निश्चित समाकलन के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए समाकलन का मान ज्ञात कीजिए $- \int_{0}^{\frac\pi 2} (2 \log \sin x - \log \sin 2x)dx$
Exercise-7.11-10
Download our app for free and get started
माना $I=\int_{0}^{\frac\pi 2} (2 \log \sin x - \log \sin 2x)dx$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} (\log \sin^2x - \log \sin 2x)dx\ (\because m \log n = \log n^m)$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log \left(\frac{\sin ^{2} x}{\sin 2 x}\right) d x\ (\because \log m - \log n = \log\frac{m}{n})$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log \left(\frac{\sin ^{2} x}{2 \sin x \cos x}\right) d x \ (\because \sin 2x = 2 \sin x \cos x)$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log \left(\frac{\tan x}{2}\right) d x =\int_{0}^{\frac\pi 2} \log (\tan x) - \log 2 dx$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log(\tan x)dx -\int_{0}^{\frac\pi 2} \log 2dx$
$\Rightarrow I = I_1 - (\log 2) [x]_{0}^{\frac\pi 2} = I_1 - (\frac{\pi}{2} - 0)\log 2 ...(i)$
जहाँ$, I_1 = \int_{0}^{\frac\pi 2} \log(\tan x)dx ...(ii)$
$\Rightarrow I_{1}=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log \left[\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right] d x\ [\because\int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a}f(a -x)dx]$
$\Rightarrow I_1 = \int_{0}^{\frac\pi 2} \log(\cot x)dx ...(iii)$
समी $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,
$2 I_{1}=\int_{0}^{\frac\pi 2} {(\log(\tan x) + \log(\cot x)}dx$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log(\tan x \cot x)dx \ (\because \log m + \log n = \log mn)$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log 1 dx = 0$
$\Rightarrow I_1 = 0\ (\because \tan x = \frac{1}{\cot x})$
$I.$ का मान समी $(i)$ में रखने पर $I = 0-\frac{\pi}{2} \log 2=-\frac{\pi}{2} \log 2$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} (\log \sin^2x - \log \sin 2x)dx\ (\because m \log n = \log n^m)$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log \left(\frac{\sin ^{2} x}{\sin 2 x}\right) d x\ (\because \log m - \log n = \log\frac{m}{n})$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log \left(\frac{\sin ^{2} x}{2 \sin x \cos x}\right) d x \ (\because \sin 2x = 2 \sin x \cos x)$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log \left(\frac{\tan x}{2}\right) d x =\int_{0}^{\frac\pi 2} \log (\tan x) - \log 2 dx$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log(\tan x)dx -\int_{0}^{\frac\pi 2} \log 2dx$
$\Rightarrow I = I_1 - (\log 2) [x]_{0}^{\frac\pi 2} = I_1 - (\frac{\pi}{2} - 0)\log 2 ...(i)$
जहाँ$, I_1 = \int_{0}^{\frac\pi 2} \log(\tan x)dx ...(ii)$
$\Rightarrow I_{1}=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log \left[\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right] d x\ [\because\int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a}f(a -x)dx]$
$\Rightarrow I_1 = \int_{0}^{\frac\pi 2} \log(\cot x)dx ...(iii)$
समी $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,
$2 I_{1}=\int_{0}^{\frac\pi 2} {(\log(\tan x) + \log(\cot x)}dx$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log(\tan x \cot x)dx \ (\because \log m + \log n = \log mn)$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} \log 1 dx = 0$
$\Rightarrow I_1 = 0\ (\because \tan x = \frac{1}{\cot x})$
$I.$ का मान समी $(i)$ में रखने पर $I = 0-\frac{\pi}{2} \log 2=-\frac{\pi}{2} \log 2$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1परिमेय फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{x}{(x-1)^{2}(x+2)}$View Solution
- 2फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}$View Solution
- 3दिखाइए कि $\int_{0}^{a}$ f(x) g(x)dx = 2$\int_{0}^{a}$ f(x) dx, यदि f और g, f(x) = f(a - x) और g(x) + g(a - x) = 4 के रूप में परिभाषित है।View Solution
- 4परिमेय फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$View Solution
- 5परिमेय फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{3 x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}$View Solution
- 6योगों की सीमा के रूप में $\int_{2}^{3} x^{2} d\ x$ निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $-\frac{\sqrt{x^{2}+1}\left[\log \left(x^{2}+1\right)-2 \log x\right]}{x^{4}}$View Solution
- 8समाकलन का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए$- \int_{0}^{1} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) d x$View Solution
- 9योगों की सीमा के रूप में $\int_{-1}^{1} e^{x} d x$ के निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10योगों की सीमा के रूप में $\int_{0}^{4}(x + e^{2x}) dx$ के निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।View Solution