गणित निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 5 अंक का हे)

हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते है।

$OD =\frac{ DB }{2}=\frac{16}{2}=8 cm$

$O C=\frac{A C}{2}=\frac{30}{2}=15 cm$

समकोण त्रिभज DOC में,

$( DC )^2=( OD )^2+( OC )^2$

$( DC )^2=(8)^2+(15)^2$ , $( DC )^2=64+225=289$ , $DC =\sqrt{289}=17 cm$

समचतुर्भुज का परिमाप $=4 \times$ भुजा $=4 \times 17=68 cm$ अतः, समचतुर्भुज का परिमाप $68 cm$ है।

माना, $( QR )=x cm$.

समकोण त्रिभुज PQR में,

$( PR )^2=( RQ )^2+( PQ )^2$

$(41)^2=x^2+(40)^2$

$1681=x^2+1600$

$x^2=1681-1600$

$x^2=81$,$x=\sqrt{81}=9 cm$

अतः, आयत की चौड़ाई $=9 cm$.
आयत का परिमाप $=2$ (लम्बाई + चौड़ाई) $=2(9+49)=2 \times 49=98 cm$ अतः, आयत का परिमाप $98 cm$ है।

$\angle PQR +\angle QRP +\angle RPQ =180^{\circ}$

$25^{\circ}+65^{\circ}+\angle RPQ =180^{\circ}$

$90^{\circ}+\angle RPO =180^{\circ}$

$\angle RPQ =180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$

अतः, $\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $P$ समकोण है।

$(\text { कर्ण })^2=(\text { आधार })^2+(\text { लंब })^2$

$( QR )^2=( PR )^2+( QP )^2$

अतः, विकल्प (ii) सही है।

पाइथागोरस गुण से, $\triangle ABC$ में, $( AC )^2=( AB )^2+( BC )^2$

$( AC )^2=(12)^2+(5)^2$

$( AC )^2=144+25$

$( AC )^2=169$

$AC =13 m$

अतः, पेड़ की पूरी ऊँचाई $= AC + CB =13+5=18 m$ है।

$\triangle AOB$ में, $\quad AB < OA + OB$

$\triangle B O C$ में, $\quad BC < OB + OC$

$\triangle C O D$ में, $\quad C D<O C+O D$

$\triangle A O D$ में, $\quad D A<O D+O A$

समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर

$AB + BC + CD + DA < OA + OB + OB + OC + OC + OD + OD + OA$

$A B+B C+C D+D A<2 O A+2 O B+2 O C+2 O D$

$A B+B C+C D+D A<2[(A O+O C)+(D O+O B)]$

$A B+B C+C D+D A<2(A C+B D)$

अतः, यह सत्य है।

$\triangle ABC$ में, $\quad AB + BC > AC$

$\triangle ADC$ में, $\quad AD + DC > AC$

$\triangle DCB$ में, $\quad DC + CB > DB$

$\triangle ADB$ में, $\quad AD + AB > DB$

समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर

$A B+B C+A D+D C+D C+C B+A D+A B>A C+A C+D B+D B$

$(A B+A B)+(B C+B C)+(A D+A D)+(D C+D C)>2 A C+2 D B$

$2 A B+2 B C+2 A D+2 D C>2(A C+D B)$

$2(A B+B C+A D+D C)>2(A C+D B)$

$A B+B C+A D+D C>A C+D B$

$AB + BC + CD + DA > AC + DB$

अतः, यह सत्य है।