फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: sin x sin 2x sin 3x
Exercise-7.3-6
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$\int$sin x sin 2x sin 3x dx = $\frac{1}{2}$$∫$(2 sin 3x sin x)sin 2x dx [$\because$ 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos (A + B)]
= $\frac{1}{2}$ $\int$(cos 2x - cos 4x) sin 2x dx
$= \frac{1}{4}$ $\int$(2 sin 2x cos 2x - 2 cos 4x sin 2x)dx
$= \frac{1}{4}$ $\int${(sin 4x - sin 0) - (sin 6x - sin 2x)}dx [$\because$ 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B), 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B)]
$= \frac{1}{4}$ $\int$(sin 4x - sin 6x + sin 2x)dx
$=\frac{1}{4}$ $\left[\frac{-\cos 4 x}{4}-\frac{(-\cos 6 x)}{6}+\frac{(-\cos 2 x)}{2}\right]$ + C ($\because$ $\int$sin ax dx = $-\frac{cos ax}{a}$)
$=\frac{-\cos 4 x}{16}$ $+\frac{\cos 6 x}{24}$ $-\frac{\cos 2 x}{8}$+ C
= $\frac{1}{2}$ $\int$(cos 2x - cos 4x) sin 2x dx
$= \frac{1}{4}$ $\int$(2 sin 2x cos 2x - 2 cos 4x sin 2x)dx
$= \frac{1}{4}$ $\int${(sin 4x - sin 0) - (sin 6x - sin 2x)}dx [$\because$ 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B), 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B)]
$= \frac{1}{4}$ $\int$(sin 4x - sin 6x + sin 2x)dx
$=\frac{1}{4}$ $\left[\frac{-\cos 4 x}{4}-\frac{(-\cos 6 x)}{6}+\frac{(-\cos 2 x)}{2}\right]$ + C ($\because$ $\int$sin ax dx = $-\frac{cos ax}{a}$)
$=\frac{-\cos 4 x}{16}$ $+\frac{\cos 6 x}{24}$ $-\frac{\cos 2 x}{8}$+ C
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