MCQ - गणित कक्षा 9 Questions - Vidyadip

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MCQ

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15 questions · auto-graded multiple-choice test.

MCQ 11 Mark

एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बनने वाली आकृति होती है

A
एक वर्ग
B
कोई भी समांतर चतुर्भुज
✓
एक आयत
D
एक समचतुर्भुज

Answer

Correct option: C.

एक आयत

समचतुर्भुज में विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। जो यह सिद्ध करता है कि समचतुर्भुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बने चतुर्भुज के सभी कोण 90 के बराबर होते हैं। एक चतुर्भुज जिसमें दोनों सम्मुख कोणों का युग्म बराबर होता है, एक समांतर चतुर्भुज होता है।
एक समकोण वाला समांतर चतुर्भुज एक आयत है।

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MCQ 21 Mark

यदि APB और CQD दो समांतर रेखाएँ हैं, तो कोणों APQ, BPQ, CQP और PQD के समद्विभाजक बनाते हैं

A
एक वर्ग
✓
एक आयत
C
कोई अन्य समांतर चतुर्भुज
D
एक समचतुर्भुज

Answer

Correct option: B.

एक आयत

PNQM एक आयत है।

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MCQ 31 Mark

यदि चतुर्भुज ABCD के $\angle$A और $\angle$B के समद्विभाजक परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं, $\angle$B और $\angle$C के समद्विभाजक Q पर, $\angle$C और $\angle$D के R पर तथा $\angle$D और $\angle$A के S पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो PQRS है एक

A
समचतुर्भुज
B
आयत
C
समांतर चतुर्भुज
✓
चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

Answer

Correct option: D.

चतुर्भुज जिसके सम्मुख कोण संपूरक हैं।

मान लीजिए कि कोणों के आधे भाग A,B,C और D को क्रमशः a, b, c और d से निरूपित किया जाता है।
a + b + $\angle$APB = 180 और c + d + $\angle$DRC = 180 (कोण योग संपत्ति)
$\angle$APB = $\angle$QPS और $\angle$QRC = $\angle$QRS (ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण)
अतः, $\angle$QPS + $\angle$QRS = (180 - a - b) + (180 - c - d)
= 360 - (a + b + c + d)
= 360 - $\frac{1}{2}$($\angle$A + $\angle$B + $\angle$C + $\angle$D)
= 360 - $\frac{1}{2}$ $\times$ 360 = 180
अतः कोण QPS और कोण QRS संपूरक हैं।

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MCQ 41 Mark

यदि चतुर्भुज $ABCD$ के कोणों $A, B, C$ और $D$ का, इसी क्रम में लेने पर, अनुपात $3 : 7 : 6 : 4$ है, तो $ABCD$ है एक

A
पतंग
✓
समलंब
C
समचतुर्भुज
D
समांतर चतुर्भुज

Answer

Correct option: B.

समलंब

माना चतुर्भुज $A B C D$ के कोण क्रमश: $3 x, 7 x, 6 x$ तथा $4 x$ हैं। अब कोणों का योग $=360^{\circ}$
$\Rightarrow 3 x+7 x+6 x+4 x=360^{\circ}$
$\Rightarrow 20 x=360^{\circ}$
$\Rightarrow x=\frac{360^{\circ}}{20^{\circ}}=18^{\circ}$
$\therefore$ चतुर्भुज के कोण हैं, $\angle A=3 \times 18=54^{\circ}$
$\angle B=7 \times 18=126^{\circ}$
$\angle C=6 \times 18=108^{\circ}$
तथा $\angle D=4 \times 18=72^{\circ}$
अब, दी हुई आकृति से, $\angle B C E=180^{\circ}-\angle B C D$
$=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}=\angle A D C$
$\therefore B C \| A D$
तथा अन्तः कोणों का योग,
$\angle A+\angle B=126^{\circ}+54^{\circ}=180^{\circ}$
तथा $\angle C +\angle D =108^{\circ}+72^{\circ}=180^{\circ}$
अत: $A B C D$ एक समलंब है।

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MCQ 51 Mark

चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में मिलाने पर बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है, यदि

A
PQRS एक समांतर चतुर्भुज है
✓
PQRS एक समचतुर्भुज है
C
PQRS के विकर्ण बराबर हों
D
PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों

Answer

Correct option: B.

PQRS एक समचतुर्भुज है

दिया है PQRS एक चतुर्भुज है तथा A, B, C एवं D क्रमश: भुजाओं PQ, QR, RS और SP के मध्य-बिन्दु हैं। तब, ABCD एक समचतुर्भुज होगा, यदि PQRS के विकर्ण समान हों।
उपपत्ति माना PQRS के विकर्ण समान है, अर्थात्
PR = SQ
$\triangle$PSR में, मध्य-बिन्दु प्रमेय से
CD || PR तथा DC = $\frac{1}{2}$PR ...(i)
$\triangle$PQR में, मध्य-बिन्दु प्रमेय से
AB || PR तथा AB = $\frac{1}{2}$PR ...(ii)
समी (i) तथा (ii) से,
AB || DC तथा AB = DC = $\frac{1}{2}$SQ ...(iii)
इसी प्रकार, AD || BC तथा AD = BC = $\frac{1}{2}$SQ
चूँकि PR = SQ
तब, AD = BC = $\frac{1}{2}$PR ...(iv)
समी (iii) तथा (iv) से,
AB = BC = DC = AD
$\therefore$ ABCD एक समचतुर्भुज है।

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MCQ 61 Mark

चतुर्भुज $PQRS$, की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर बना चतुर्भुज एक आयत होता है, यदि

✓
$PQRS$ के विकर्ण परस्पर लंब हों
B
$PQRS$ के विकर्ण बराबर हों
C
$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है
D
$PQRS$ एक आयत है

Answer

Correct option: A.

$PQRS$ के विकर्ण परस्पर लंब हों

दिया है PQRS एक चतुर्भुज है। $A, B, C$ तथा $D$ क्रमशः भुजाओं $P Q, Q R, R S$ और $S P$ के मध्य-बिन्दु हैं। चतुर्भुज $A B C D$ एक आयत होगा, यदि PQRS के विकर्ण लंबवत् हों।
उपपत्ति यदि विकर्ण लंबवत् हो अर्थात् $S Q \perp P R$
तब, $\angle S O R=90^{\circ}$
$\triangle P Q R$ में, $C D \| P R$ तथा $C D=\frac{1}{2} P R$ (मध्य-बिन्दु प्रमेय से)
$A B \| P R$ तथा $A B=\frac{1}{2} P R$
$\therefore A B \| C D$ तथा $A D=B C$
अब, चतुर्भुज OECF में,
$CF \| OE$
$\therefore \angle EOF =\angle ECF =90^{\circ}$
अतः $A B C D$ एक आयत है।

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MCQ 71 Mark

$A B C D$ एक समचतुर्भुज है, जिसमें $\angle A C B=40^{\circ}$ है। तब $\angle A D B$ है

A
$45^{\circ}$
✓
$50^{\circ}$
C
$60^{\circ}$
D
$40^{\circ}$

Answer

Correct option: B.

$50^{\circ}$

दिया है, $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।
$\therefore A B=C D=B C=A D$
$\triangle A B C$ में, $A B=B C$
$\therefore \angle A C B=\angle C A B=40^{\circ}$
अब, $A B \| C D$ तथा एक तिर्यक रेखा $A C$ इन्हें प्रतिच्छेद करती है।
$\therefore \angle D C A=\angle C A B=40^{\circ}$
अब, $\angle C=\angle B C D=\angle B C A+\angle D C A$
$=40^{\circ}+40^{\circ}=80^{\circ}$
हम जानते हैं कि $\angle D+\angle C=180^{\circ}$ (अन्तः कोण)
$\Rightarrow \angle D =180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$
$\therefore \angle ADB =\frac{1}{2} \angle D=\frac{100^{\circ}}{2}=50^{\circ}$

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MCQ 81 Mark

एक आयत का एक विकर्ण उसकी एक भुजा से $25^{\circ}$ पर नत है। इसके विकर्णों के बीच का न्यून कोण है

A
$25^{\circ}$
B
$40^{\circ}$
C
$55^{\circ}$
✓
$50^{\circ}$

Answer

Correct option: D.

$50^{\circ}$

दिया है, $\angle A C D=25^{\circ}$
$\therefore \angle C A B=25^{\circ}$ (एकान्तर कोण से)
$\angle B C A=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}=\angle D A C$ (एकान्तर कोण से)
आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
$\therefore O D=O B$ तथा $O A=O C$
$\therefore \triangle ODC$ तथा $\triangle OAB$ सर्वांगसम हैं। (SSS नियम से)
तब $\angle O B A=25^{\circ}=\angle D C A$
अब, $\triangle A O B$ का बहिष्कोण $\angle A O D$ है।
$\therefore \angle A O D=\angle O A B+\angle O B A=25^{\circ}+25^{\circ}=50^{\circ}$

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MCQ 91 Mark

D और E क्रमशः $\triangle$ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु हैं। DE को F तक बढ़ाया जाता है। यह सिद्ध करने के लिए कि CF रेखाखंड DA के बराबर और समांतर है, हमें एक अतिरिक्त सूचना की आवश्यकता है, जो है

A
$\angle$DAE = $\angle$EFC
B
$\angle$ADE = $\angle$ECF
✓
DE = EF
D
AE = EF

Answer

Correct option: C.

DE = EF

दिया है D तथा E क्रमशः भुजाओं AB तथा AC के मध्य-बिन्दु हैं।
$\therefore$ AD = BD
AE = EC
सिद्ध करना है CF = DA तथा CF || DA
उपपत्ति यदि DE = EF
तब, $\triangle$ADE तथा $\triangle$CFE में, AE = CE
DE = EF
$\angle$AED = $\angle$FEC (शीर्षाभिमुख कोण)
$\therefore$ $\triangle A D E \cong \triangle C F E$ (SAS नियम से)
तब, AD = CF (CPCT द्वारा)
इसलिए, DE = EF अतिरिक्त सूचना है।

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MCQ 101 Mark

एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?

✓
सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते हैं
B
सम्मुख कोण बराबर होते हैं
C
सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
D
विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं

Answer

Correct option: A.

सम्मुख कोण विकर्णों से समद्विभाजित होते हैं

समान्तर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण विकणों से समद्विभाजित नहीं होते हैं।

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MCQ 111 Mark

समांतर चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ परस्पर बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle D A C=32^{\circ}$ और $\angle A O B=70^{\circ}$ हैं तो $\angle DBC$ बराबर है

A
$86^{\circ}$
B
$32^{\circ}$
C
$24^{\circ}$
✓
$38^{\circ}$

Answer

Correct option: D.

$38^{\circ}$

दिया है, $\angle A O B=70^{\circ}$
$\angle D A C=32^{\circ}$
$\therefore \angle A C B=32^{\circ}(\because A B \| C D$ तथा $A C$ एक तिर्यक रेखा है $)$ अब, $\angle B O C=180^{\circ}-\angle A O B(\because A C$ एक सरल रेखा है)
$=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$
अब, $\triangle BOC$ में, $\angle BOC =110^{\circ}$
$\therefore$ कोणों का योग $=180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle B O C+\angle B C O+\angle O B C=180^{\circ}$
$\Rightarrow 110^{\circ}+32^{\circ}+\angle O B C=180^{\circ}(\because \angle B C O=\angle B C A)$
$\Rightarrow \angle O B C=180^{\circ}-\left(110^{\circ}+32^{\circ}\right)=38^{\circ}$
$\therefore \angle D B C=\angle O B C=38^{\circ}$

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MCQ 121 Mark

एक चतुर्भुज $ABCD$ की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में, मिलाने पर प्राप्त आकृति केवल एक वर्ग है, यदि

✓
$ABCD$ के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं
B
$ABCD$ के विकर्ण बराबर हैं
C
$ABCD$ के विकर्ण परस्पर लंब हैं
D
$ABCD$ एक समचतुर्भुज है

Answer

Correct option: A.

$ABCD$ के विकर्ण बराबर हैं और परस्पर लंब हैं

दिया है $ABCD$ एक चतुर्भुज है तथा $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $AB, BC, CD$ और $DA$ के मध्य-बिन्दु हैं। तब $PQRS$ एक आयत है, यदि चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण बराबर तथा लंब हों।

उपपत्ति माना चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $B D$ तथा $A C$ इस प्रकार हैं कि $A C=B D$ तथा
$A C \perp B D$
अर्थात $\angle A O B-\angle B O C=\angle C O D=\angle A O D=90^{\circ}$
$\triangle A D C$ में, मध्य-बिन्दु प्रमेय से,
$S R \| A C$ तथा $S R=\frac{1}{2} A C \ldots$ (i)
$\triangle A B C$ में, मध्य-बिन्दु प्रमेय से,
$P Q \| A C$ तथा $P Q=\frac{1}{2} A C \ldots$ (ii)
समी (i) तथा (ii) से,
$S R \| P Q$ तथा $S R=P Q=\frac{1}{2} A C$
इसी प्रकार, $S P \| R Q$ तथा $S P=R Q=\frac{1}{2} B D$...(iii)
लेकिन $B D=A C$
$\therefore S R=R Q=\frac{1}{2} A C \ldots \text { (iv) }$
समी $(i)$ तथा $(ii)$ से,
$S R=P Q=S P=R Q \ldots(v)$
अब, चतुर्भुज $E O F R$ में, $O E \| F R$ तथा $O F \| E R$
$\therefore \angle E O F=\angle E R F=90^{\circ} \ldots(\text { vi })$
इस प्रकार, समी $(v)$ तथा $(vi)$ से $PQRS$ एक वर्ग है।

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MCQ 131 Mark

D और E क्रमशः $\triangle$ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु है तथा O भुजा BC पर कोई बिंदु है। O को A से मिलाया जाता है। यदि P और Q क्रमशः OB और OC के मध्य-बिंदु हैं, तो DEQP है एक

A
वर्ग
✓
समांतर चतुर्भुज
C
आयत
D
समचतुर्भुज

Answer

Correct option: B.

समांतर चतुर्भुज

D और E क्रमशः $\triangle$ABC की भुजाओं AB और AC के मध्य-बिन्दु हैं, तब
DE || BC (मध्य-बिन्दु प्रमेय से)
तथा DE = $\frac{1}{2}$BC
अब, $\triangle$AOC में, Q तथा E क्रमशः भुजा OC तथा AC के मध्य-बिन्दु हैं।
मध्य-बिन्दु प्रमेय से,
EQ || AO तथा EQ = $\frac{1}{2}$AO ...(i)
इसी प्रकार, $\triangle$ABO में
PD || AO तथा PD = $\frac{1}{2}$AO ...(ii) (मध्य-बिन्दु प्रमेय से)
समी (i) तथा (ii) से, EQ || PD तथा EQ = PD = $\frac{1}{2}$AO
अतः PDEQ एक समान्तर चतुर्भुज है।

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MCQ 141 Mark

एक चतुर्भुज के तीन कोण $75^{\circ}, 90^{\circ}$ और $75^{\circ}$ है। इसका चौथा कोण है

A
$90^{\circ}$
B
$105^{\circ}$
C
$95^{\circ}$
✓
$120^{\circ}$

Answer

Correct option: D.

$120^{\circ}$

हम जानते हैं कि चतुर्भुज के सभी कोणों का योग $=360^{\circ}$
$\therefore$ चौथा कोण $=360^{\circ}-\left(75^{\circ}+90^{\circ}+75^{\circ}\right)$
$=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}$

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MCQ 151 Mark

एक समांतर चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle B O C=90^{\circ}$ और $\angle B D C=50^{\circ}$ है, तो $\angle O A B$ है

A
$10^{\circ}$
✓
$40^{\circ}$
C
$50^{\circ}$
D
$90^{\circ}$

Answer

Correct option: B.

$40^{\circ}$

$\angle B O C+\angle C O D=180^{\circ}$ (रैखिक जोड़ी)
$\angle C O D=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$
त्रिभुज $D O C$ में, $\angle D O C+\angle D C O+\angle O D C=180^{\circ}$ (कोण योग गुण)
$90^{\circ}+\angle D C O+50=90^{\circ}$
$\angle D C O=180^{\circ}-140^{\circ}=40$
$\angle D C O=\angle O A B=40$ (वैकल्पिक कोण)

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