एक वलय, एक तार जिसका प्रतिरोध $R_0=12 \Omega$ से बना है। इस वलय में ऐसे किन दो बिन्दुओं $A$ और $B$ जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, पर धारावाही चालक को जोड़ा जाय ताकि, इन दो बिन्दुओं के बीच उप परिपथ का प्रतिरोध $R =\frac{8}{3} \Omega$ हो।
[2012]
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माना $x$ प्रति एकांक लम्बाई का प्रतिरोध है, तब
समतुल्य प्रतिरोध $R=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$
$ \frac{\left(x_1 l_1\right)\left(x_2 l_2\right)}{x l_1+x l_2} $
$ \Rightarrow \frac{8}{3}=x \frac{l_1 l_2}{l_1+l_2}$
$\frac{8}{3}=x \frac{I_1}{\frac{I_1}{I_2}+1}$
$R_0=x I_1+x I_2$
$12=x\left(l_1+l_2\right)$
$12=x l_2\left(\frac{l_1}{l_2}+1\right)$
$\frac{\text { (i) }}{\text { (ii) }}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{12}{1}}=\frac{\frac{x l_1}{\left(\frac{l_1}{l_2}+1\right)}}{x l_2\left(\frac{l_1}{l_2}+1\right)}=\frac{l_1}{l_2\left(\frac{l_1}{I_2}+1\right)^2}$
$\left(\frac{l_1}{l_2}+1\right)^2 \times \frac{8}{36}=\frac{l_1}{l_2}$
$\left(y^2+1+2 y\right) \times \frac{8}{36}=y $
जहाँ $(y=\frac{l_1}{l_2})$
$8 y^2+8+16 y=36 y$
$\Rightarrow 8 y^2-20 y+8=0$
$\Rightarrow 2 y^2-5 y+2=0$
$\Rightarrow 2 y^2-4 y-y+2=0$
$\Rightarrow 2 y(y-2)-1(y-2)=0$
$\Rightarrow(2 y-1)(y-2)=0$
$\Rightarrow y=\frac{l_1}{l_2}=\frac{1}{2} $ बा $ 2$
समतुल्य प्रतिरोध $R=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}$
$ \frac{\left(x_1 l_1\right)\left(x_2 l_2\right)}{x l_1+x l_2} $
$ \Rightarrow \frac{8}{3}=x \frac{l_1 l_2}{l_1+l_2}$
$\frac{8}{3}=x \frac{I_1}{\frac{I_1}{I_2}+1}$
$R_0=x I_1+x I_2$
$12=x\left(l_1+l_2\right)$
$12=x l_2\left(\frac{l_1}{l_2}+1\right)$
$\frac{\text { (i) }}{\text { (ii) }}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{12}{1}}=\frac{\frac{x l_1}{\left(\frac{l_1}{l_2}+1\right)}}{x l_2\left(\frac{l_1}{l_2}+1\right)}=\frac{l_1}{l_2\left(\frac{l_1}{I_2}+1\right)^2}$
$\left(\frac{l_1}{l_2}+1\right)^2 \times \frac{8}{36}=\frac{l_1}{l_2}$
$\left(y^2+1+2 y\right) \times \frac{8}{36}=y $
जहाँ $(y=\frac{l_1}{l_2})$
$8 y^2+8+16 y=36 y$
$\Rightarrow 8 y^2-20 y+8=0$
$\Rightarrow 2 y^2-5 y+2=0$
$\Rightarrow 2 y^2-4 y-y+2=0$
$\Rightarrow 2 y(y-2)-1(y-2)=0$
$\Rightarrow(2 y-1)(y-2)=0$
$\Rightarrow y=\frac{l_1}{l_2}=\frac{1}{2} $ बा $ 2$
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