$7x + 5y + 6z + 30 = 0$ और $3x - y - 10z + 4 = 0$ में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समांतर है अथवा लंबवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समांतर है और न ही लंबवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Exercise-11.3-13(1)
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दिए गए समतल निम्न हैं,
$7x + 5y + 6z + 30 = 0$ और $3x - y - 10z + 4 = 0$
यहाँ, $a_1 = 7, b_1 = 5, c_1 = 6$ और $a_2 = 3, b_2 = -1, c_2 = -10$
$\therefore a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 7 \times 3 + 5 \times (-1) + 6 \times (-10)$
$= 21 - 5 - 60 = -44 \neq 0$
अतः दिए गए समतल लंबवत् नहीं हैं।
अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{7}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{-1} = -5, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{6}{-10}=\frac{-3}{5}$
स्पष्ट है कि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिए गए समतल समांतर नहीं हैं।
माना दोनों समतलों के बीच का न्यून कोण $\theta$ है, तब
$\cos \theta = \left|\frac{7 \times 3+5 \times(-1)+6 \times(-10)}{\sqrt{7^{2}+5^{2}+6^{2}} \sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+(-10)^{2}}}\right|=\left|\frac{21-5-60}{\sqrt{110} \sqrt{110}}\right|$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{44}{110}=\frac{2}{5}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)$
अतः दिए गए समतलों के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)$ है।
$7x + 5y + 6z + 30 = 0$ और $3x - y - 10z + 4 = 0$
यहाँ, $a_1 = 7, b_1 = 5, c_1 = 6$ और $a_2 = 3, b_2 = -1, c_2 = -10$
$\therefore a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 7 \times 3 + 5 \times (-1) + 6 \times (-10)$
$= 21 - 5 - 60 = -44 \neq 0$
अतः दिए गए समतल लंबवत् नहीं हैं।
अब $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{7}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{-1} = -5, \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{6}{-10}=\frac{-3}{5}$
स्पष्ट है कि $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिए गए समतल समांतर नहीं हैं।
माना दोनों समतलों के बीच का न्यून कोण $\theta$ है, तब
$\cos \theta = \left|\frac{7 \times 3+5 \times(-1)+6 \times(-10)}{\sqrt{7^{2}+5^{2}+6^{2}} \sqrt{3^{2}+(-1)^{2}+(-10)^{2}}}\right|=\left|\frac{21-5-60}{\sqrt{110} \sqrt{110}}\right|$
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{44}{110}=\frac{2}{5}$
$\Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)$
अतः दिए गए समतलों के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)$ है।
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