Question 11 Mark
निम्न को एक परिमेय संख्या की घात के रूप में लिखिए, जिसमें ऋणात्मक घातांक हो-
(a) $\left(\left(\frac{-3}{2}\right)^{-2}\right)^{-3}$
(b) $\left(2^5 \div 2^8\right) \times 2^{-7}$
Answer(a) $\frac{-2}{3}$ (b) $2^{-10} \quad$
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$\frac{27}{64}$ और $\frac{-27}{64}$ को परिमेय संख्याओं की घातों के रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer$\left(\frac{3}{4}\right)^3$ और $\left(\frac{-3}{4}\right)^3$
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$16^{-2}$ को आधार 2 की घात के रूप में व्यक्त कीजिए।
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$3^{-5} \times 3^{-4}$ को धनात्मक घातांक वाली 3 की घात के रूप में व्यक्त कीजिए।
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$(-8)^{-3}$ को किस संख्या से गुणा करें कि गुणनफल $(-8)^{-3}$ प्राप्त हो जाये?
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$(-15)^{-1}$ को किस संख्या से भाग दिया जाये कि भागफल $(-5)^{-1}$ प्राप्त हो जाये?
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एक विशेष तारा पृथ्वी से $8.1 \times 10^{13} km$ की दूरी पर है। यह निश्चित रखते हुए कि प्रकाश $3 \times 10^8 m$ प्रति सैकेंड के वेग से चलता है। ज्ञात कीजिए कि प्रकाश उस तारे से पृथ्वी तक पहुँचने में कितना समय लेता है।
Answer$2.7 \times 10^8 sec$
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सूर्य और पुथ्वी के बीच की दूरी $1.496 \times 10^8 km$ है तथा पुथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी $3.84 \times 10^8 m$ है। सूर्य ग्रहण होने पर, चंद्रमा पृथ्वी और सूर्य के बीच में आ जाता है। इस विशेष समय पर सूर्य और चंद्रमा के बीच की दूरी क्या है?
Answer$1492.16 \times 10^8 m \quad$
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मंगल का द्रव्यमान $6.42 \times 10^{23} kg$ है और सूर्य का द्रव्यमान $1.99 kg \times 10^{30} kg$ है। उनका कुल द्रव्यमान क्या है?
Answer$26.32 \times 10^{29} kg$
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सूर्य का व्यास $1.4 \times 10^9 m$ है तथा पृथ्वी का व्यास $1.2756 \times 10^7 m$ है। विभाजन द्वारा इन व्यासों की तुलना कीजिए।
Answerसूर्य का व्यास पृथ्वी के व्यास का 100 गुणा है।
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बहुत समय पहले, प्राचीन काल में, एक किसान ने एक राजा की पुत्री की जान बचाई। राजा ने किसान को उसकी इच्छानुसार पुरस्कार देने का निर्णय किया। वह किसान, जो शतरंज का एक चैंपियन था, ने एक असामान्य प्रार्थना की जो इस प्रकार है- "मैं चाहता हूँ कि आप 1 रुपया मेरे शतरंज के बोर्ड के पहले वर्ग पर रखें, 2 रुपए दूसरे वर्ग पर, 4 रुपए तीसरे वर्ग पर, 8 रुपए चौथे वर्ग पर, और इसी प्रकार आगे रखते जाएँ, जब तक कि सभी 64 वर्गों पर रुपए न रख दिए जाएँ। प्रत्येक वर्ग में उस वर्ग से पहले वर्ग में रखे रुपयों के दुगुने रुपए रखे होने चाहिए।" राजा ने सोचा कि यह राशि बहुत कम है। इसलिए उसने किसान से कोई अच्छा पुरस्कार माँगने के लिए कहा। परंतु किसान उससे सहमत नहीं हुआ। क्या आप सोचते हैं कि किसान का चुनाव बुद्धिमतापूर्ण था? (संकेत- निम्न सारणी आपको यह जानने में सहायता कर सकती है कि कौन सा वर्ग प्रथम होगा जिस पर राजा न्यूनतम 10 लाख रुपए रखेगा।) शतरंज के बोर्ड पर वर्ग की संख्या धनराशि (रुपयों में )
पहला वर्ग 1
दूसरा वर्ग 2
तीसरा वग 4
Answerसंकेत - एक 8x8 ग्रिड लीजिए ।अब प्रत्येक पंक्ति का योग ज्ञात कीजिए । प्रथम पंक्ति -
$=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7$
= 255
दूसरी पंक्ति
$=2^8+2^9+2^{10}+2^{11}+2^{12}+2^{13}+2^{14}+2^{15}=$
$=2^8\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^5+2^6+2^7\right)$
$=2^8 \times 255$
$=256 \times 255$
$=65280$
तीसरी पंक्ति
$=2^{16} \times 255$
$=16711680$
$2^8=256$
$2^{16}=2^8 \times 2^8$
$=256 \times 256$
इत्यादि
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नीचे दिये गये चार्ट के बाएँ स्तंभ में सोने की प्रवेश जंजीरों की लंबाइयाँ दी गयी हैं तथा रिपीटर मशीनों को ऊपर लिखा गया है। अन्य प्रविष्टियाँ उन निर्गतों के लिए हैं जो उस पंक्ति में से दिये गये जंजीर के निवेश द्वारा उस स्तंभ में दी रिपीटर मशीन द्वारा प्राप्त होते हैं। इसकी प्रतिलिपि बनाकर इसे पूरा कीजिए।
\begin{tabular}{|c|c|l|c|}
\hline निवेश लंबाई & \multicolumn{3}{|c|}{ रिपीटर मशीन } \\
\hline & $\times 2^3$ & $3^3$ & \\
\hline & 40 & & 125 \\
\hline 2 & & & 50 \\
\hline & & 162 & \\
\hline
\end{tabular}
Answer| निवेश लंबाई | रिर्पाटर मशीन | |
| | xx2^(3) | xx3^(3) | xx5^(2) |
| 5 | 40 | 135 | 125 |
| 2 | 16 | 54 | 50 |
| 6 | 48 | 162 | 150 |
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नीचे दिये गये चार्ट के बाएँ स्तंभ में रिब्बन के निवेश टुकड़ों की लंबाइयाँ दी गयी हैं। खींचने वाली मशीनें ऊपर दी गयी हैं। अन्य प्रविष्टियाँ उस पंक्ति द्वारा रिब्बन को उस स्तंभ में दी गयी मशीन में निवेश करने से प्राप्त निर्गतों की हैं। इसकी प्रतिलिपि बनाकर पूरा कीजिए-
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline निवेश लंबाई & \multicolumn{3}{|c|}{ मशीन } \\
\hline & $\times 2$ & & \\
\hline & 1 & 5 & \\
\hline 3 & & & \\
\hline & 14 & & 35 \\
\hline
\end{tabular}
Answer| | मशीन | | |
| निवेश लंबाई | x^(2) | x^(10) | x^(5) |
| 0.5 | 1 | 5 | 2.5 |
| 3 | 6 | 30 | 15 |
| 7 | 14 | 70 | 35 |
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ऐसी तीन मशीनें ज्ञात कीजिए, जो $(\times 5)$ मशीनों के संग्रहों से बदली जा सकती हैं।
Answer$a \times 25, a \times 125, a \times 625$
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अजय के पास 1cm लंबा एक गोंद की पट्टी का टुकड़ा था। उसने उसे नीचे दी हुई रिपीटर मशीन में डाल दिया और यह बाहर निकलने पर $\frac{1}{100,000} cm$ लंबा था। आकृति में अज्ञात मान क्या है?
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सिकोड़ने वाली मशीन-
सिकोड़ने वाली मशीन में, एक डंडी को दबा कर उसकी लंबाई कम की जाती है। यदि नीचे दी गई सिकोड़ने वाली मशीन में एक 9cm लंबी सैंडविच रखी जाएगी, तो यह बाहर निकलने पर कितनी लंबी होगी?
Question 171 Mark
0 घातांक वाली एक रिपीटर मशीन में आधार मशीन का 0 बार प्रयोग किया जाता है।
(a) ये मशीनें एक चॉक के टुकड़े का क्या करेंगी?
(b) आप $6^{\circ}$ के मान के बारे में क्या सोचते हैं?
आप देख चुके हैं कि एक ही आधार वाली जोड़ी गयी रिपीटर मशीनों को एक अकेली रिपीटर मशीन से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इसी प्रकार, आप जब एक ही आधार वाले घातांकीय व्यंजकों का गुणा करते हैं, तो आप इन्हें एक ही व्यंजक से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
Answer(a) इनसे लंबाई नहीं बदलेगी (b) 1
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ऐसी तीन रिपीटर मशीनें ज्ञात कीजिए, जो उतना ही कार्य करेंगी जो एक ' $\times 64$ ' मशीन करती है। इन्हें खींचिए या इन्हें घातांकों का प्रयोग करते हुए स्पष्ट कीजिए।
Answer$x 4^3$ ', ' $x 8^2$ ', ' $x 2^6$ ' मशीनें
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निम्न रिपीटर मशीनों में से प्रत्येक में, आधार मशीन का कितनी बार प्रयोग किया गया है तथा लंबाई में कुल खिंचाव कितना है?
Answer(a) दो गुना
कुल खिंचाव 10,000
(b) पाँच गुना
कुल खिंचाव 16,807
(c) सात गुना
कुल खिंचाव 78,125
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दो मशीनों को जोड़ा जा सकता है। यदि इन जोड़ी गयी मशीनों में कुछ डाला जाता है, तो पहली मशीन का निर्गम दूसरी मशीन का आगमन होता है।
(a) कौन-सी दो मशीनें मिलकर वही कार्य करती हैं जो एक मशीन ' $\times 10^2$ ' कार्य करती है? क्या दो मशीनों की एक से अधिक ऐसी व्यवस्थाएँ हैं?
(b) कौन-सी खींचने वाली मशीन उतना ही कार्य करेगी जितना दो ' $\times 2$ ' मशीनें मिलकर करती हैं?
Answer(a) ' $\times 2^2$ और ' $\times 5^2$ ' मशीनें; हाँ (b) ' $x 4$ ' मशीनें
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एक दिन में 86,400 सेकेंड होते हैं। एक सेकेंड कितने दिन लंबा है? अपने उत्तर को वैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त कीजिए।
Answer$1.15 \times 10^{-5}$ दिन
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Answermg src="https://api.studentbro.in/NCERTSOLUTION//user_files/99359_2eb721bd6f767931/99359_custom_files/img1676362587.png" width="454" height="60" />
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घातांकों के गुणों का प्रयोग करते हुए, सत्यापित कीजिए कि प्रत्येक कथन सत्य है?
(a) $\frac{1}{4}\left(2^n\right)=2^{n-2}$
(b) $4^{n-1}=\frac{1}{4}(4)^n$
(c) $25\left(5^{n-2}\right)=5^n$
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एक फर्मी $10^{-15}$ मीटर के बराबर है। एक प्रोटॉन की त्रिज्या $1.3$ फर्मीस है। एक प्रोटॉन की मीटरों में त्रिज्या को मानक रूप में लिखिए।
Answer$1.3 \times 10^{-15} m \quad$
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किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की एक मात्रा पर विचार कीजिए। व्यंजक $3^{-t}$ का उपयोग $t$ अर्ध-जीवनकालों के बाद् इस मात्रा के शेष भाग को ज्ञात करने में किया जा सकता है।
(a) उस पदार्थ का कितना भाग 7 अर्ध-जीवनकालों के बाद शेष रहता है?
(b) कितने अर्ध-जीवनकालों के बाद प्रारंभिक मात्र का $\frac{1}{243}$ भाग शेष रहता है?
Answer(a) $\frac{1}{3^7}$ (b) 5 अर्ध रेखाएँ
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किसी नदी से होकर प्रत्येक दिन लगभग 230 बिलियन लीटर पानी बहता है। एक सप्ताह में इस नदी से होकर कितने लीटर पानी बहता है? एक वर्ष में, इस नदी से होकर कितने लीटर पानी बहता है? अपने उत्तर वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
Answerएक सप्ताह में 1610 बिलियन या $1.61 \times 10^{12}$
एक वर्ष में 83950 बिलियन या $8.395 \times 10^{14}$
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अपने परिवार के इतिहास का अध्ययन करने के लिए शिखा ने अपने पूर्वजों की पिछली 12 पीढ़ियों का रिकार्ड खोज लिया। उसने पता किया कि पिछली 12 पीढ़ियों में उसके कितने पूर्वज थे। इस संख्या को जानने के लिए, उसने एक आरेख बनाना प्रारंभ किया। कुछ समय बाद, आरेख जटिल होने लगा।
(a) 12 पीढ़ियों में से प्रत्येक में पूर्वजों की संख्या दर्शाने के लिए एक सारणी और आलेख बनाइए।
(b) एक दी हुई पीढ़ी $n$ के पूर्वजों की संख्या के लिए एक समीकरण लिखिए।
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एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान लगभग $9.1093826 \times 10^{-31} kg$ है। ग्राम में यह द्रव्यमान क्या है?
Answer$9.1093826 \times 10^{-28} g$
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पृथ्वी का आयतन सूर्य के आयतन का लगभग $7.67 \times 10^{-7}$ गुना है। इस संख्या को सामान्य रूप में व्यक्त कीजिए।
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किसी जीवाणु के सेल प्रत्येक घंटे में दोगुने हो जाते हैं। यदि हम प्रारंभिक रूप से 1 सेल लें, तो 8 घंटे बाद कितने सेल हो जाएँगे? उत्तर को घातों के रूप में व्यक्त कीजिए।
Question 311 Mark
ग्रह A पृथ्वी से $9.35 \times 10^6 km$ की दूरी पर है तथा ग्रह B पृथ्वी से $6.27 \times 10^7 m$ की दूरी पर है। कौन-सा ग्रह पृथ्वी के अधिक निकट है?
View full question & answer→Question 321 Mark
किसी जीवाणु के सेल प्रत्येक 30 मिनट में दोगुने हो जाते हैं। कोई वैज्ञानिक केवल एक सेल से प्रारंभ करता है। निम्न समय के बाद कितने सैल हो जाएँगे?
(a) 12 घंटे
(b) 24 घंटे
Answer(a) $2^{24}$ (b) $2^{48}$
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यदि $\frac{5^m \times 5^3 \times 5^{-2}}{5^{-5}}=5^{12}$ है, तो m ज्ञात कीजिए।
View full question & answer→Question 341 Mark
$\frac{16 \times 10^2 \times 64}{2^4 \times 4^2}$ को सरल कीजिए।
View full question & answer→Question 351 Mark
$\frac{125 \times x^{-3}}{5^{-3} \times 25 \times x^{-6}}$ को सरल कीजिए।
View full question & answer→Question 361 Mark
यदि $\frac{2^n \times 2^6}{2^{-3}}=2^{18}$ है, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
View full question & answer→Question 371 Mark
यदि $\frac{6^n}{6^{-2}}=6^3$ है, तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
View full question & answer→Question 381 Mark
{2}\right)^{-3}$ को किस संख्या से भाग दिया जाए कि भागफल $\left(\frac{4}{27}\right)^{-2}$ प्राप्त हो?
Answer$\frac{(-2)^7}{(3)^9} \quad$
View full question & answer→Question 391 Mark
x ज्ञात कीजिए, ताकि $\left(\frac{2}{9}\right)^3 \times\left(\frac{2}{9}\right)^{-6}=\left(\frac{2}{9}\right)^{2 x-1}$ हो।
View full question & answer→Question 401 Mark
रक्त में लाल रक्त सैलों की संख्या लगभग $5.5$ मिलियन प्रति घन मिलीमीटर है। यदि औसतन शरीर में 5 लीटर रक्त होता है, तो शरीर में लाल रक्त सैलों की संख्या कितनी है? इसे मानक रूप में लिखिए। $\left(1\right.$ लीटर $=100000 mm ^3$ है)
Answer$2.75 \times 10^{12}$
View full question & answer→Question 411 Mark
$\frac{1.5 \times 10^6}{2.5 \times 10^{-4}}$ को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer$6.0 \times 10^9 \quad$
View full question & answer→Question 421 Mark
$3.2 \times 10^6$ और $4.1 \times 10^{-1}$ के गुणनफल को मानक रूप में व्यक्त कीजिए।
Answer$1.312 \times 10^6$
View full question & answer→Question 431 Mark
$(-15)^{-1}$ को किस संख्या से भाग दिया जाए कि भागफल $(-15)^{-1}$ हो?
View full question & answer→Question 441 Mark
$x^3$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि $x=(100)^{1-4} \div(100)^0$ है।
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