$2x - y + 3z - 1 = 0$ और $2x - y + 3z + 3 = 0$ में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Exercise-11.3-13(4)
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दिए गए समतल निम्न हैं
$2x - y + 3z - 1 = 0$ और $2x - y + 3z + 3 = 0$
यहाँ, $a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 3$
$\therefore a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 2 \times 2 + (-1) \times (-1) + 3 \times 3$
$= 4 + 1 + 9 = 14 \neq 0$
अतः दिए गए समतल लंबवत् नहीं हैं।
अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{2}=1, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-1}=1, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{3}{3}=1$
स्पष्ट है कि $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिए गए समतल समांतर है।
$2x - y + 3z - 1 = 0$ और $2x - y + 3z + 3 = 0$
यहाँ, $a_1 = 2, b_1 = -1, c_1 = 3$ और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 3$
$\therefore a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 2 \times 2 + (-1) \times (-1) + 3 \times 3$
$= 4 + 1 + 9 = 14 \neq 0$
अतः दिए गए समतल लंबवत् नहीं हैं।
अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{2}=1, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-1}{-1}=1, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{3}{3}=1$
स्पष्ट है कि $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिए गए समतल समांतर है।
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