प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

Question 11 Mark

सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x - 3, x = 0, x = -3 तथा x = 5 पर संतत है।

Answer

यहाँ, f(x) = 5x - 3
x = 0 पर, $ \lim \limits_{x \rightarrow 0}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 0}$ (5x - 3) = 5 $\times$ 0 - 3 = 0 - 3 = - 3
तथा f(0) = 5 $\times$ 0 - 3 = - 3
$\therefore$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ = f(0)
अतः f(x), x = 0 पर सतत् है।
x = -3 पर, $ \lim \limits_{x \rightarrow-3}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow-3}(5 x-3)$ = 5 $\times$(- 3) - 3 = -15 - 3 = -18
तथा f(- 3) = 5x - 3 - 3 = - 18
$\therefore $ $ \lim \limits_{x \rightarrow-3}$ f(x) = f(- 3)
अतः f(x), x = - 3 पर सतत् है।
x = 5 पर,$ \lim \limits_{x \rightarrow 5} f(x)$ = $\lim \limits_{x \rightarrow 5}$ (5x - 3) = 5 $\times$ 5 - 3 = 25 - 3 = 22
f(5) = 5 $\times$ 5 - 3 = 25 - 3 = 22
$\lim \limits_{x \rightarrow 5} $ f(x) = f(5)
तथा f(5) = 5 $\times$ 5 - 3 = 25 - 3 = 22
$\therefore$ $\lim \limits_{x \rightarrow 5}$ f(x) = f(5)
अतः f(x), x = 5 पर सतत् है।

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Question 21 Mark

यदि $x = at^2, y = 2at$ है तो $ \frac{d y}{d x} $ ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया है कि $x = at^2, y = 2at$
इसलिए $\frac{d x}{d t} = 2at$ तथा $ \frac{d y}{d t}= 2a$
अतः $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$ = $\frac{2 a}{2 a t}$ = $\frac{1}{t} $

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Question 31 Mark

यदि x = a cos $\theta$, y = a sin $\theta$, तो $ \frac{d y}{d x} $ ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया है कि
x = a cos $\theta$, y = a sin $\theta$
इसलिए $\frac{d x}{d \theta}$ = -a sin $\theta$, $\frac{d y}{d \theta}$ = a cos $\theta$
अतः $\frac{d y}{d x}$ = $\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}$ = $\frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta}$ = - cot $\theta$

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Question 41 Mark

$x$ के सापेक्ष $e^{-x}$ का अवकलन कीजिए।

Answer

मान लीजिए $y = e^{-x}$है। अब शृंखला नियम के प्रयोग द्वारा
$\frac{d y}{d x} = e^{-x} \cdot \frac{d}{d x}(-x) = - e^{-x}$

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Question 51 Mark

यदि x - y = $ \pi $ तो $ \frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।

Answer

एक विधि यह है कि हम y के लिए सरल करके उपर्युक्त संबंध को निम्न प्रकार लिखें यथा
y = x - $ \pi$
तब $ \frac{d y}{d x}$ = 1

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Question 61 Mark

$\tan (2x + 3)$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

Answer

मान लीजिए कि$ f(x) = \tan (2x + 3), u(x) = 2x + 3 $ तथा $v(t) = \tan t$ है।
$(v\ o\ u)(x) = v(u(x)) = v(2x + 3) = \tan (2x + 3) = f(x)$
इस प्रकार f दो फलनों का संयोजन है। यदि$ t = u(x) = 2x + 3 \cdot$ तो $\frac{d v}{d t} = \sec ^{2}$ t तथा $\frac{d t}{d x} = 2$ तथा दोनों का ही अस्तित्व है। अतः शृंखला नियम द्वारा
$\frac{d f}{d x} = \frac{d v}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = 2 \sec^2(2x + 3)$

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Question 71 Mark

जाँचिए कि क्या फलन $f(x) = x^2, x = 0$ पर संतत है?

Answer

ध्यान दीजिए कि प्रदत्त बिंदु $x = 0$ पर फलन परिभाषित है और इसका मान $0$ है। अब $ x = 0 $ पर फलन की सीमा निकालते हैं। स्पष्टतया
$\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^2 = 0^2 = 0$
इस प्रकार $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x) = 0 = f(0)$
अतः $x = 0$ पर $f$ संतत है।

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Question 81 Mark

x = 1 पर फलन f(x) = 2x + 3 के सांतत्य की जाँच कीजिए।

Answer

पहले यह ध्यान दीजिए कि फलन, x = 1 पर परिभाषित है और इसका मान 5 है। अब फलन की x = 1 पर सीमा ज्ञात करते हैं। स्पष्ट है कि
$\lim \limits_{x \rightarrow 1} $f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 1}$ (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5 है।
अतः $\lim \limits_{x \rightarrow 1}$ f(x) = 5 = f(1)
अतएव x = 1 पर f संतत है।

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

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