We know that, $\mathrm{P}_{\mathrm{A}}^{\prime}=\mathrm{P}_{\mathrm{A}} \mathrm{x}_{\mathrm{A}}$

$\mathrm{P}_{\mathrm{B}}^{\prime}=\mathrm{P}_{\mathrm{B}} \mathrm{x}_{\mathrm{B}}$

substituting the values of $\mathrm{P}_{\mathrm{A}}^{\prime}$ and $\mathrm{P}_{\mathrm{B}}^{\prime}$ in eq. (i)

$\mathrm{P}_{\mathrm{T}}=\mathrm{P}_{\mathrm{A}} \mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{P}_{\mathrm{B}} \mathrm{x}_{\mathrm{B}}$

$\left[\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}=1\right.$

$\left.x_{A}=1-x_{B} \text { or } x_{B}=1-x_{A}\right]$

$=\mathrm{P}_{\mathrm{A}} \mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{P}_{\mathrm{B}}\left(1-\mathrm{x}_{\mathrm{A}}\right)$

$\left.=P_{A} x_{A}+P_{B} \cdot P_{B} x_{A}\right)$

$\mathrm{P}_{\mathrm{T}}=\mathrm{P}_{\mathrm{B}}+\mathrm{x}_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{P}_{\mathrm{A}}-\mathrm{P}_{\mathrm{B}}\right)$