6. Application of derivatives — ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ — Question

$\,\therefore \,\,{{f}}'(x)\,\, = \,\,\frac{{ - 1}}{{{{(4{x^2}\, + \,2x\, + \,1)}^2}}}\,(8x\, + \,2)\,\,\,\,\,\,$

$\therefore \,\,{{f}}'(x)\,\, = \,\,\frac{{ - 8\,\left( {x\, + \,\frac{1}{4}} \right)}}{{{{(4{x^2}\, + \,2x\, + \,1)}^2}}}$

હવે જે બિંદુએ ${{f}}$ મહતમ હોય તે બિંદુ એ ${{f'}}{\text{(x)  =  0   }}$

$\therefore \,\,x\, + \,\frac{1}{4}\,\, = \,\,0\,\,\,$

$\therefore \,\,x\, = \,\, - \frac{1}{4}$

વળી ${\text{ }}x\, \in \,\,\left( { - \frac{1}{4}\, - \,h,\,h} \right)\,\,$ માટે  ${{f'}}{\text{(x)  >  0}}$ અને 

$x\,\, \in \,\,\left( { - \frac{1}{4},\,\, - \frac{1}{4}\,\, + \,h} \right)\,$ માટે ${{f'}}{\text{(x)  <  0}}$

જ્યાં $ h$  શૂન્ય ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

$\therefore {\text{ }}{{f}}$ એ $x\,\, = \,\, - \frac{1}{4}\,$ આગળ સ્થાનીય મહતમ છે

મહતમ કિમત $ = \,\,{{f}}\,\left( { - \frac{1}{4}} \right)\,\,$$ = \,\,\frac{1}{{4{{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^2}\, + \,2\left( { - \frac{1}{4}} \right) + \,1}}\,\,\,\, $$= \,\,\frac{1}{{\frac{1}{4}\, - \,\frac{1}{2}\, + \,1}}\,\, = \,\,\frac{4}{3}$