 8 ...(1)$
और गुणनफल $(a - d) \times a \times (a + d) = 440$
$\Rightarrow (8 - d) \times 8 \times (8 + d) = 440$
$\Rightarrow (8 - d) \times (8 + d) = 55$
$\Rightarrow 64 - d^2= 55$
$\therefore d^2= 9$
$\therefore d = \pm3 ...(3)$
जब $a = 8, d = 3$ तो संख्याएं $8 - 3, 8, 8 + 3$
या $5, 8, 11$
और जब $a = 8, d = -3$ तो संख्याएं $8-(-3), 8, 8+(-3)$
या $11, 8, 5$
View full question & answer→Question 183 Marks
यदि $x^2- 3x + p = 0$ के मूल a तथा b हैं तथा $x^2- 12x + q = 0,$ के मूल $c$ तथा $d$ हैं, जहाँ $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि $(q + p) : (q - p) = 17 : 15.$
Answerमाना $b = ar, c = ar^2, d = ar^3$
$x^2- 3x + p = 0 ...(1)$
इसके मूल $a, b$ हैं।
$\therefore a + b = -\frac{(-3)}{1} = 3 ...(2)$
और $ab = \frac{p}{1} = p ...(3)$
तथा $x^2- 12x + q = 0$ के मूल $c, d$ हैं।
$\therefore c + d = 12 ...(4)$
$cd = q ...(5)$
समी. $(4)$ में $(2)$ का भाग देने पर,
$\frac{c+d}{a+b}=\frac{12}{3}$
$\Rightarrow \frac{a r^{2}+a r^{3}}{a+a r} = 4$
$\Rightarrow \frac{a r^{2}(1+r)}{a(1+r)} = 4$
$r^2 = 4 \therefore r = 2$
समी. $(2)$ से $a + b = 3$
$\Rightarrow a + ar = 3$
$\Rightarrow a + 2a = 3$
$\therefore 3a = 3, a = 1$
इस प्रकार, $a = 1, b = ar = 1 \times 2 = 2$
$c = ar^2= 1 \times 4 = 4$
$d = ar^3= 1 \times 8 = 8$
समी. $(3)$ तथा $(4)$ से,
$p = ab = 1 \times 2 = 2$
तथा $q = cd = 4 \times 8 = 32$
$\therefore \frac{q+p}{q-p}=\frac{32+2}{32-2}=\frac{34}{30}=\frac{17}{15}$
View full question & answer→Question 193 Marks
यदि $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $(a^n+ b^n), (b^n+ c^n), (c^n+ d^n)$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Answerमाना $b = ar, c = ar^2, d = ar^3$
जहां $r =$ सार्वअनुपात
तब $T_1= a^n+ b^n, T_2= b^n+ c^n, T_3= c^n+ d^n$
$\therefore \frac{T_{2}}{T_{1}} =\frac{b^{n}+c^{n}}{a^{n}+b^{n}}=\frac{(a r)^{n}+\left(a r^{2}\right)^{n}}{a^{n}+(a r)^{n}}$
$= \frac{a^{n} r^{n}\left(1+r^{n}\right)}{a^{n}\left(1+r^{n}\right)}=r^{n} ...(1)$
और $\frac{T_{3}}{T_{2}} =\frac{c^{n}+d^{n}}{b^{n}+c^{n}} $
$= \frac{\left(a r^{2}\right)^{n}+\left(a r^{3}\right)^{n}}{(a r)^{n}+\left(a r^{2}\right)^{n}}$
$= \frac{a^{n} r^{2 n}\left(1+r^{n}\right)}{a^{n} r^{n}\left(1+r^{n}\right)}=r^{n} ...(2)$
समी. $(1)$ और $(2)$ से,
$\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{T_{3}}{T_{2}}$
$\Rightarrow T_{1}, T_{2}, T_{3}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
$\Rightarrow a^{n}+b^{n}, b^{n}+c^{n}, c^{n}+d^{n}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
View full question & answer→Question 203 Marks
यदि a$\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ समांतर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं।
Answerमाना a$\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ समान्तर श्रेढ़ी में हैं।
या $\frac{a(c+b)}{b c}, \frac{b(a+c)}{a c}, \frac{c(a+b)}{a b}$ समान्तर श्रेढ़ी में हैं।
प्रत्येक पद में 1 जोड़ने पर, $\frac{a c+a b}{b c}+1, \frac{a b+b c}{a c}+1, \frac{a c+b c}{a b}$+1, समान्तर श्रेढ़ी में हैं
या $\frac{a c+a b+b c}{b c}, \frac{a b+b c+a c}{a c}, \frac{a c+b c+a b}{a b}$, समान्तर श्रेढ़ी में हैं
प्रत्येक पद में (ab + bc + ac) से भाग देने पर
$\frac{1}{b c}, \frac{1}{a c}, \frac{1}{a b}$, समान्तर श्रेढ़ी में हैं।
प्रत्येक पद में abc से गुणा करने पर,
a, b, c समान्तर श्रेढ़ी में है।
जबकि यह प्रश्न में दिया गया है।
अतः a$\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ समान्तर श्रेढ़ी में हैं।
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किसी समांतर श्रेणी का $p$वाँ, $q$वाँ $r$वाँ पद क्रमशः $a, b, c$ हैं, तो सिद्ध कीजिए $(q - r) a + (r - p) b + (p - q) c = 0.$
Answerमाना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्वअन्तर $D$ है। सूत्र $T_n= A + (n - 1)D$ से,
$p$वां पद $= b \Rightarrow A + (p - 1) D = a ...(1)$
$q$वां पद $= b \Rightarrow A + (q - 1) D = b ...(2)$
और $r$वां पद $= C \Rightarrow A + (r - 1)D = c ...(3)$
समी. $(2)$ में से सभी $(3)$ को घटाने पर,
$(q - r)D = b - c$
$\therefore q - r = \frac{b-c}{D} ...(4)$
इसी प्रकार, समी. $(3)$ में से समी. $(1)$ को घटाने पर,
$r - p = \frac{c-a}{D} ...(5)$
और समी. $(1)$ में से समी. $(2)$ को घटाने पर,
$p-q=\frac{a-b}{D} ...(6)$
अब LHS. $= (q - r) a + (r - p) b + (p - q) c$
$= \left(\frac{b-c}{D}\right) a+\left(\frac{c-a}{D}\right) b+\left(\frac{a-b}{D}\right) c \{\because$ समी. $(4) (5), (6)$ से$\}$
$= \frac{1}{D}(ab - ca + bc - ab + ca - bc)$
$= \frac{1}{D} \times 0$
$= 0 =$ RHS
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किसी गुणोत्तर श्रेणी में $S, n$ पदों का योग, $P$ उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि $P^2R^n= S^n.$
Answerमाना गु.श्रे.
$a, ar, ar^2, ..., ar^{n-1}$ हैं। जहां $r < 1$
$\therefore s=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} ...(1)$
तथा इन पदों का गुणनफल
$p = a \times a r \times a r^{2} \times ...\times a r^{n-1}$
$\Rightarrow P = a^{n} r^{1+2+3+\ldots \ldots+(n-1)}$
$p = a^nr^{\frac{n-1}{2}(1+n-1)} \{AP$ के $n$ पदों का योग $= \frac{n}{2}(a+l)\}$
$\Rightarrow p=a^{n} r^{\frac{(n-1) n}{2}}$
$\therefore p^2= a^{2n}r^{(n-1) n}...(2)$
इस श्रेढ़ी के पदों के व्युत्क्रमों से बनी श्रेढ़ी $\frac{1}{a}+\frac{1}{a r}+\frac{1}{a r^{2}}+...+\frac{1}{a r^{n-1}}$ है।
प्रथम पद $= \frac{1}{a}$ तथा सार्वअनुपात $= \frac{1}{r} > 1(\because r < 1)$
$\therefore R = \frac{\frac{1}{a}\left\{\left(\frac{1}{r}\right)^{n}-1\right\}}{\frac{1}{r}-1}=\frac{1}{a}\left(\frac{1-r^{n}}{r^{n}}\right) \times \frac{r}{1-r}$
$R = \frac{\left(1-r^{n}\right)}{a r^{n-1}(1-r)} ...(3)$
समी. $(1)$ में समी. $(3)$ से भाग देने पर,
$\frac{S}{R} =a \times a r^{n-1}=a^{2} r^{n-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{S}{R}\right)^{n} = a^{2n} r^{(n-1)} n$
$= p^2($समी. $(2)$ से$)$
$\therefore p^{2} =\left(\frac{S}{R}\right)^{n}$
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यदि $\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}(x \neq 0)$, हो तो दिखाइए कि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Answer$\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}$ ...(i)
प्रथम दो पदों को लेने पर,
$\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}$
योगान्तरानुपात विधि से,
$\frac{(a+b x)+(a-b x)}{(a+b x)-(a-b x)}=\frac{(b+c x)+(b-c x)}{(b+c x)-(b-c x)}$
$\Rightarrow \frac{2 a}{2 b x}=\frac{2 b}{2 c x}$
$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
$\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ ...(ii)
इसी प्रकार, समी. (i) के अन्तिम दो पदों को लेने पर,
$\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}$
$\Rightarrow \frac{(b+c x)+(b-c x)}{(b+c x)-(b-c x)} =\frac{(c+d x)+(c-d x)}{(c+d x)-(c-d x)}$
$\Rightarrow \frac{2 b}{2 c x} =\frac{2 c}{2 d x}$
$\Rightarrow \frac{b}{c} =\frac{c}{d}$
$\Rightarrow \frac{c}{b}=\frac{d}{c}$ ...(iii)
समी. (ii) और (iii) से,
$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}$
$\Rightarrow$ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
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एक समांतर श्रेणी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answera = 11 सार्वअन्तर = d
$\because$ प्रथम चार पदों का योगफल = 56
a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 56
$\Rightarrow$ 4a + 6d = 56
$\Rightarrow$ 4 $\times$ 11 + 6d = 56
$\Rightarrow$ 44 + 6d = 56
$\therefore$ 6d = 12
d = 2
और अन्तिम 4 पदों का योगफल = 112
l (l - d) + (l - 2d) + (l - 3d) = 112
$\Rightarrow$ 4l - 6d = 112
$\Rightarrow$ 4l - 6 $\times$ 2 = 112
$\Rightarrow$ 4l - 12 = 112
4l = 124 $\therefore$ l = 31
$\Rightarrow$ a + (n - 1)d = 31
$\Rightarrow$ 11 + (n - 1) $\times$ 2 = 31
$\Rightarrow$ 2n - 2 = 20
2n = 22 $\therefore$ n = 11
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किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का $5$ गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answerमाना GP में पदों की संख्या 2n है।
तथा GP निम्न है: $a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^{2n-2}, ar^{2n-1}$
प्रश्नानुसार,
सभी पदों का योगफल = 5 $\times$ विषम स्थान पर रखे पदों का योगफल
$\frac{a\left(r^{2 n}-1\right)}{r-1}=5 \times \{a + ar^2+ ... + ar^{2n-2}\}$
$\Rightarrow \frac{a\left(r^{2 n}-1\right)}{r-1}=\frac{5 \times a\left\{\left(r^{2}\right)^{n}-1\right\}}{r^{2}-1} \{ \because$ कोष्ठक में GP है। सार्वअनुपात $= r^2 $ पदों की संख्या $= n\}$
$\Rightarrow \frac{a\left(r^{2 n}-1\right)}{r-1}=\frac{5 \times a\left(r^{2 n}-1\right)}{(r-1)(r+1)}$
$\Rightarrow r + 1 = 5$
$\therefore r = 4$
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किसी गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योग $56$ है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से $1, 7, 21$ घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेणी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answerमाना GP को तीन संख्याऐं $a, ar, ar^2$
$\therefore a + ar + ar^2= 56 ...(1)$
प्रश्नानुसार,
$a - 1, ar - 7, ar^2- 21$ समान्तर श्रेणी में हैं।
$\Rightarrow (ar - 7) - (a - 1) = (ar^2- 21) - (ar - 7) ($सर्वाअन्तर$)$
$\Rightarrow ar - 7 - a + 1 = ar^2- 21 - ar + 7$
$\Rightarrow 2ar - 6 = a + ar^2- 14$
$\Rightarrow 2ar + 8 = a + ar^2$
$\Rightarrow 2ar + 8 = 56 - ar$ समी. $(1) $ से
$\Rightarrow 3ar = 48$
$\therefore ar = 16 ...(2)$
$\Rightarrow r = \frac{16}{a}$ समी $(1)$ में रखने पर,
$\Rightarrow a + 16 + a \times \frac{16}{a} \times \frac{16}{a} = 56$
$\Rightarrow a+\frac{16 \times 16}{a} = 40$
$a^2+ 256 = 40a$
$a^2- 40a + 256 = 0$
$(a - 8)(a - 32) = 0$
$\therefore a = 8, a = 32$
जब $a = 8$ तो $r = \frac{16}{8} = 2$
संख्याऐं $8, 8 \times 2,8 \times 2^2$
$\Rightarrow 8, 16, 32$
जब $a = 32$ तो
$r = \frac{16}{32}=\frac{1}{2}$
संख्याऐं $32, 32 \times \frac{1}{2}, 32 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$\Rightarrow 32, 16, 8$
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दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेणी के $(m + n)$वें तथा $(m - n)$वें पदों का योग $m$वें पद का दुगुना है।
Answer$T_{m+n}= a + (m + n - 1)d ...(1)$
और $T_{m-n}= a + (m - n - 1)d ...(2)$
$m$वां पद $= T_m= a + (m - 1)d ...(3)$
समी. $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,
$T_{m+n}+ T_{m-n}= 2a + (m + n - 1 + m - n - 1)d$
$= 2a + (2m - 2)d$
$= 2{a + (m - 1)d}$
$= 2 \times T_m$
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यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः $8$ तथा $5$ हैं, तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerमाना द्विद्यांत समी. के मूल $\alpha, \beta$ हैं।
इनका समांतर माध्य $\frac{\alpha+\beta}{2} = 8$
$\Rightarrow \alpha+\beta = 16 ...(1)$
गुणोत्तर माध्य $\sqrt{\alpha \beta} = 5$
$\Rightarrow \alpha \beta = 25 ...(2)$
$\therefore$ अभीष्ट द्विद्यांत समी.
$x^2- (\alpha+\beta) x+\alpha \beta = 0$
$\Rightarrow x^2 - 16x + 25 = 0$
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$500$ रुपये धनराशि $10\%$ वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर $10$ वर्षों बाद क्या हो जाएगी, ज्ञात कीजिए$?$
Answerमूलधन $= ₹500$
एक वर्ष बाद मिश्रधन $= 500 + 500 \times \frac{10}{100}$
$= 500 + 50 = 550$
दो वर्ष बाद मिश्रधन $= 550 + 550 \times \frac{10}{100} = 605 ...$
$\therefore 500, 550, 605 ...$ एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं।
$a = 500, r = \frac{550}{500} = 1.1$
$n = 11 (\because 10$ वर्षों बाद मिश्रधन, $GP$ का $11$वा पद होगा।$)$
$T_{11}= ar^{11-1}$
$= ₹500 \times (1.1)^{10}$
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किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घंटे पश्चात् दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में उसमें $30$ बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा $n$वें घंटों बाद क्या होगी?
Answerस्पष्ट है कि प्रति घण्टे बैक्टीरिया संख्या एक गु.श्रे. बनाती है।
यहां $a = 30, r = 2$
$\therefore$ दूसरे घंटे बाद बैक्टीरिया की संख्या $= T_3 = ar^2$
$= 30 \times (2)^2= 120$
चौथे घंटे बाद बैक्टीरिया की संख्या $= T_5= ar^4$
$= 30 \times (2)^4 = 480$
तथा nवें घंटे बाद बैक्टीरिया की संख्या $= T_{n+1} = ar^n = 30 \times (2)^n$
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यदि $A$ तथा $G$ दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ $A \pm \sqrt{(\mathrm{A}+\mathrm{G})(\mathrm{A}-\mathrm{G})}$ हैं।
Answerमाना संख्याएं $a$ तथा $b$ हैं।
$\therefore A=\frac{a+b}{2} \Rightarrow a + b = 2A ...(1)$
और $G = \sqrt{a b} \Rightarrow ab = G^2 ...(2)$
तो $a$ और $b$ को मूल मान कर द्विद्यात समीकरण
$x^2- (a + b)x + ab = 0$
$x^2 - 2Ax + G^2= 0$
$x = \frac{-(-2 A) \pm \sqrt{(-2 A)^{2}-4 \times 1 \times G^{2}}}{2 \times 1}$
$= \frac{2 A \pm 2 \sqrt{A^{2}-G^{2}}}{2}$
$= A \pm \sqrt{A^{2}-G^{2}}$
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दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ (3 + 2$\sqrt{2}$) : (3 - 2$\sqrt{2}$) के अनुपात में हैं।
Answerमाना संख्याऐं a और b हैं।
$\therefore$ a + b = 6 $\times$ गुणोत्तर माध्य
$\Rightarrow$ a + b = 6$\sqrt{a b}$
$\Rightarrow \frac{a+b}{2 \sqrt{a b}} =\frac{3}{1}$
योगान्तरानुपात विधि से,
$\frac{a+b+2 \sqrt{a b}}{a+b-2 \sqrt{a b}}=\frac{3+1}{3-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right)^{2}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} =\frac{\sqrt{2}}{1}$
पुनः योगान्तरानुपात विधि से,
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $
$\Rightarrow \frac{2 \sqrt{a}}{2 \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$
वर्ग करने पर, $\frac{a}{b}=\frac{2+1+2 \sqrt{2}}{2+1-2 \sqrt{2}}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}$
अतः a : b = $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$
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n का मान ज्ञात कीजिए ताकि $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}$, a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य हो।
Answerदिया है $\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}} = \sqrt {ab}$
$\Rightarrow a^{n+1}+b^{n+1} =a^{n} \sqrt{a b}+b^{n} \sqrt{a b}$
$\Rightarrow a^{n+1}-a^{n} \sqrt{a b} =b^{n} \sqrt{a b}-b^{n+1}$
$\Rightarrow a^{n}(a-\sqrt{a b}) =b^{n}(\sqrt{a b}-b)$
$\Rightarrow a^{n} \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) =b^{n} \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
$\Rightarrow a^{n} \sqrt{a} =b^{n} \sqrt{b}$
$\therefore a^{n+\frac{1}{2}}=b^{n+\frac{1}{2}}$
$\Rightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^{n+\frac{1}{2}}$ = 1
$\therefore n+\frac{1}{2}$ = 0
अतः n = -$\frac{1}{2}$
View full question & answer→Question 343 Marks
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको $3$ तथा $81$ के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाय।
Answerमाना $3, G_1, G_2, 81$ गुणोत्तर श्रेणी में है।
$a = 3, n = 4, T_4= 81$
$\Rightarrow ar^3= 81$
$\Rightarrow 3r^3= 81$
$\Rightarrow r^3= 27 = (3)^3\therefore r = 3$
$\therefore G_1= ar = 3 \times 3 = 9$
और $G_2= ar^2= 3 \times 3^2 = 27$
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यदि $a, b, c$ तथा $d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि $(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2+ d^2) = (ab + bc + cd)^2$
Answerमाना $b = ar, c = ar^2, d = ar^3$
$L.H.S = (a^2 + b^2 + c^2) (b^2 + c^2 + d^2)$
$= (a^2 + a^2r^2 + a^2r^4) (a^2r^2 + a^2r^4 + a^2r^6)$
$= a^2(1 + r^2+ r^4) a^2r^2(1 + r^2+ r^4)$
$= a^4r^2 (1 + r^2 + r^4)^2$
$= {a^4r(1 + r^2 + r^4)}^2$
$= (a^2r + a^2r^3 + a^2r^5)^2$
$= (a.ar + ar.ar^2 + ar.ar^3)^2$
R.H.S.$ = (ab + bc + cd)^2$
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दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों के योगफल तथा (n + 1)वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात $\frac{1}{r^{n}}$ है।
Answerअभीष्ट अनुपात
= 
= $\frac{a+a r+a r^{2}+...+a r^{n-1}}{a r^{n}+a r^{n+1}+a r^{n+2}+...+a r^{2 n-1}}$
= $\frac{a+a r+a r^{2}+...+a r^{n-1}}{r^{n}\left(a+a r+a r^{2}+...+a r^{n-1}\right)}=\frac{1}{r^{n}}$
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यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा $n$वाँ पद क्रमशः $a$ तथा $b$ हैं, एवं $P, n$ पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि $P^2= (ab)^n.$
Answer$n$वां पद $= b$
$\Rightarrow ar^{n-1}= b$
$\therefore r^{n-1}=\frac{b}{a} ...(1)$
और $P = a \times a r \times a r^{2} \times ... ar^{n-1}$
$P = a^{n} \times r^{1+2+...(n-1)}$
$P = a^{n} \times \frac{(n-1) n}{2}$
$P = a^{n} \times\left(r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}=a^{n}\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{n}{2}}$
$\therefore P^{n}=a^{2 n} \cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{n}$
$\Rightarrow P^{2}=a^{2 n} \frac{b^{n}}{a^{n}} = a^nb^n$
$\Rightarrow P^2= (ab)^2$
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यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का $p$वाँ, $q$वाँ तथा rवाँ पद क्रमशः $a, b$ तथा $c$ हो, तो सिद्ध कीजिए कि $a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q}= 1.$
Answerमाना $GP$ का प्रथम पद $= A$
सार्वअनुपात $= R$
दिया है, $P$वां पद $= a \Rightarrow AR^{P-1}= a ...(1)$
$q$वां पद $= b \Rightarrow AR^{q-1}= b ...(2)$
$r$वां पद $= c \Rightarrow AR^{r-1} = c ...(3)$
समी. $(2)$ मे समी. $(1)$ का भाग देने पर,
$R^{p-q}= \frac{a}{b} \Rightarrow R=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{p-q}} ...(4)$
समी. $(3)$ में $(2)$ से भाग देने पर,
$R^{q-r}= \frac{b}{c} \Rightarrow R=\left(\frac{b}{c}\right)^{\frac{1}{q-r}} ...(5)$
समी. $(4)$ तथा $(5)$ से,
$\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{p-q}}=\left(\frac{b}{c}\right)^{\frac{1}{q-r}}$
$\Rightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^{q-r} =\left(\frac{b}{c}\right)^{p-q}$
$\Rightarrow \frac{a^{q-r} \times c^{p-q}}{b^{q-r} \times b^{p-q}} = 1$
$\Rightarrow a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q} = 1$
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ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से $9$ अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से $18$ अधिक हो।
Answerमाना $GP$
$a, ar, ar^2, ar^3 ...$ है।
प्रश्नानुसार, $ar^2= a + 9 ...(1)$
और $ar = ar^3+ 18 ...(2)$
समी. $(1)$ और $(2)$ से,
$\frac{a r-a r^{3}}{a r^{2}-a} =\frac{18}{9}$
$\Rightarrow \frac{-a r\left(r^{2}-1\right)}{a\left(r^{2}-1\right)} = 2$
$\Rightarrow -r = 2 \therefore r = -2$
समी. $(1)$ से, $a \times 4 = a + 9$
$\therefore 3a = 9 \Rightarrow a = 3$
अतः $GP$ के चार पद
$3, 3 \times (-2), 3 \times (-2)^2, 3 \times (-2)^3$
या $3, -6, 12, -24$
View full question & answer→Question 403 Marks
दिखाइए कि अनुक्रम $a, ar, ar^2, ... ar^{n-1} $ तथा $A, AR, AR^2, ... AR^{n-1} $ के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answerअनुक्रम $a, ar, ar^2, ... ar^{n-1} $ तथा $A, AR, AR^2, ... AR^{n-1}$ इनके संगत पदों के गुणनफल से प्राप्त अनुक्रम
$aA, (ar), (AR), (ar^2) (AR^2) ...$
यहां $\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{(a r)(A R)}{a A} = rR$
तथा $\frac{T_{3}}{T_{2}}=\frac{\left(a r^{2}\right)\left(A R^{2}\right)}{(a r)(A R)} = rR$
$\because \frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{T_{3}}{T_{2}}$
$\therefore T_1, T_2, T_3 G.P.$ में हैं।
$\Rightarrow$ गुणनफल से प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है। जिसका सार्व अनुपात $= rR$
View full question & answer→Question 413 Marks
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32 तथा 128, 32, 8, 2, $\frac{1}{2}$ के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answerप्रथम अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32
द्वितीय अनुक्रम 128, 32, 8, 2, $\frac 12$
इनके संगत पदों के गुणनफल से प्राप्त अनुक्रम
(2 $\times$ 128), (4 $\times$ 32), (8 $\times$ 8), (16 $\times$ 2), (32 $\times \frac 12$)
यहां a = 2 $\times$ 128, r = $\frac{4 \times 32}{2 \times 128}=\frac{1}{2}$ < 1
n = 5
योगफल = $\frac { a \left( 1 - r ^ { n } \right) } { 1 - r }$
= $\frac{2 \times 128\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\right\}}{1-\frac{1}{2}}$
= 2 $\times 128 \times \frac{2}{1} \times\left(1-\frac{1}{32}\right)$
= 2 $\times 128 \times 2 \times \frac{31}{32}$ = 496
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अनुक्रम $8, 88, 888, 8888 ...$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer$S_n = 8 + 88 + 888 + 8888 ...$ के $n$ पदों तक
$= 8(1 +11 + 111 + 1111 + ... n$ पदों तक$)$
$= \frac { 8 } { 9 }(9 + 99 + 999 + 9999 + ... n$ पदों तक$)$
$= \frac { 8 } { 9 }[(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + ... n$ पदों तक$]$
$= \frac { 8 } { 9 }[(10 + 10^2 + 10^3 + ... n$ पदों तक$) - (1 + 1 + 1 + ... n$ पदों तक$)]$
$= \frac { 8 } { 9 } \left[ \frac { 10 \times \left( 10 ^ { n } - 1 \right) } { 10 - 1 } - n \right]$
$= \frac { 8 } { 9 } \left[ \frac { 10 } { 9 } \left( 10 ^ { n } - 1 \right) - n \right]$
$= \frac { 80 } { 81 } \left( 10 ^ { n } - 1 \right) - \frac { 8n } { 9 }$
View full question & answer→Question 433 Marks
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का $4$वाँ, $10$वाँ तथा $16$वाँ पद क्रमशः $x, y$ तथा $z$ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Answerमाना $GP$ का प्रथम पद $a$ और सार्वअनुपात r है।
$T_4= x \Rightarrow ar^3= x ...(1)$
$T_{10} = y \Rightarrow ar^9= y ...(2)$
$T_{16}= z \Rightarrow ar^{15}= z ...(3)$
समी. $(2)$ में समी. $(1)$ से भाग देने पर,
$\frac{a r^{9}}{a r^{3}}=\frac{y}{x} \Rightarrow r^{6}=\frac{y}{x} ...(4)$
समी. $(3)$ में समी. $(2)$ से भाग देने पर,
$\frac{a r^{15}}{a r^{9}}=\frac{z}{y} \Rightarrow r^{6}=\frac{z}{y} ...(5)$
समी. $(4)$ व $(5)$ से,
$\frac{y}{x}=\frac{z}{y}$
$\Rightarrow x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में है।
View full question & answer→Question 443 Marks
एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल $-4$ है तथा $5$वाँ पद तृतीय पद का $4$ गुना है।
Answerमाना $GP$ का प्रथम पद $a$ और सार्वअनुपात r है।
प्रश्नानुसार, $a + ar = -4 ...(1)$
और $T_5= 4 \times T_3$
$\Rightarrow ar^4= 4 \times ar^2$
$\Rightarrow r^2= 4$
$\therefore r = \pm 2$
$r = 2$ लेने पर, समी. $(1)$ से, $a + 2a = -4$
$\Rightarrow 3a = -4$
$a = \frac{-4}{3}$
अतः $GP$ है:
$\frac{-4}{3}, \frac{-4}{3} \times 2, \frac{-4}{3} \times(2)^{2}, ...$
$\Rightarrow \frac{-4}{3}, \frac{-8}{3}, \frac{-16}{3}, ...$
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एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a = 729$ तथा $7$वाँ पद $64$ है तो $S_7 $ ज्ञात कीजिए?
Answer$a = 729$
$a_7 = 64$
$\Rightarrow ar^{7-1} = 64$
$\Rightarrow 729 \times r^6 = 64$
$\Rightarrow {r_6} = {{64} \over {729}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^6}$
$\therefore r = \frac 23 < 1$
अतः $\Rightarrow S _ { n } = \frac { a \left( 1 - r ^7 \right) } { 1 - r }$
$= \frac{729\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{7}\right\}}{1-\frac{2}{3}}$
$= \frac{729\left\{1-\frac{128}{2187}\right\}}{\frac{1}{3}}$
$= 2187\left\{1-\frac{128}{2187}\right\}$
$= 2187 - 128$
$= 2059$
View full question & answer→Question 463 Marks
किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल $16$ है तथा अगले तीन पदों का योग $128$ है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा $n$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answerमाना $GP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
$a + ar + ar^2 = 16 ...(1)$
और, $ar^3 + ar^4 + ar^5= 128 ...(2)$
समी. $(2)$ से, $r^3(a + ar + ar^2) = 128$
$\Rightarrow r^3 \times 16 = 128$
$\Rightarrow r^3= 8 = 2^3$
$\therefore r = 2$
यह मान समी. $(1)$ में रखने पर,
$a + a \times 2 + a \times 4 = 16$
$7a = 16$
$a = \frac{16}{7}$
और $n$ पदों का योगफल $= \frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$
$S_n= \frac{\frac{16}{7}\left(2^{n}-1\right)}{2-1}=\frac{16}{7}\left(2^{n}-1\right)$
View full question & answer→Question 473 Marks
गुणोत्तर श्रेणी $3, 3^2, 3^3, ...$ के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल $120$ हो जाए।
Answerगुणोत्तर श्रेणी $3, 3^2, 3^3, ... n$ पदों तक
$S_n = 120, a = 3, r = 3$
$\Rightarrow \frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} = 120$
$\Rightarrow \frac{3 \times\left(3^{n}-1\right)}{3-1} = 120$
$\Rightarrow 3^n - 1 = 80$
$\Rightarrow 3^n = 81 = 3^4$
$\therefore n = 4$
View full question & answer→Question 483 Marks
एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल $\frac{39}{10}$ हैं तथा उनका गुणनफल $1$ है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।
Answerमाना गुणनफल क्षेत्रफल के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ है।
योगफल $\frac{a}{r} + a + ar = \frac{39}{10} ...(1)$
गुणनफल $\frac{a}{r} \times a \times ar = 1$
$\Rightarrow a^{3} = 1 \therefore a = 1$
समी$ (1) \Rightarrow \frac{1}{r} + 1 + r = \frac{39}{10}$
$\frac{1+r+r^{2}}{r} =\frac{39}{10}$
$\Rightarrow 10 + 10r + 10r^2= 39r$
$\Rightarrow 10r^2- 29r + 10 = 0$
$\Rightarrow 10r^2- 25r - 4r + 10 = 0$
$5r(2r - 5) - 2(2r - 5) = 0$
$(2r - 5)(5r - 2) = 0$
$\therefore r = \frac{2}{5}, r = \frac{2}{5}$
जब $a = 1$ और $r = \frac{2}{5}$
संख्याएं
$\frac{1}{\left(\frac{5}{2}\right)}, 1,1 \times \frac{5}{2}$
$\Rightarrow \frac{2}{5}, 1, \frac{5}{2}$
जब $a = 1$ और $r = \frac{2}{5}$
$\frac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)}, 1,1 \times \frac{2}{5}$
$\Rightarrow \frac{5}{2}, 1, \frac{2}{5}$
View full question & answer→Question 493 Marks
मान ज्ञात कीजिए $\sum_\limits{k=1}^{11} (2 + 3^k)$
Answer$\sum_\limits{k=1}^{11} (2 + 3^k)$
$= (2 + 3^1) + (2 + 3^2) + (2 + 3^3) + ... + (2 + 3^{11})$
$= (2 + 2 + ... + 2) + (3^1+ 3^2+ 3^3+ ... + 3^{11}) 11$ पदों तक
$= 2 \times 11+\frac{3^{11} \times 3-3}{3-1} ($दूसरे कोष्ठक में $S = \frac{l r-a}{r-1}$ से$)$
$= 22 + \frac{3\left(3^{11}-1\right)}{2}$
View full question & answer→Question 503 Marks
दो समांतर श्रेढ़ियों के $n$ पदों के योगफल का अनुपात $5n + 4:9n + 6$ हो, तो उनके $18$वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answerमाना दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद और सार्वअन्तर क्रमशः $a_1, d_1 $ और $a_2, d_2$ है।
$\because$ इनके $n$ पदों के योगफल का अनुपात $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{5 n+4}{9 n+6}$
$\Rightarrow \frac{\frac{n}{2}\left[2 a_{1}+(n-1) d_{1}\right]}{\frac{n}{2}\left[2 a_{2}+(n-1) d_{2}\right]}=\frac{5 n+4}{9 n+6}$
$\Rightarrow \frac{2 a_{1}+(n-1) d_{1}}{2 a_{2}+(n-1) d_{2}}=\frac{5 n+4}{9 n+6}$
$\Rightarrow \frac{a_{1}+\left(\frac{n-1}{2}\right) d_{1}}{a_{2}+\left(\frac{n-1}{2}\right) d_{2}}=\frac{5 n+4}{9 n+6} ...(1)$
$\therefore 18$वें पदों के अनुपात के लिए,
$\frac{n-1}{2} = 17$
$\Rightarrow n - 1 = 34$
$\therefore n = 35$
यह मान समी. $(1)$ में रखने पर,
$\frac{a_{1}+17 d_{1}}{a_{2}+17 d_{2}}=\frac{5 \times 35+4}{9 \times 35+6}$
$\Rightarrow $ 
$= \frac{175+4}{315+6}=\frac{179}{321}$
अतः अभीष्ट अनुपात $= 179 : 321$ View full question & answer→Question 513 Marks
यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल $(pn + qn^2),$ है, जहाँ $p$ तथा $q $ अचर हों तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
Answer$S_n = pn + qn^2 ...(1)$
$n$ के स्थान पर $(n - 1)$ रखने पर,
$S_{n-1} = p(n - 1) + q(n - 1)^2 ...(2)$
$\because T_n= S_n- S_{(n-1)}$
$= \{pn + qn^2\} - \{p(n - 1) + q(n - 1)^2\}$
$= pn + qn^2- pn + p - q(n - 1)^2$
$\Rightarrow T_n= qn^2- q(n - 1)^2+ p$
$\Rightarrow T_n= qn^2- q(n^2- 2n + 1) + p$
$\Rightarrow T_n= 2qn - q + p ...(3)$
$\because$ सार्वअन्तर $d = T_n- T_{n-1}$
$= {2qn - q + p} - \{2q(n - 1) - q + p\}$
$= 2qn - q + p - 2qn + 2q + q - p ($समी. $(3)$ से$)$
$= 2q$
View full question & answer→Question 523 Marks
उस समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए, जिसका $k$वाँ पद $5k + 1$ है।
Answer$k$वाँ पद $5k + 1$
$k = 1, 2, 3 ...$ रखने पर,
$T_1 = 5 \times 1 + 1 = 5 + 1 = 6$
$T_2= 5 \times 2 + 1 = 10 + 1 = 11$
$T_3= 5 \times 3 + 1 = 15 + 1 = 16 ...$
इस प्रकार समान्तर श्रेणी $6, 11, 16, ...$
$\therefore a = 6, d = 11 - 6 = 5$
तब $n$ पदों का योगफल $S_n= \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$= \frac{n}{2}[2 \times 6 + (n - 1) \times 5]$
$= \frac{n}{2}[12 + 5n - 5]$
$= \frac{n}{2}(5n + 7)$
View full question & answer→Question 533 Marks
यदि किसी समांतर श्रेणी $25, 22, 19, ... $ के कुछ पदों का योगफल $116$ है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
Answerसमांतर श्रेणी $25, 22, 19, ...$
$a - 25, d = 22 - 25 = -3$ तथा $S_n = 116$
$\because S_{n}=\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ से,
$116 = \frac{n}{2}[2 \times 25 + (n - 1)(-3)]$
$\Rightarrow 232 = n(50 - 3n + 3)$
$\Rightarrow 232 = n(53 - 3n)$
$\Rightarrow 232 = 53n - 3n^2$
$\Rightarrow 3n^2- 53n + 232 = 0$
$\Rightarrow 3n^2- 24n - 29n + 232 = 0$
$\Rightarrow 3n(n - 8) - 29(n - 8) = 0$
$\Rightarrow (n - 8)(3n - 29) = 0$
$\therefore n = 8 \because n \neq \frac{29}{3},$ क्योंकि $\frac{29}{3}$ पूर्णांक नहीं है।
तथा अन्तिम पद $l = a + (n - 1)d$
$= 25 + (8 - 1) \times (-3)$
$= 25 + 7 \times (-3)$
$= 25 - 21 = 4$
View full question & answer→Question 543 Marks
किसी समांतर श्रेणी का pवाँ पद $\frac{1}{q}$ तथा qवाँ पद $\frac{1}{p}$, हो तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग $\frac{1}{2}(p q+1)$ होगा जहाँ p $\neq$ q.
Answerमाना श्रेणी का प्रथम पद a और सार्वअन्तर d है।
pवां पद = $\frac{1}{p} \Rightarrow $ a + (p - 1)d = $\frac{1}{p}$ ...(1)
qवां पद = $\frac{1}{p} \Rightarrow $ a + (q - 1)d = $\frac{1}{p}$ ...(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर,
(p - q)d = $\frac{1}{q}-\frac{1}{p}=\frac{p-q}{p q}$
$\therefore d =\frac{1}{p q}$
यह मान समी. (1) में रखने पर,
a + (p - 1) $\times \frac{1}{p q} =\frac{1}{q}$
$\Rightarrow a+\frac{1}{q}-\frac{1}{p q}=\frac{1}{q}$
$\therefore a =\frac{1}{p q}$
तब pq पदों का योगफल = $\frac{p q}{2}${2a + (pq - 1)d}
= $\frac{p q}{2}\left\{2 \times \frac{1}{p q}+(p q-1) \times \frac{1}{p q}\right\}$
= $\frac{p q}{2} \times \frac{1}{p q}$(2 + pq - 1)
= $\frac{1}{2}$(pq + 1)
View full question & answer→Question 553 Marks
समांतर श्रेणी $-6, -\frac{11}{2}, -5, ...$ के कितने पदों का योगफल $-25$ है$?$
Answerसमांतर श्रेणी, $-6, -\frac{11}{2}, -5, ...$
यहां $a = -6, d = \left(-\frac{11}{2}\right) -(-6)$
$= -\frac{11}{2}+6=\frac{-11+12}{2}$
$\therefore d=\frac{1}{2}$
माना $n$ पदों का योग $S_n = -25$
$\therefore {{\text{S}}_n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] $ से,
$\Rightarrow - 25 = \frac { n } { 2 } \left[ 2 \times ( - 6 ) + ( n - 1 ) \times \frac { 1 } { 2 } \right]$
$\Rightarrow - 25 =\frac{n}{2} \times\left\{\frac{-24+n-1}{2}\right\}$
$\Rightarrow -100 = n^2 - 25n$
$\Rightarrow n^2 - 25n + 100 = 0$
$\Rightarrow (n - 20) (n - 5) = 0$
$\therefore n = 20$ और $n = 5$
View full question & answer→Question 563 Marks
किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद $2$ है तथा प्रथम पाँच पदों का योगफल, अगले पाँच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि $20$वाँ पद $-112$ है।
Answer$a = 2 ...(1)$
दिया है:
प्रथम पांच पदों का योगफल $= \frac 14 \times ($अगले पांच पदों का योगफल$)$
$\Rightarrow T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 = \frac 14 \times (T_6 + T_7 + T_8 + T_9 + T_{10})$
$\Rightarrow a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = \frac 14 \times \{(a + 5d) + (a + 6d) + (a + 7d) + (a + 8d) + (a + 9d)\}$
$\Rightarrow 5a + 10d = \frac 14 \times \{5a + 35d\}$
$\Rightarrow a + 2d = \frac 14 \times (a + 7d)$
$\Rightarrow 4a + 8d = a + 7d$
$\Rightarrow 3a = -d$
$3 \times 2 = -d \{$समी . $(1)$ से$\}$
$\therefore d = -6$
अतः $T_{20} = a + 19d$
$= 2 + 19 \times (-6)$
$= 2 - 114 = -112$
View full question & answer→Question 573 Marks
$100$ तथा $1000$ के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो $5$ के गुणज हों।
Answer$100$ और $1000$ के मध्य $5$ के गुणज $105, 110, 115, ..., 995$
यहां $a = 105, d = 110 - 105 = 5$ तथा $l = 995$
$a + (n - 1)d = 995$
$\Rightarrow 105 + (n - 1) \times 5 = 995$
$\Rightarrow105 + 5n - 5 = 995$
$\Rightarrow 5n + 100 = 995$
$\Rightarrow 5n = 895$
$\therefore n = 179$
अतः योगफल $S_n= \frac{n}{2}(a+l)$ से,
$\Rightarrow S_n= \frac{179}{2} (105 + 995)$
$= \frac{179}{2} \times 1100$
$= 179 \times 550 = 98450$
View full question & answer→Question 583 Marks
एक बहुभुज के दो क्रमिक अंतःकोणों का अंतर $5^\circ$ है। यदि सबसे छोटा कोण $120^\circ$ हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer$a = 120^\circ, d = 5^\circ$
$\because n$ भुजाओं के बहुभुज के सभी अन्तः कोणों का योगफल $= (2n - 4) \times 90$
अब $S_n= \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ से,
$(2n - 4) \times 90^\circ= \frac{n}{2}[2 \times 120 + (n - 1) \times 5]$
$\Rightarrow (2n - 4) \times 180 = 5n(48 + n - 1)$
$\Rightarrow (2n - 4) \times 36 = n(47 + n)$
$\Rightarrow 72n - 144 = 47n + n^2$
$\Rightarrow n^2- 25 + 144 = 0$
$(n - 9)(n - 16) = 0 \therefore n = 9, 16$
किन्तु जब $n = 16$ तो $l = a + (16 - 1) d$
$= 120 + 15 \times 5 = 195^\circ > 180^\circ$
$\therefore$ यह असम्भव है। अतः $n = 9$
View full question & answer→Question 593 Marks
एक व्यक्ति ऋण का भुगतान $100$ रुपये की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में $5$ रुपये प्रति माह बढ़ता है तो $30$वीं किश्त की राशि क्या होगी?
Answerयहां $a = 100, d = 5, n = 30$
$\therefore 30$वीं किस्त $T_{30}= a + (30 - 1)d$
$= 100 + 29 \times 5 = 100 + 145 = ₹ 245$
View full question & answer→Question 603 Marks
$m$ संख्याओं को $1$ तथा $31$ के रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है और $7$ वीं एवं $(m - 1)$वीं संख्याओं का अनुपात $5 : 9$ है। तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमाना $1, A_1, A_2, ..., A_m, 31$ समान्तर श्रेणी मे है।
यहां $a = 1,$ पदों की संख्या $n = m + 2$ और $l = 31$
$\because l = a + (n - 1)d$
$\Rightarrow 31 = 1 + (m + 2 - 1) \times d$
$\Rightarrow 30 = (m + 1)d ...(1)$
दिया है: $\frac{A_{7}}{A_{m-1}}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{a+7 d}{l-2 d}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow \frac{1+7 d}{31-2 d}=\frac{5}{9}$
$\Rightarrow 9 + 63d = 155 - 10d$
$\Rightarrow 73d = 146, \therefore d = 2$
समी. $(1)$ से, $30 = (m + 1) \times 2$
$\Rightarrow m + 1 = 15$
$\therefore m = 14$
View full question & answer→Question 613 Marks
यदि किसी समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का योगफल $3n^2+ 5n$ हैं तथा इसका $m$ वाँ पद $164$ है, तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\because S_n= 3n^2+ 5n ...(1)$
$n$ के स्थान पर $(n - 1)$ रखने पर
$S_{n-1}= 3(n - 1)^2+ 5(n - 1)$
$\Rightarrow S_{n-1}= 3(n^2- 2n + 1) + 5n - 5$
$\Rightarrow S_{n-1}= 3n^2- 6n + 3 + 5n - 5$
$\Rightarrow S_{n-1}= 3n^2- n - 2 ...(2)$
$\because n$वां पद $T_n = S_n - S_{n-1}$
$= (3n^2+ 5n) - (3n^2- n - 2)$
$\therefore T_n= 6n + 2$
$\Rightarrow T_m = 6m + 2 (n$ के स्थान पर $m$ रखने पर$)$
$\Rightarrow 164 = 6m + 2$
$\Rightarrow 6m = 162$
$\therefore m = 27$
View full question & answer→Question 623 Marks
किसी समांतर श्रेणी के $m$ तथा $n$ पदों के योगफलों का अनुपात $m^2: n^2 $ है तो दर्शाइए कि m वें तथा n वें पदों का अनुपात $(2m - 1) : (2n - 1)$ है।
Answerमाना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद $a$ और $d$ है।
$\because \frac{S_{m}}{S_{n}}=\frac{m^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow \frac{\frac{m}{2}[2 a+(m-1) d]}{\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]}=\frac{m^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow \frac{2 a+(m-1) d}{2 a+(n-1) d} =\frac{m}{n}$
$\Rightarrow 2am + m(n - 1)d = 2an + n(m - 1)d$
$\Rightarrow 2am - 2an = n(m - 1)d - m(n - 1)d$
$\Rightarrow 2a(m - n) = mnd - nd - mnd + md$
$\Rightarrow 2a(m - n) = (m - n)d$
$\therefore d = 2a ...(1)$
अब $\frac{T_{m}}{T_{n}} =\frac{a+(m-1) d}{a+(n-1) d}=\frac{a+(m-1) \times 2 a}{a+(n-1) \times 2 a}$ समी. $(1)$ से
$= \frac{1+2 m-2}{1+2 n-2}=\frac{2 m-1}{2 n-1}$
View full question & answer→Question 633 Marks
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b तथा c हो तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{a}{p}$(q - r) + $\frac{b}{q}$(r - p) + $\frac{c}{r}$(p - a) = 0
Answerमाना प्रथम पद = A, सार्वअन्तर = D
$\because$ p पदों का योग = a
$\Rightarrow \frac{p}{2}$[2A + (p - 1)D] = a
$\Rightarrow A+(p-1) \frac{D}{2}=\frac{a}{p}$ ...(1)
q पदों का योग = b
$\Rightarrow \frac{q}{2}$[2A + (q - 1)D] = b
$\Rightarrow A+(q-1) \frac{D}{2}=\frac{b}{q}$ ...(2)
और r पदों का योग = c
$\Rightarrow \frac{r}{2}$[2A + (r - 1)D] = c
$\Rightarrow A+(r-1) \frac{D}{2}=\frac{c}{r}$ ...(3)
L.H.S. = $\frac{a}{p}$(q - r) + $\frac{b}{q}$(r - p) + $\frac{c}{r}$(p - q)
= {A + (p - 1)$\frac{D}{2}$}(q - r) + {A + (q - 1) $\frac{D}{2}$}(r - p)$\frac{D}{2}$}(r - p) + {A + (r - 1) $\frac{D}{2}$}(p - q)
= A{q - r + r - p + p - q} + $\frac{D}{2}$ {(p - 1)(q - r) + (q - 1)(r - p) + (r - 1)(p - q)}
= A $\times 0+\frac{D}{2}$ {pq - pr - q + r + qr - pq - r + p + pr - qr - p + q}
= 0 + $\frac{D}{2} \times$ 0 = 0 = R.H.S.
View full question & answer→Question 643 Marks
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम $p$ पदों का योग, प्रथम $q$ पदों के योगफल के बराबर हो तो प्रथम $(p + q)$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answer$\because S_p = S_q$
$\frac{p}{2}[2a + (p - 1)d] = \frac{q}{2}[2a + (q - 1)d]$
$\Rightarrow 2ap + p(p - 1)d = 2aq + q(q - 1)d$
$\Rightarrow 2ap - 2aq = -p(p - 1)d + q(q - 1)d$
$\Rightarrow 2a(p - q) = -d[p^2- p - q^2+ q]$
$\Rightarrow 2a (p - q) = -d[(p^2- q^2) - (p - q)]$
$\Rightarrow 2a(p - q) = -d(p - q)[(p + q) - 1]$
$\Rightarrow 2a = -d(p + q - 1)$
$\Rightarrow 2a + (p + q - 1)d = 0 ...(1)$
अब $(p + q)$ पदों का योग
$= \frac{p+q}{2}[2a + (p + q - 1)d]$
$= \frac{p+q}{2} \times 0 = 0$
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$1$ से $2001$ तक के विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer$1$ से $2001$ तक विषम पूर्णांक निम्नलिखित हैं:
$1, 3, 5, 7, ..., 1999, 2001$
यहा $a = 1, d = 3 - 1 = 2$
$l = T_n= 2001$
$\because T_n= a + (n - 1)d$
$\Rightarrow 2001 = 1 + (n - 1) \times 2$
$\Rightarrow 2000 = 2n - 2$
$\therefore 2n = 2002$
$n = 1001$
$\therefore$ योगफल $S_n= \frac{n}{2}(a+l)$
$= \frac{1001}{2}(1 + 2001)$
$= \frac{1001}{2} \times 2002$
$= 1001 \times 1001 = 1002001$
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Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है: $1 = a_1= a_2 $ तथा $a_n= a_{n-1}+ a_{n-2}, n > 2$ तो $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ ज्ञात कीजिए, जबकि $n = 1, 2, 3, 4, 5.$
Answerदिया है: $1 = a_1= a_2$ और $a_n= a_{n-1}+ a_{n-2}, n > 2$
$n = 3, 4, 5, 6$ रखने पर,
$a_3= a_2+ a_1= 1 + 1 = 2$
$a_4= a_3 + a_2= 2 + 1 = 3$
$a_5= a_4+ a_3= 3 + 2 = 5$
और $a_6= a_5 + a_4= 5 + 3 = 8$
$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ के मान
$n = 1, \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{1} = 1$
$n = 2, \frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{2}{1} = 2$
$n = 3, \frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{3}{2}$
$n = 4, \frac{a_{5}}{a_{4}}=\frac{5}{3}$
और $n = 5, \frac{a_{6}}{a_{5}}=\frac{8}{5}$
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गुणोत्तर श्रेणी $5, 25, 125 ...$ का $10$वाँ तथा $n$वाँ पद ज्ञात कीजिए$?$
Answerयहाँ $a = 5$ तथा $r = 5$
अर्थात् $a_{10} = 5(5)^{10-1}= 5(5)^9= 5^{10}$
तथा $a_n = ar^{n-1}= 5(5)^{n-1}= 5^n$
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ऐसी $6$ संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको $3$ और $24$ के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी बन जाए।
Answerमाना कि $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ तथा $A_6, 3 $ तथा $24$ के मध्य $6$ संख्याएँ हैं,
इसलिए $3, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 24$ समांतर श्रेणी में हैं।
यहाँ $a = 3, b = 24, n = 8$
इसलिए $24 = 3 + (8 - 1)d,$ इससे प्राप्त होता है $d = 3$
इस प्रकार $A_1= a + d = 3 + 3 = 6; A_2= a + 2d = 3 + 2 \times 3 = 9;$
$A_3= a + 3d = 3 + 3 \times 3 = 12; A_4= a + 4d = 3 + 4 \times 3 = 15;$
$A_5= a + 5d = 3 + 5 \times 3 = 18; A_6= a + 6d = 3 + 6 \times 3 = 21$
अतः, संख्याएँ $3$ तथा $24$ के मध्य $6$ संख्याएँ $6, 9, 12, 15, 18$ तथा $21$ हैं।
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एक व्यक्ति की प्रथम वर्ष में आय $3,00,000$ रुपये है तथा उसकी आय $10,000$ रुपये प्रति वर्ष, उन्नीस वर्षों तक बढ़ती है, तो उसके द्वारा $20$ वर्षों में प्राप्त आय ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ, हम पाते हैं, समांतर श्रेणी जिसका
$a = 3,00,000, d = 10,000,$ तथा $n = 20$
योग सूत्र का उपयोग करने पर, हम पातें हैं,
$S_{20}= \frac{20}{2}[600000 + 19 \times 10000] = 10(790000) = 79,00,000$
वह व्यक्ति $20$ वर्ष के अंत में $79,00,000$ रुपये प्राप्त करता है।
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दो समांतर श्रेढ़ियों के $n$ पदों के योगफल का अनुपात $(3n + 8) : (7n + 15)$ है। $12$वें पद का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answerहल माना कि $a_1, a_2 $ तथा $d_1, d_2 $ क्रमशः प्रथम एवं द्वितीय समांतर श्रेढ़ियों के प्रथम पद तथा सार्व अंतर हैं, तो दी हुई शर्त के अनुसार, हम पाते हैं:
$= \frac{3 n+8}{7 n+15}$
या $\frac{\frac{n}{2}\left[2 a_{1}+(n-1) d_{1}\right]}{\frac{n}{2}\left[2 a_{2}+(n-1) d_{2}\right]}=\frac{3 n+8}{7 n+15}$
या $\frac{2 a_{1}+(n-1) d_{1}}{2 a_{2}+(n-1) d_{2}}=\frac{3 n+8}{7 n+15} ...(1)$
अब 
$= \frac{a_{1}+11 d_{1}}{a_{2}+11 d_{2}}$
$\frac{2 a_{1}+22 d_{1}}{2 a_{2}+22 d_{2}}=\frac{3 \times 23+8}{7 \times 23+15} [(1)$ में $n = 23$ रखने पर$]$
या $\frac{a_{1}+11 d_{1}}{a_{2}+11 d_{2}}=\frac{7}{16}$
अतः वांछित अनुपात $7:16$ है। View full question & answer→Question 713 Marks
यदि किसी समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $nP + \frac{1}{2}n(n - 1)Q$, है, जहाँ $P$ तथा $Q$ अचर हो तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
Answerमाना कि $a_1, a_2, ..., a_n $ दी गई समांतर श्रेणी है, तो
$S_n= a_1+ a_2+ a_3+ ... + a_{n-1}+ a_n= nP + \frac{1}{2}n(n - 1)Q$
इसलिए $S_1= a_1= P, S_2= a_1+ a_2= 2P + Q$
इसलिए $a_2= S_2- S_1= P + Q$
अतः सार्व अंतर है:
$d = a_2- a_1= (P + Q) - P = Q$
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यदि किसी समांतर श्रेणी का $m$ वाँ पद $n$ तथा $n$वाँ पद m, जहाँ $m \neq n,$ हो तो $p$वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answerहम पाते हैं:
$a_m = a + (m - 1)d = n, ...(1)$
तथा $a_n = a + (n - 1)d = m, ...(2)$
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर, हम पाते हैं:
$(m - n)d = n - m, या d = -1, ...(3)$
तथा $a = n + m - 1 ...(4)$
इसलिए $a_p = a + (p - 1)d$
$= n + m - 1 + (p - 1)(-1) = n + m - p$
अतः, $p$वाँ पद $n + m - p$ है।
View full question & answer→Question 733 Marks
माना कि अनुक्रम $a_n $ निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:
$a_1= 1, a_n= a_{n-1}+ 2$ for $n \geq 2$
तो अनुक्रम के पाँच पद ज्ञात कीजिए तथा संगत श्रेणी लिखिए।
Answerहम पाते हैं:
$a_1= 1, a_2= a_1+ 2 = 1 + 2 = 3, a_3= a_2+ 2 = 3 + 2 = 5, a_4= a_3 + 2 = 5 + 2 = 7, a_5 = a_4 + 2 = 7 + 2 = 9$
अतः अनुक्रम के प्रथम पाँच पद $1, 3, 5, 7$ तथा $9$ हैं।
संगत श्रेणी $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...$ है।
View full question & answer→Question 743 Marks
यदि $p, q, r$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा समीकरणों $px^2+ 2qx + r = 0$ और $dx^2+ 2ex + f = 0$ एक उभयनिष्ठ मूल रखते हों, तो दर्शाइए कि $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ समांतर श्रेणी में हैं।
Answerसमीकरण $px^2+ 2qx + r = 0$ के मूल निम्नलिखित हैं:
$x = \frac{-2 q \pm \sqrt{4 q^{2}-4 r p}}{2 p}$
क्योंकि $p, q, r$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, इसलिए $q^2= pr$, अर्थात् $x = \frac{-q}{p}$ परंतु $\frac{-q}{p}$ समीकरण $dx^2+ 2ex + f = 0$ का भी मूल है,
इसलिए $d\left(\frac{-q}{p}\right)^{2}+2 e\left(\frac{-q}{p}\right) + f = 0$
या $oqQ^2 - 2eqp + fp^2 = 0 ...(1)$
$(1)$ को $pq^2 $ से भाग देने पर तथा $q^2= pr $ का उपयोग करने से, हम पाते हैं
$\frac{d}{p}-\frac{2 e}{q}+\frac{f p}{p r} = 0,$ या $\frac{2 e}{q}=\frac{d}{p}+\frac{f}{r}$
अतः $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ समांतर श्रेणी में हैं।
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यदि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा $a^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{z}}$ हैं तो सिद्ध कीजिए $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं।
Answerमाना कि $a^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{z}} = k.$ हैं तो
$a = k^x, b = k^y $ तथा $c = k^z ...(1)$
क्योंकि a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं
$b^2= ac ...(2)$
$(1)$ तथा (2) के उपयोग से हम पाते हैं
$k^{2y}= k^{x+z}$
इससे हमें मिलता है $2y = x + z$
अतः $x, y$ तथा $z$ समांतर श्रेणी में हैं।
View full question & answer→Question 763 Marks
यदि किसी समांतर श्रेणी का $p$वाँ, $q$वाँ, $r$वाँ तथा $s$वाँ पद गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो दिखाइए कि $(p - q), (q - r), (r - s)$ भी गुणोत्तर श्रेणी में होगें।
Answerयहाँ
$a_p= a + (p - 1)d ...(1)$
$a_q= a + (q - 1)d ...(2)$
$a_r= a + (r - 1)d ...(3)$
$a_s = a + (s - 1)d ...(4)$
दिया गया है कि $a_p, a_q, a_r $ तथा $a_s $ गुणोत्तर श्रेणी में हैं। इसलिए
$\frac{a_{q}}{a_{p}}=\frac{a_{r}}{a_{q}}=\frac{a_{q}-a_{r}}{a_{p}-a_{q}}=\frac{q-r}{p-q} ...(5)$
इसी प्रकार $\frac{a_{r}}{a_{q}}=\frac{a_{s}}{a_{r}}=\frac{a_{r}-a_{s}}{a_{q}-a_{r}}=\frac{r-s}{q-r} ...(6)$
अतः $(5)$ तथा $(6)$ से
$\frac{q-r}{p-q}=\frac{r-s}{q-r}$ अर्थात् $p - q, q - r$ तथा $r - s$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
View full question & answer→Question 773 Marks
उस श्रेणी के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका $n$वाँ पद $n(n + 3)$ है।
Answerदिया गया है
$a_n= n(n + 3) = n^2+ 3n$
इस प्रकार n पदों का योगफल
$S_n= \sum_\limits{k=1}^{n} a_{k}=\sum_\limits{k=1}^{n} k^{2}+3 \sum_\limits{k=1}^{n} k$
$= \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{3 n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+5)}{3}$
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$a_n = (n - 1)(2 - n)(3 + n)$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम का $20$वाँ पद क्या हैं?
Answerहम $n = 20$ रखने पर, पाते हैं
$a_{20}= (20 - 1)(2 - 20)(3 + 20)$
$= 19 \times(-18) \times(23)$
$= -7866$
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श्रेणी $5 + 11 + 19 + 29 + 41 ...$ के $n$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answerआइए लिखें
$S_n= 5 + 11 + 19 + 29 + ... + a_{n-1}+ a_n$
अथवा $S_n= 5 + 11 + 19 + ... + a_{n-2}+ a_{n-1}+ a_n$
घटाने पर हम पाते हैं
$0 = 5 + [6 + 8 + 10 + 12 + ... (n - 1)$ पदों$] - a_n$
अथवा $a_n= 5 + \frac{(n-1)[12+(n-2) \times 2]}{2}$
$= 5 + (n - 1)(n + 4) = n^2+ 3n + 1$
इस प्रकार $S_n= \sum_\limits{k=1}^{n} a_{k}=\sum_\limits{k=1}^{n}\left(k^{2}+3 k+1\right)=\sum_\limits{k=1}^{n} k^{2}+3 \sum_\limits{1}^{n} k+n$
$= \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{3 n(n+1)}{2}+n=\frac{n(n+2)(n+4)}{3}$
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ऐसी $3$ संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको $1$ तथा $256$ के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
Answerमाना कि $G_1, G_2, G_3 $ तीन गुणोत्तर माध्य $1$ तथा $256$ के बीच में है।
$1, G_1, G_2, G_3, 256$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
इसलिए $256 = r^4 $ जिससे $r = \pm 4 ($केवल वास्तविक मूल लेने पर$) r = 4$ के लिए हम
पाते हैं $G_1= ar = 4, G_2= ar^2= 16, G_3= ar^3= 64$
इसी प्रकार $r = -4,$ के लिए संख्याएँ $-4, 16$ तथा $-64$ हैं।
अतः $1$ तथा $256$ के बीच तीन संख्याएँ $4, 16, 64$ हैं।
View full question & answer→Question 813 Marks
एक व्यक्ति की दसवीं पीढ़ी तक पूर्वजों की संख्या कितनी होगी, जबकि उसके $2$ माता-पिता, $4$ दादा-दादी, $8$ पर दादा, पर दादी तथा आदि हैं।
Answerयहाँ $a = 2, r = 2$ तथा $n = 10,$
योगफल का सूत्र उपयोग करने पर $S_n= \frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$
हम पाते हैं $S_{10}= 2(2^{10}- 1) = 2046$
अतः व्यक्ति के पूर्वजों की संख्या $2046$ है।
View full question & answer→Question 823 Marks
एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल $\frac{13}{12}$ है तथा उनका गुणानफल $1$ है, तो सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए$?$
Answerमाना $\frac{a}{r}, a, ar$ गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद हैं तो
$\frac{a}{r} + a + ar = \frac{13}{12} ..(1)$
तथा $\left(\frac{a}{r}\right)(a)(ar) = -1 ...(2)$
$(2)$ से हम पाते हैं $a^3= -1$ अर्थात् $a = -1 ($केवल वास्तविक मूल पर विचार करने से$)$
$(1)$ में $a = -1$ रखने पर हम पाते है
$-\frac{1}{r} - 1 - r = \frac{13}{12}$ या $12r^2+ 25r + 12 = 0$
यह $r$ में द्विघात समीकरण है, जिसे हल करने पर हम पाते हैं: $r = -\frac{3}{4}$ या $-\frac{4}{3}$
अतः गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद हैं
$\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}, r = \frac{-3}{4}$ के लिए तथा $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}, r = \frac{-4}{3}$ के लिए
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गुणोत्तर श्रेणी $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}...$ के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल $\frac{3069}{512}$ हो जाए?
Answerमाना कि $n$ आवश्यक पदों की संख्या हैं। दिया है $a = 3, r = \frac{1}{2}$ तथा $S_n= \frac{3069}{512}$
क्योंकि $S_n= \frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$
इसलिए $\frac{3069}{512}=\frac{3\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=6\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)$
या $\frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}}$
या $\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{3069}{3072}$
या $\frac{1}{2^{n}}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$
या $2^n= 1024 = 2^{10}$, या $n = 10$
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गुणोत्तर श्रेणी $1 + \frac{2}{3}+\frac{4}{9} +...$ के प्रथम $n$ पदों का योग तथा प्रथम $5$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ $a = 1,$ तथा $r = \frac{2}{3}$ इसलिए
$S_n= \frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}=\frac{\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right]}{1-\frac{2}{3}}=3\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right]$
विशेषत: $S_5= 3\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{5}\right]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$
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