Question
$f(x) = |x{|^3}$ का $x = 0$ पर अवकलज है

Answer

a
(a) $f(x)\, = \,|x{|^3}$ ==> $f'(x) = 3|x{|^2}\frac{d}{{dx}}|x|$

$x = 0$ पर, $f'(x) = 0.\frac{d}{{dx}}|x|$ ==> $f'(x) = 0$.

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यदि $Z ^2+ Z +1=0, Z \in C$ है, तो $\left|\sum \limits_{ n =1}^{15}\left( Z ^{ n }+(-1)^{ n } \frac{1}{ Z ^{ n }}\right)^2\right|$ का मान होगा -
$\int_0^{\pi /2} {\frac{{\sin x\cos x}}{{1 + {{\sin }^4}x}}\,dx = } $
यदि $u = {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0,$ $v = {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ व $\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$, तो वक्र $u + kv = 0$ है  
माना कि $R S$ वृत्त $x^2+y^2=1$ का व्यास (diameter) है, जहाँ कि $S$ बिंदु $(1,0)$ है। माना कि $P$ ( $R$ और $S$ से भिन्न) वृत्त पर एक चर (variable) बिन्दु है और वृत्त पर बिन्दुओं $S$ और $P$ पड खींची गई स्पशरिखाएँ (tangents) बिन्दु $Q$ पर मिलती है। वृत्त के बिन्दु $P$ पर अभिलम्ब (normal) उस रेखा को, जो $Q$ से गुजरती है तथा $R S$ के समानान्तर (parallel) है, बिन्दु $E$ पर प्रतिच्छेदित करता है। तब $E$ का बिन्दुपथ (locus) निम्न बिन्दु(ओं) से गुज़रता है

$(A)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$(B)$ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$

$(C)$ $\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$(D)$ $\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{2}\right)$

माना $f(x + y) = f(x) + f(y)$ और $f(x) = {x^2}g(x)$ सभी $x,y \in R$ के लिए, जहाँ $g(x)$ सतत् फलन है। तब $f'(x)$ का मान है
त्रिभुज $A B C$ में $G$ उसका केन्द्रक $(centroid)$ है और खंड $A B, A C$ पर $M, N$ क्रमशः इस प्रकार है कि $M, G, N$ एक रेखास्थ $(collinear)$ हैं। यदि त्रिभुज $A M N$ और त्रिभुज $A B C$ के क्षेत्रफलों का अनुपात $r$ है तो
माना $\mathrm{I}(\mathrm{x})=\int \sqrt{\frac{\mathrm{x+7}}{\mathrm{x}}} d \mathrm{x}$ तथा $\mathrm{I}(9)=12+7 \log _{\mathrm{e}} 7$ है। यदि $\mathrm{I}(1)=\alpha+7 \log _{\mathrm{e}}(1+2 \sqrt{2})$ है, तो $\alpha^4$ बराबर है_____________.
माना $y = y ( x )$, समीकरण $\frac{ dy }{ dx }-| A |=0, \forall x >0$, को संतुष्ट करता है, जबकि $A =\left[\begin{array}{ccc} y & \sin x & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & \frac{1}{ x }\end{array}\right]$ है। यदि $y (\pi)=\pi+2$ है, तो $y \left(\frac{\pi}{2}\right)$ बराबर है
कुछ दंपत्तियों को मिश्रित युगल बैडमिंटन प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि खेले गए मैचों, जबकि किसी भी दंपत्ति ने एक ही मैच में भाग नहीं लिया हो, की संख्या $840$ हैं, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले व्यक्तियों की कुल संख्या है______________.
यदि $z = 1 - \cos \alpha  + i\sin \alpha $, तब $amp \ z$=