Question 13 Marks
फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि $a, b, c, d, p, q, r$ और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और $m$ तथा $n$ पूर्णांक हैं।): $(ax + b)(cx + d)^2$
Answer$f(x) = (ax + b)(cx + d)^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f'(x) = (ax + b) \frac{d}{d x}(cx + d)^2+ (cx + d)^2 \frac{d}{d x}(ax + b)$
$= (ax + b) \times \frac{d}{d x} {(cx + d)(cx + d)} + (cx + d)^2 \times a$
$= (ax + b) \times {(cx + d) \frac{d}{d x} (cx + d) + (cx + d) \frac{d}{d x} (cx + d)} + (cx + d)^2 \times a$
$= (ax + b){(cx + d) \times c + (cx + d) \times c} + (cx + d)^2 \times a$
$= (ax + b) \times 2c(cx + d) + a(cx + d)^2$
$= (cx + d)\{2c(ax + b) + a(cx + d)\}$
$= (cx + d)(3acx + 2bc + ad)$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।): $\frac x{\sin^n x}$
Answerf(x) = $\frac x{\sin^n x}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x}${f(x)} = $\frac{\sin ^{n} x \times \frac{d}{d x}(x)-x \frac{d}{d x}\left(\sin ^{n} x\right)}{\left(\sin ^{n} x\right)^{2}}$
= $\frac{\sin ^{n} x \times 1-x \times n \sin ^{n-1} x \cos x}{\sin ^{2 n} x}$
= $\frac{\sin x-n x \cos x}{\sin ^{n+1} x}$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।): $\frac{4 x+5 \sin x}{3 x+7 \cos x}$
Answerf(x) = $\frac{4 x+5 \sin x}{3 x+7 \cos x}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = $\frac{(3 x+7 \cos x) \frac{d}{d x}(4 x+5 \sin x)-(4 x+5 \sin x) \times \frac{d}{d x}(3 x+7 \cos x)}{(3 x+7 \cos x)^{2}}$
= $\frac{(3 x+7 \cos x)(4+5 \cos x)-(4 x+5 \sin x)(3-7 \sin x)}{(3 x+7 \cos x)^{2}}$
= $\frac{\begin{array}{r} 12 x+28 \cos x+15 x \cos x+35 \cos ^{2} x-12 x-15 \sin x+28 x \sin x +35 \sin ^{2} x \end{array}}{(3 x+7 \cos x)^{2}}$
= $\frac{28(\cos x+x \sin x)+15(x \cos x-\sin x)+35\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right)}{(3 x+7 \cos x)^{2}} $
= $\frac{28(\cos x+x \sin x)+15(x \cos x-\sin x)+35}{(3 x+7 \cos x)^{2}}$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।): $\frac{a+b \sin x}{c+d \cos x}$
Answerf(x) = $\frac{a+b \sin x}{c+d \cos x}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = $\frac{(c+d \cos x) \frac{d}{d x}(a+b \sin x)-(a+b \sin x) \frac{d}{d x}(c+d \cos x)}{(c+d \cos x)^{2}}$
= $\frac{(c+d \cos x) \times(0+b \cos x)-(a+b \sin x)(0-d \sin x)}{(c+d \cos x)^{2}}$
= $\frac{b c \cos x+b d \cos ^{2} x+a d \sin x+b d \sin ^{2} x}{(c+d \cos x)^{2}}$
= $\frac{(b c \cos x+a d \sin x)+b d\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right)}{(c+d \cos x)^{2}}$
= $\frac{(b c \cos x+a d \sin x)+b d \times 1}{(c+d \cos x)^{2}}$
= $\frac{b c \cos x+a d \sin x+b d}{(c+d \cos x)^{2}}$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि $a, b, c, d, p, q, r$ और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):$ \sin^n x$
Answer$f(x) = \sin^n x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d}{d x}\{f(x)\} =\frac{d}{d x}\left(\sin ^{n} x\right)$
$f'(x) = n \sin^{n-1} x \frac{d}{d x}(\sin x)$
$= n \sin^{n-1} x \cos x$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।): $\frac{\sec x-1}{\sec x+1}$
Answerf(x) = $\frac{\sec x-1}{\sec x+1}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = $\frac{(\sec x+1) \frac{d}{d x}(\sec x-1)-(\sec x-1) \frac{d}{d x}(\sec x+1)}{(\sec x+1)^{2}}$
= $\frac{(\sec x+1) \times \sec x \tan x-(\sec x-1) \sec x \tan x}{(\sec x+1)^{2}}$
= $\frac{\sec x \tan x \times(\sec x+1-\sec x+1)}{(\sec x+1)^{2}}$
= $\frac{2 \sec x \tan x}{(\sec x+1)^{2}}$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।): $\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$
Answerf(x) = $\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = $\frac{(\sin x-\cos x) \frac{d}{d x}(\sin x+\cos x)-(\sin x+\cos x) \frac{d}{d x}(\sin x-\cos x)}{(\sin x-\cos x)^{2}}$
= $\frac{(\sin x-\cos x)(\cos x-\sin x)-(\sin x+\cos x)(\cos x+\sin x)}{-(\sin x-\cos x)^{2}}$
= $\frac{-\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x-2 \sin x \cos x\right)-\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x\right)}{(\sin x-\cos x)^{2}}$
= $\frac{-1+2 \sin x \cos x-1-2 \sin x \cos x}{(\sin x-\cos x)^{2}}$
= $\frac{-2}{(\sin x-\cos x)^{2}}$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।): $\frac{\cos x}{1+\sin x}$
Answerf(x) = $\frac{\cos x}{1+\sin x}$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = $\frac{(1+\sin x) \frac{d}{d x}(\cos x)-\cos x \frac{d}{d x}(1+\sin x)}{(1+\sin x)^{2}}$
= $\frac{(1+\sin x)(-\sin x)-\cos x \times \cos x}{(1+\sin x)^{2}}$
= $\frac{-\sin x-\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{(1+\sin x)^{2}}$
= $\frac{-\sin x-\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)}{(1+\sin x)^{2}}$
= $\frac{-\sin x-1}{(1+\sin x)^{2}}$
= $\frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^{2}}=\frac{-1}{1+\sin x}$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि $a, b, c, d, p, q, r$ और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।): $cosec\ x \cot x$
Answer$f(x) = cosec\ x \cot x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f'(x) = cosec\ \times \frac{d}{d x}(\cot x) + \cot x \frac{d}{d x}(cosec\ x)$
$= cosec\ x \times (-cosec^2x) + \cot x(-cosec x \cot x)$
$= -cosec\ x(cosec^2x + \cot^2x)$
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प्रथम सिद्धांत से फलन cos (x + $\frac {\pi}8$) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answerf(x) = cos (x + $\frac {\pi}8$)
$\therefore f'(x) =\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
= $\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x+h-\frac{\pi}{8}\right)-\cos \left(x-\frac{\pi}{8}\right)}{h}$
= $\lim _\limits{h \rightarrow 0}\left\{\frac {2 \sin \left(\frac{x+h-\frac{\pi}{8}+x-\frac{\pi}{8}}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{x-\frac{\pi}{8}-x-h+\frac{\pi}{8}}{2}\right)}{h}\right\}$
= $\lim _\limits{h \rightarrow 0}-\sin \left\{x-\frac{\pi}{8}+\frac{h}{2}\right\} \frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\left(\frac{h}{2}\right)}$
= $-\sin \left(x-\frac{\pi}{8}+0\right) \times 1$
= $-\sin \left(x-\frac{\pi}{8}\right)$
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फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाय कि $a, b, c, d, p, q, r$ और $s$ निश्चित शून्येतर अचर हैं और $m$ तथा $n$ पूर्णांक हैं।): $(ax + b)^n (cx + d)^m$
Answer$f(x) = (ax + b)^n (cx + d)^m$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f'(x) = (ax + b)^n \frac{d}{d x}(cx + d)^m+ (cx + d)^m \frac{d}{d x}(ax + b)^n$
$= (ax + b)^n \cdot m(cx + d)^{m-1} \times c + (cx + d)^m \times n(ax + b)^{n-1} \times a$
$= (ax + b)^{n-1}(cx + d)^{m-1} \times {mc(ax + b) + an(cx - d)}$
$= (ax + b)^{n-1}(cx + d)^{m-1}(mcax + ancx + mbc + and)$
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f(x) = 10x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answerहम पाते हैं f'(x) = $\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{10(x+h)-10(x)}{h}$
= $\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{10 h}{h}=\lim _\limits{h \rightarrow 0}$ (10) = 10
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x = 0 और x = 3 पर फलन f(x) = 3 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answerक्योंकि अवकलज फलन में परिवर्तन को मापता है, सहजरूप से यह स्पष्ट है कि अचर फलन का प्रत्येक बिंदु पर अवकलन शून्य होना चाहिए। इसे, वास्तव में, निम्नलिखित परिकलन से बल मिलता है।
f'(0) = $\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{3-3}{h}=\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{0}{h}$ = 0
इसी प्रकार f'(3) = $\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{3-3}{h}$ = 0
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$\frac{x+\cos x}{\tan x}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answerहम फलन $\frac{x+\cos x}{\tan x}$ पर भागफल नियम का प्रयोग करेंगे जहाँ कहीं भी यह परिभाषित है।
h'(x) = $\frac{(x+\cos x)^{\prime} \tan x-(x+\cos x)(\tan x)^{\prime}}{(\tan x)^{2}}$
= $\frac{(1-\sin x) \tan x-(x+\cos x) \sec ^{2} x}{(\tan x)^{2}}$
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$\frac{x^{5}-\cos x}{\sin x}$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए h(x) = $\frac{x^{5}-\cos x}{\sin x}$ जहाँ कहीं भी यह परिभाषित है, हम इस फलन पर भागफल नियम का प्रयोग करेंगे।
h'(x) = $\frac{\left(x^{5}-\cos x\right)^{\prime} \sin x-\left(x^{5}-\cos x\right)(\sin x)^{\prime}}{(\sin x)^{2}}$
= $\frac{\left(5 x^{4}+\sin x\right) \sin x-\left(x^{5}-\cos x\right) \cos x}{\sin ^{2} x}$
= $\frac{-x^{5} \cos x+5 x^{4} \sin x+1}{(\sin x)^{2}}$
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प्रथम सिद्धांत से फलन f(x) का अवकलज ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = sin x + cos x
Answerहम पाते है, $f^{\prime}(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$=\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)+\cos (x+h)-\sin x-\cos x}{h}$
$=\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h+\cos x \cos h-\sin x \sin h-\sin x-\cos x}{h}$
$=\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{\sin h(\cos x-\sin x)+\sin x(\cos h-1)+\cos x(\cos h-1)}{h}$
$=\lim _\limits{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}(\cos x-\sin x)$ + $\lim _\limits{h \rightarrow 0} \sin x \frac{(\cos h-1)}{h}$ $+\lim _\limits {h \rightarrow 0} \cos x \frac{(\cos h-1)}{h}$
= cos x - sin x
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