ધારો કે $A=\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$. જો બે શ્રેણિકો $M$ અને $N$ એ $M =\sum \limits_{ k =1}^{10} A ^{2 k }$ અને $N =\sum \limits_{ k =1}^{10} A ^{2 k -1}$ પ્રમાણે આપેલા હોય, તો $MN ^{2}$ એ........
JEE MAIN 2022, Medium
Download our app for free and get started
$A =\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$
$A ^{2}=\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-4 & 0 \\ 0 & -4\end{array}\right]=-4 I$
$A ^{3}=-4 A$
$A ^{4}=(-4 I )(-4 I )=(-4)^{2} I$
$A ^{5}=(-4)^{2} A , A ^{6}=(-4)^{3} I$
$M=\sum \limits_{ k =1}^{10} A ^{2 k }= A ^{2}+ A ^{4}+\ldots .+ A ^{20}$
$=\left[-4+(-4)^{2}+(-4)^{3}+\ldots+(-4)^{20}\right] I$
$=-4 \lambda I$
$\Rightarrow \quad M$ is symmetric matrix
$N =\sum \limits_{ k =1}^{10} A ^{2 k -1}= A + A ^{3}+\ldots \ldots+ A ^{19}$
$= A \left[1+(-4)+(-4)^{2}+\ldots .+(-4)^{9}\right]$
$=\lambda A \Rightarrow \text { skew symmetric }$
$\Rightarrow N ^{2} \text { is symmetric matrix }$
$\Rightarrow MN ^{2}$ is non identity symmetric matrix
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1જો સમીકરણોની સંહતિ $kx + 2y - z = 2,\left( {k - 1} \right)x + ky + z = 1,x + \left( {k - 1} \right)y + kz = 3$ ને માત્ર એકજ ઉકેલ હોય તો $k$ ની શક્ય વાસ્તવિક કિમંતોની સંખ્યા મેળવો.View Solution
- 2જો $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે કે જેથી $B^2 = 0$, તો $|( I+ B)^{50} -50B|$ = . . .View Solution
- 3જો $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}&1\\2&1&{ - 3}\\1&1&1\end{array}} \right)$ અને $(10)B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}4&2&2\\{ - 5}&0&\alpha \\1&{ - 2}&3\end{array}} \right)$. જો $ B$ એ $A $ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક હોય , તો $\alpha $ મેળવો.View Solution
- 4જો $ a, b $ અને $c $ એ શૂન્યતર સંખ્યા હોય , તો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2}{c^2}}&{bc}&{b + c}\\{{c^2}{a^2}}&{ca}&{c + a}\\{{a^2}{b^2}}&{ab}&{a + b}\end{array}\,} \right|= .. . .$View Solution
- 5જો $\left| \begin{gathered}View Solution
- 6\ \ \,\,1\ \ \,\,\lambda \ \ \hfill \\
\,0\ \ \,\,\,\,3\ \ \,\,7\ \ \hfill \\
- 1\ \ \,\,0\ \ \,\,5\ \ \hfill \\
\end{gathered} \right| = 5948 $, તો $\lambda $ મેળવો. - 6$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}View Solution
{4 + {x^2}}&{ - 6}&{ - 2}\\
{ - 6}&{9 + {x^2}}&3\\
{ - 2}&3&{1 + {x^2}}
\end{array}} \right|$ $;(x\neq0)$ એ . . . વડે વિભાજ્ય નથી . - 7જો $x + y - z = 0,\,3x - \alpha y - 3z = 0,\,\,x - 3y + z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય, તો $\alpha$ ની કિમત મેળવો.View Solution
- 8જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 5}\\{ - 4}&2\end{array}} \right],$ તો ${A^2} - 5A = $View Solution
- 9જો ${a_1},{a_2},{a_3},........,{a_n},......$ એ સમગુણોતર શ્રેણીમાં હોય અને દરેક $i$ માટે ${a_i} > 0$ તો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{\log {a_n}}&{\log {a_{n + 2}}}&{\log {a_{n + 4}}}\\{\log {a_{n + 6}}}&{\log {a_{n + 8}}}&{\log {a_{n + 10}}}\\{\log {a_{n + 12}}}&{\log {a_{n + 14}}}&{\log {a_{n + 16}}}\end{array}} \right|= . . . $View Solution
- 10જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5&2\\3&1\end{array}} \right],$ તો ${A^{ - 1}}$=View Solution