Question
गुणनखंड कीजिए: $2 x^3-3 x^2-17 x+30$
✓
Answer
माना $p(x)=2 x^3-3 x^2-17 x+30$
p(x) का अचर पद = 30
अतः 30 के गुणनखंड $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15$, एवं $\pm 30$ है।
ट्रायल विधि से, हम प्राप्त करते हैं कि, p(2) = 0
अतः (x - 2), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।
अब, हम देखते हैं कि
$ 2 x^3-3 x^2-17 x+30=2 x^3-4 x^2+x^2-2 x-15 x+30 $
$ =2 x^2(x-2)+x(x-2)-15(x-2) $
$=(x-2)\left(2 x^2+x-15\right)[(x-2)$ उभयनिष्ठ लेने पर $]$
अब, $\left(2 x^2+x-15\right)$ के गुणनखण्ड मध्य पद के विभक्तिकरण या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके कर सकते हैं।
मध्य पद के विभक्तिकरण के प्रयोग से
$ 2 x^2+x-15=2 x^2+6 x-5 x-15 $
$=2 x(x+3)-5(x+3)=(x+3)(2 x-5) $
$ \therefore 2 x^3-3 x^2-17 x+30=(x-2)(x+3)(2 x-5)$
p(x) का अचर पद = 30
अतः 30 के गुणनखंड $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15$, एवं $\pm 30$ है।
ट्रायल विधि से, हम प्राप्त करते हैं कि, p(2) = 0
अतः (x - 2), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड है।
अब, हम देखते हैं कि
$ 2 x^3-3 x^2-17 x+30=2 x^3-4 x^2+x^2-2 x-15 x+30 $
$ =2 x^2(x-2)+x(x-2)-15(x-2) $
$=(x-2)\left(2 x^2+x-15\right)[(x-2)$ उभयनिष्ठ लेने पर $]$
अब, $\left(2 x^2+x-15\right)$ के गुणनखण्ड मध्य पद के विभक्तिकरण या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके कर सकते हैं।
मध्य पद के विभक्तिकरण के प्रयोग से
$ 2 x^2+x-15=2 x^2+6 x-5 x-15 $
$=2 x(x+3)-5(x+3)=(x+3)(2 x-5) $
$ \therefore 2 x^3-3 x^2-17 x+30=(x-2)(x+3)(2 x-5)$
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