एक थैले में $4$ सफेद व $3$ काली गेंदें हैं। दूसरे थैले में $3$ सफेद व $4$ काली गेंदें हैं। यदि एक गेंद उठाई जाये और वह काली निकले तो इस काली गेंद के दूसरे थैले से निकलने की प्रायिकता है$-$
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$(D) \frac{4}{7}$
माना $E_1 =$ पहले थैले से गेंद निकालने की घटना
$E_2 =$ दूसरे थैले से गेंद निकालने की घटना
$\therefore P \left( E _1\right)=\frac{1}{2}$ तथा $P \left( E _2\right)=\frac{1}{2}$
पहले थैले में कुल गेंदे
$= 4 + 3 =7$
और काली गेंदों की संख्या
$=3$
इसलिए पहले थैले से एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता
$P\left(\frac{A}{E_1}\right)=\frac{{ }^3 C_1}{{ }^7 C_1}=\frac{3}{7}$
दूसरे थैले से एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता
$P\left(\frac{A}{E_2}\right)=\frac{{ }^4 C_1}{{ }^7 C_1}=\frac{4}{7}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता
$P\left(\frac{E_2}{A}\right)=\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(A / E_2\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(A / E_1\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(A / E_2\right)}$
$=\frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{7}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7}}=\frac{4 / 7}{\frac{3}{7}+4 / 7}$
$=\frac{4}{7}$
अतः सही विकल्प $(D)$ है।
माना $E_1 =$ पहले थैले से गेंद निकालने की घटना
$E_2 =$ दूसरे थैले से गेंद निकालने की घटना
$\therefore P \left( E _1\right)=\frac{1}{2}$ तथा $P \left( E _2\right)=\frac{1}{2}$
पहले थैले में कुल गेंदे
$= 4 + 3 =7$
और काली गेंदों की संख्या
$=3$
इसलिए पहले थैले से एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता
$P\left(\frac{A}{E_1}\right)=\frac{{ }^3 C_1}{{ }^7 C_1}=\frac{3}{7}$
दूसरे थैले से एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता
$P\left(\frac{A}{E_2}\right)=\frac{{ }^4 C_1}{{ }^7 C_1}=\frac{4}{7}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता
$P\left(\frac{E_2}{A}\right)=\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(A / E_2\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(A / E_1\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(A / E_2\right)}$
$=\frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{7}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7}}=\frac{4 / 7}{\frac{3}{7}+4 / 7}$
$=\frac{4}{7}$
अतः सही विकल्प $(D)$ है।
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