गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 5 अंक का हे)

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 3x + 3.5y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 240 ...(ii)
3x + 1.5y $\geq$ 270 ...(iii)
1.5x + 2y $\leq$ 310 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 240 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 240 में रखने पर
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 240 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 240 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 1.5y = 270 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 1.5y $\geq$ 270 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 1.5 $\times$ 0 $\geq$ 270 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 270 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 1.5x + 2y = 310 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 1.5x + 2y $\leq$ 310 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 310 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 310 (जोकि सत्य हैं)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
समीकरण 1.5x + 2y = 310 तथा x + 2y = 240 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(140, 50) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समीकरण 3x + 1.5y = 270 तथा 1.5x + 2y = 310, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 140) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(140, 50), B(20, 140) तथा C(40, 100) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का निम्नतम मान बिंदु C(40, 100) पर 470 प्राप्त होता है। बाग में नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा 470 किग्रा मिलाई जाने कि लिए, ब्रांड P के 40 थैलों तथा ब्रांड Q के 100 थैले का प्रयोग करना चाहिए।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 1000x + 600y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + y $\leq$ 200 ...(ii)
x $\geq$ 20 ...(iii)
y - 4x $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ y $\geq$ 4x ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम रेखा x + y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 200 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा y = 4x का ग्राफ खींचते हैं।

(10, 0) असमिका y $\geq$ 4x में रखने पर,
0 $\geq$ 4 $\times$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 40 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x = 20 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\geq$ 20 में रखने पर, 0 $\geq$ 20 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरणों को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(20, 80), B(40, 160) तथा C(20, 180) प्राप्त होते है, अतः सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिन्दु A(20, 80), B(40, 160) तथा C(20, 180) है। इन शीर्ष बिन्दुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान बिंदु B(40, 160) पर 136000 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लागत ₹136000 प्राप्त करने के लिए प्रथम श्रेणी के 40 टिकट तथा सस्ती श्रेणी के 160 टिकटों की आवश्यकता होगी।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 7.50x + 5y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
12x + 6y $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\leq$ 60 ...(ii)
18x $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ x $\leq$ 20 ...(iii)
6x + 9y $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y $\leq$ 120 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 60 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 60 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा 2x + 3y = 120 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + 3y $\leq$ 120 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 3 $\leq$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा x = 20 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 20 में रखने पर, 0 $\leq$ 20 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0
सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
समीकरण 2x + y = 60 तथा 2x + 3y = 120 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(15, 30) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समीकरण x = 20 तथा 2x + y = 60 का हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 20) प्राप्त होता है, अतः सुसंगत क्षेत्र OABCDO है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(20, 0), B(20, 20), C(15, 30) तथा D(0, 40) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान बिंदु C(15, 30) पर 721.5 प्राप्त होता है, अतः अधिकतम लागत 712.5 प्राप्त करने के लिए A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने बनाना चाहिए।

पेंच A के एक पैकेट पर ₹7 तथा पेंच B के एक पैकेट पर ₹10 का लाभ होता है।
हमको उद्देश्य फलन Z = 7x + 10y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
4x + 6y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y $\leq$ 120 ...(ii)
6x + 3y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\Leftrightarrow$ 80 ...(iii)
तथा x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + 3y = 120 का ग्राफ खींचते है।

(0, 0) असमिका 2x + 3y $\leq$ 120 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 120
$\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा 2x + y = 80 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 80 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 80 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 80 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण 2x + 3y = 120 तथा 2x + y = 80, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(30, 20) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(40, 0), B(30, 20) तथा C(0, 40) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः बिंदु B(30, 20) पर 2 का अधिकतम मान ₹410 है। अतः अधिकतम लाभ ₹410 प्राप्त करने के लिए कारखाना पेंच A के 30 पैकेट तथा पेंच B के 20 पैकेट उत्पादित करेगा।

हमको उद्देश्य फलन Z = x + y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
200x + 100y $\leq$ 5000 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\leq$ 50 ...(ii)
25x + 50y $\leq$ 1000
$\Leftrightarrow$ x + 2y $\leq$ 40 ...(iii)
तथा x, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 50 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 50 में रखने पर, 2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 50 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 50 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x + 2y = 40 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 40 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 40 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 40 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण 2x + y = 50
तथा x + 2y = 40 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 10) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(25, 0), B(20, 10) तथा C(0, 20) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

कुल केकों की संख्या 30 है, जहाँ 20 एक प्रकार के तथा 10 दूसरे प्रकार के केक हैं।

मिश्रण में कम-से-कम 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B होगा। अतः खरीदे गए भोज्य की कुल लागत Z = 60x + 80y है।
दी गई रैखिक प्रक्रमन का गणितीय रूप निम्न है।
हमको उद्देश्य फलन Z = 60x + 80y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
3x + 4y $\geq$ 8 ...(ii)
5x + 2y $\geq$ 11 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 4y = 8 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 4y $\geq$ 8 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 4 $\times$ 0 $\geq$ 8
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 8 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर स्थित है।
अब, रेखा 5x + 2y = 11 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 5x + 2y $\geq$ 11 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 11 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 11 (जो कि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर स्थित होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
समीकरण 3x + 4y = 8 तथा 5x + 2y = 11 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A$\left(\frac{8}{3}, 0\right),$ B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ तथा C$\left(0, \frac{11}{2}\right)$ है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 160 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए हम असमिका 60x + 80y < 160 या 3x + 4y < 8 का ग्राफ खींचते हैं तथा यह परीक्षण करते हैं कि इससे प्राप्त अर्द्धतल का सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं हैं, जोकि यहाँ नही है। अतः मिश्रण की निम्नतम लागत ₹ 160 है जोकि बिंदुओं A$\left(\frac{8}{3}, 0\right)$ तथा B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ को जोंड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होती है।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 5 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 5 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 5 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + 2y = 6 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 6
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, समीकरण -x + 2y = 1 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका -x + 2y > 1 में रखने पर,
-0 + 2 $\times$ 0 > 1 $\Rightarrow$ 0 > 1 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
चूँकि x $\geq$ 3, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
रेखा x = 3 तथा -x + 2y = 1 पर प्रतिच्छेद बिंदु C(3, 2) तथा रेखा x + 2y = 6 तथा x + y = 5 पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 1) है। स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(6, 0), B(4, 1) तथा C(3, 2) हैं तथा इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का अधिकतम मान 1 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है इसके लिए असमिका -x + 2y $\geq$ 1 का ग्राफ खींचते हैं तथा यह परीक्षण करते हैं कि इससे प्राप्त अर्द्धतल तथा सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नही है। यहाँ, प्राप्त अर्द्धतल तथा सुसंगत क्षेत्र में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, अतः Z = 1 अधिकतम मान नहीं है। अतः Z का कोई अधिकतम मान नहीं है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 100 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 100
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 100 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब, रेखा 2x - y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।

(5, 0) असमिका 2x - y $\leq$ 0 में रखने पर,
2 $\times$ 5 - 0 $\leq$ 0 $\Rightarrow$ 10 $\Rightarrow$ 0 (जोकि असत्य है)

अतः अर्द्धतल Y-अक्ष की ओर है।
अब, रेखा 2x + y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2 x + y $\leq$ 200 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है। समीकरण 2x - y = 0 तथा x + 2y = 100 हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B(20, 40) तथा समीकरण 2x - y = 0 तथा 2x + y = 200 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु C(50, 100) होता होता है।
अतः सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(0, 50), B(20, 40), C(50, 100) तथा D(0, 200) हैं। इन शीर्ष बिंन्दुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का अधिकतम मान 400 है जोकि D(0, 200) पर प्राप्त होता है तथा Z का निम्नतम मान 100 है जोकि बिंदुओं A(0, 50) तथा B(20, 40) को जोड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 120 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अब, रेखा x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 60 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 60 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब, रेखा x - 2y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।

(5, 0) असमिका x - 2y $\geq$ 0 में रखने पर,
5 - 2 $\times$ 0 $\geq$ 0 $\Rightarrow$ 5 $\geq$ 0 (जोकि सत्य है)
जोकि X-अक्ष के ऊपर है। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
समीकरण x - 2y = 0 तथा x +y = 60 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु D(40, 20) तथा
समीकरण x - 2y = 0 तथा x + 2y = 120 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(60, 30) प्राप्त होता है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(60, 0), B(120, 0), C(60, 30) तथा D(40, 20) हैं। इन बिंदुओं पर Z का मान निम्न हैं।

Z का निम्नतम मान 300 है जोकि बिंदु (60, 0) पर प्राप्त होता है। तथा Z का अधिकतम मान 600 है जोकि बिंदु (120, 0) तथा (60, 30) को जोड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका 2x + y $\geq$ 3 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 3
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 3 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
अब, रेखा x + 2y = 6 का ग्राफ खींचते है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 6 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब रेखा x + 2y = 6 तथा 2x + y = 3 का प्रतिच्छेद बिंदु B(0, 3) है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(6, 0) तथा B(0, 3) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

यहाँ, बिंदु A तथा B पर Z का मान समान है। यदि रेखा x + 2y = 6 पर बिंदु (2, 2) रखे, तो Z = 6 प्राप्त होता है, अतः Z का निम्नतम मान दो या दो से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त होता है। अतः Z का निम्नतम मान रेखा x + 2y = 6 के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 10 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 10 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0,
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में हैं।
अब, रेखा 3x + y = 15 का ग्राफ खींचते है।

(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 15 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 15 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 15 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है
समीकरण x + 2y = 10 तथा 3x + y = 15 को हल करने पर, x = 4 तथा y = 3 प्राप्त होते हैं।
$\therefore$ प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 3) है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(5, 0), B(4, 3) तथा C(0, 5) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान 7 है जोकि बिंदु B(4, 3) पर है।

(0, 0) असमिका x + 3y $\geq$ 0, में रखने पर,
0 + 3 $\times$ 0 $\geq$ 3 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 3 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है। चूँकि बिंदु x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा x + y = 2 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 2, में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 2 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 2 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है। स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
समीकरण x + y = 2 तथा x + 3y = 3 को हल करने पर, x = $\frac{3}{2}$ तथा y = $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\therefore$ प्रतिच्छेद बिंदु B$\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(3, 0), B$\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ तथा C(0, 2) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबंद्ध है। अतः Z का निम्नतम मान 7 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। असमिका 3x + 5y < 7 का ग्राफ खींचकर देखते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल तथा सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं।
अतः सुसंगत क्षेत्र में 3x + 5y < 7 के अर्द्धतल में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः Z का निम्नतम मान 7 है जोकि बिंदु $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका 3x + 5y $\leq$ 15 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 5 $\times$ 0 $\leq$ 15 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 15 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र पथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा 5x + 2y = 10 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 5x + 2y $\leq$ 10 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 10 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर हैं।
समीकरण 3x + 5y = 15 तथा 5x + 2y = 10 को हल करने पर,
x = $\frac{20}{19}$ तथा y = $\frac{45}{19}$ प्राप्त होता हैं।
अतः बिंदु B के निर्देशांक $\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ हैं।
अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(2, 0), B$\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ तथा C(0, 3) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान $\frac{235}{19}$ है जोकि बिंदु $B\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ पर प्राप्त होता है।

सारणी से, हम Z का मान बिंदु (15, 20) पर न्यूनतम पाते हैं। अतः समस्या में प्रदत्त व्यवरोधों के आधीन विटामिन A का मान न्यूनतम तब होगा जबकि भोज्य P के 15 पैकेट और भोज्य Q के 20 पैकेट का उपयोग विशेष आहार के प्रबंध में किया जाय। विटामिन A का न्यूनतम मान 150 मात्र का होगा।

हम शीर्ष B (12, 6) पर Z का अधिकतम मान ₹1,68,000 पाते हैं। अतः कंपनी को नमूना A के 12 नग तथा नमूना B के 6 नगों के उत्पादन पर अधिकतम लाभ कमाने के लिए करना चाहिए और अधिकतम लाभ ₹1,68,000 होगा।

चूँकि मिश्रण में विटामिन A की कम से कम 8 मात्रक और विटामिन C के 10 मात्रक होने चाहिए, अतः निम्नलिखित व्यवरोध प्राप्त होते हैं
2x + y $\geq$ 8
x + 2y $\geq$ 10
भोज्य I के x kg और भोज्य II के y kg खरीदने का कुल मूल्य Z है जहाँ
Z = 50x + 70y
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
2x + y $\geq$ 8 ...(i)
x + 2y $\geq$ 10 ...(ii)
x, y $\geq$ 0 ...(iii)
Z = 50x + 70y का न्यूनतमीकरण कीजिए
असमीकरणों (i) से (iii) तक के आलेखों द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र को आकृति में दिखाया गया है।

यहाँ हम देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
हमें कोनीय बिंदुओं A(0, 8), B(2, 4) और C(10, 0) पर Z का मान ज्ञात करना है।
सारणी में, बिंदु (2, 4) पर Z का सबसे कम मान 380 है, क्या हम कह सकते हैं कि Z का न्यूनतम मान 380 है (क्यों?) याद कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। इसलिए हमें निम्नलिखित असमीकरण का आलेख खींचना पड़ेगा।
50x + 70y < 380
अर्थात् 5x + 7y < 38
जाँच करने के लिए कि क्या असमीकरण द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्धतल, सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु रखता है। आकृति में हम देखते हैं कि यहाँ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः, बिंदु (2, 4) पर Z का प्राप्त न्यूनतम मान 380 है। इसलिए आहार विज्ञानी की इष्टतम मिश्रण योजना भोज्य 'I' की 2 kg और भोज्य 'II' के 4 kg के मिश्रण बनाने की हो सकती है और इस योजना के अंतर्गत मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ₹ 380 होगा।

इस सारणी से हम ज्ञात करते हैं कि कोनीय बिंदु (6, 0) पर Z का सबसे कम मान -300 है। क्या हम कह सकते हैं कि Z का न्यूनतम मान -300 है? ध्यान दीजिए कि यदि क्षेत्र परिबद्ध होता तो यह Z का सबसे कम मान होता। लेकिन हम यहाँ देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। इसलिए -300, Z का न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी। इस समस्या का निष्कर्ष ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित असमीकरण का आलेख खींचते हैं:
-50x + 20y < -300
अर्थात् -5x + 2y < -30
और जाँच कीजिए कि आलेख द्वारा प्राप्त खुले अर्धतल व सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ बिंदु हैं या नहीं है। यदि इसमें उभयनिष्ठ बिंदु हैं, तब Z का न्यूनतम मान -300 नहीं होगा। अन्यथा, Z का न्यूनतम मान -300 होगा।
जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इसलिए, Z = -50x + 20y, का प्रदत्त व्यवरोधों के परिप्रेक्ष्य में न्यूनतम मान नहीं है।

सारणी से ज्ञात होता है कि बिंदु (0, 5) पर Z का न्यूनतम मान 1550 है।
अतः इष्टतम परिवहन स्थिति के अनुसार कारखाना P से 5, 0 और 3 नग और कारखाने Q से क्रमशः डिपो A, B और C तक 5,0 और 1 नग भेजा जाएगा। इसी स्थिति के संगत न्यूनतम परिवहन व्यय ₹1550 होगा।

हम देखते हैं कि बिंदु (4, 4) Z का अधिकतम मान है। अतः उत्पादक को अधिकतम ₹4000 लाभ कमाने के लिए प्रत्येक उत्पाद के 4 नगों का उत्पादन करना चाहिए।