फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$
Exercise-7.4-20
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$x+2=A \frac{d}{d x}\left(4 x-x^{2}\right) + B $
$\Rightarrow x + 2 = A(4 − 2x) + B$
$\Rightarrow x + 2 = - 2Ax + 4A + B$
दोनों ओर $x$ और अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$− 2A = 1 \Rightarrow A=-\frac{1}{2}$ तथा $4A + B = 2 \Rightarrow B = 4$
$\Rightarrow (x + 2) = −\frac{1}{2}(4 − 2x) + 4$
$\therefore \int \frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x $
$=\int \frac{-\frac{1}{2}(4-2 x)+4}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x $
$=-\frac{1}{2} \int \frac{4-2 x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x +4 \int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$
माना $I_{1}=\int \frac{4-2 x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x$ तथा $I_{2}=\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$
तब $\int \frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x =-\frac{1}{2} l_{1}+4 l_{2} ...(i)$
अब,$ l_{1}=\int \frac{4-2 x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x$
माना $4 x-x^{2}=t \Rightarrow(4-2 x) d x =d t$
$\Rightarrow I_{1}=\int \frac{d t}{\sqrt{t}} =2 \sqrt{t}+C_{1}=2 \sqrt{4 x-x^{2}} + C_1 ...(ii)$
और$ I_{2}=\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} [\because 4x − x^{2 }= −(x^{2 }− 4x) = −{(x − 2)^{2 }− 4} = (2)^{2 }− (x − 2)^2]$
$\therefore I_{2}=\int \frac{1}{\sqrt{(2)^{2}-(x-2)^{2}}} d x =\sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)+C_{2} ...(iii) [\because \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)]$
समी $(i)$ में समी $(ii)$ और $(iii)$ से $I_1$ और $I_2$ का मान रखने पर,
$\int \frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x $
$=-\frac{1}{2}\left(2 \sqrt{4 x-x^{2}}\right) +4 \sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)+C \left(\because-\frac{1}{2} C_{1}+4 C_{2}=C\right)$
$=-\sqrt{4 x-x^{2}} +4 \sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C$
$\Rightarrow x + 2 = A(4 − 2x) + B$
$\Rightarrow x + 2 = - 2Ax + 4A + B$
दोनों ओर $x$ और अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$− 2A = 1 \Rightarrow A=-\frac{1}{2}$ तथा $4A + B = 2 \Rightarrow B = 4$
$\Rightarrow (x + 2) = −\frac{1}{2}(4 − 2x) + 4$
$\therefore \int \frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x $
$=\int \frac{-\frac{1}{2}(4-2 x)+4}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x $
$=-\frac{1}{2} \int \frac{4-2 x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x +4 \int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$
माना $I_{1}=\int \frac{4-2 x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x$ तथा $I_{2}=\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$
तब $\int \frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x =-\frac{1}{2} l_{1}+4 l_{2} ...(i)$
अब,$ l_{1}=\int \frac{4-2 x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x$
माना $4 x-x^{2}=t \Rightarrow(4-2 x) d x =d t$
$\Rightarrow I_{1}=\int \frac{d t}{\sqrt{t}} =2 \sqrt{t}+C_{1}=2 \sqrt{4 x-x^{2}} + C_1 ...(ii)$
और$ I_{2}=\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} [\because 4x − x^{2 }= −(x^{2 }− 4x) = −{(x − 2)^{2 }− 4} = (2)^{2 }− (x − 2)^2]$
$\therefore I_{2}=\int \frac{1}{\sqrt{(2)^{2}-(x-2)^{2}}} d x =\sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)+C_{2} ...(iii) [\because \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)]$
समी $(i)$ में समी $(ii)$ और $(iii)$ से $I_1$ और $I_2$ का मान रखने पर,
$\int \frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^{2}}} d x $
$=-\frac{1}{2}\left(2 \sqrt{4 x-x^{2}}\right) +4 \sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right)+C \left(\because-\frac{1}{2} C_{1}+4 C_{2}=C\right)$
$=-\sqrt{4 x-x^{2}} +4 \sin ^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C$
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