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STD 11 - 8. sequence and series — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 11 - 8. sequence and series4 Marks
Question
$1 + 3 + 7 + 15 + 31 + ..........$ $n$ पदों तक =
✓

Answer

b
(b) माना ${T_n}$,  $n$ वाँ पद है एवं $S, n$ पदों तक का योग है

$S = 1 + 3 + 7 + 15 + 31 + ...... + {T_n}$

पुन: $S = {\rm{       }}1 + 3 + 7 + 15 + ...........{\rm{  }} + {T_{n - 1}} + {T_n}$

घटाने पर, $0 = 1 + \left\{ {2 + 4 + 8 + ...({T_n} - {T_{n - 1}})} \right\} - {T_n}$

$\therefore \;\;{T_n} = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + .....\;n$ पदों तक

 ${T_n} = \frac{{1({2^n} - 1)}}{{2 - 1}} = {2^n} - 1$

अब, $S = \Sigma {T_n} = \Sigma {2^n} - \Sigma 1$

 $S = (2 + {2^2} + {2^3} + ...... + {2^n}) - n$

  $S = 2\left( {\frac{{{2^n} - 1}}{{2 - 1}}} \right) - n = {2^{n + 1}} - 2 - n$.

वैकल्पिक : $1 + 3 + 7 + ...... + {T_n}$

$ = 2 - 1 + {2^2} - 1 + {2^3} - 1 + .......... + {2^n} - 1$

  $ = (2 + {2^2} + ...... + {2^n}) - n = {2^{n + 1}} - 2 - n$.

ट्रिक : $n = 1,\;2$ के लिए परीक्षण करें ।

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