दो रेडियोधर्मी पदार्थों $A$ और $B$ के क्षय नियतांक क्रमशः $5 \lambda$ और $\lambda$ हैं। समय $t=0$ पर उनके नाभिकों की संख्याएँ समान हैं। किस समय अन्तराल के पश्चात $A$ और $B$ की संख्याओं का अनुपात $(1 / e )^2$ होगा?
[2007]
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माना कि $A$ तथा $B$ के नाभिकों का अनुपात $t$ समय के बाद $\left(\frac{1}{ e }\right)^2$ होता है। अतः
$ \frac{\left( N _{ t }\right)_{ A }}{\left( N _{ t }\right)_{ B }}=\left(\frac{1}{ e }\right)^2 \ or \ \frac{ N _0 e ^{-\lambda_{ A } t }}{ N _0 e ^{-\lambda_{ B } t }}=\left(\frac{1}{ e }\right)^2 $
$[ N _0$ दोनों पदार्थों $A$ एवं $B$ में $t =0$ पर नाभिकों की संख्या है $]$
$ e ^{-\left(\lambda_A-\lambda_B\right) t}= e ^{-2}$
$\Rightarrow\left(\lambda_A-\lambda_B\right) t=2$
$(5 \lambda-\lambda) t=2$
$\therefore t =\frac{1}{2 \lambda} $
$ \frac{\left( N _{ t }\right)_{ A }}{\left( N _{ t }\right)_{ B }}=\left(\frac{1}{ e }\right)^2 \ or \ \frac{ N _0 e ^{-\lambda_{ A } t }}{ N _0 e ^{-\lambda_{ B } t }}=\left(\frac{1}{ e }\right)^2 $
$[ N _0$ दोनों पदार्थों $A$ एवं $B$ में $t =0$ पर नाभिकों की संख्या है $]$
$ e ^{-\left(\lambda_A-\lambda_B\right) t}= e ^{-2}$
$\Rightarrow\left(\lambda_A-\lambda_B\right) t=2$
$(5 \lambda-\lambda) t=2$
$\therefore t =\frac{1}{2 \lambda} $
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