STD 11 - 4.1 complex nubers — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

अब $1 + i = r(\cos \theta  + i\sin \theta ) \Rightarrow r\cos \theta  = 1,r\sin \theta  = 1$

 $⇒ r = \sqrt 2 ,\theta  = \pi /4$

 $\therefore $  $1 + i = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)$

$ \Rightarrow \,$ $\frac{1}{2}\,{(1 + i)^2} = \frac{1}{2}\,.\,2\,{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\,\sin \frac{\pi }{4}} \right)^2}$

डी मोयवर प्रमेय से, $\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right)$

अत: कोणांक $\frac{\pi }{2}$ एवं मापांक $1$ है

 ट्रिक : $arg{\rm{ }}\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right) = arg(1 + i) - arg(1 - i)$

  $ = {45^o} - ( - {45^o}) = {90^o}$

  $\left| {\,\frac{{1 + i}}{{1 - i}}\,} \right|\, = \frac{{\left| {\,1 + i\,} \right|}}{{\left| {\,1 - i\,} \right|}}\, = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 1$.