MCQ
$\int {\cos ({{\log }_e}x)\,dx} $ =
  • $\frac{1}{2}x\{ \cos ({\log _e}x) + \sin ({\log _e}x)\} $
  • B
    $x\{ \cos ({\log _e}x) + \sin ({\log _e}x)\} $
  • C
    $\frac{1}{2}x\{ \cos ({\log _e}x) - \sin ({\log _e}x)\} $
  • D
    $x\{ \cos ({\log _e}x) - \sin ({\log _e}x)\} $

Answer

Correct option: A.
$\frac{1}{2}x\{ \cos ({\log _e}x) + \sin ({\log _e}x)\} $
(a) Let $I = \int {\cos ({{\log }_e}x)\,dx} $$ = \int {\cos ({{\log }_e}x)\,.\,1\,dx} $
$I = \cos ({\log _e}x).\,x - \int {\frac{{ - \sin ({{\log }_e}x)}}{x}} .\,x\,\,dx$
$ = x\cos ({\log _e}x) + \int {\sin ({{\log }_e}x)} \,\,dx$
$ = x\cos \,({\log _e}x) + \int {\sin \,({{\log }_e}x)} \,\,1\,\,dx$
$ = x\cos ({\log _e}x) + \sin ({\log _e}x).\,x - \int {\frac{{\cos ({{\log }_e}x)}}{x}x\,dx} $
$ = x\,\cos ({\log _e}x) + x\sin ({\log _e}x) - I$
$ \Rightarrow 2I = x\,[\cos \,({\log _e}x) + \sin \,({\log _e}x)]$
$ \Rightarrow I = \frac{x}{2}\,[\cos \,\,({\log _e}x) + \sin \,({\log _e}x)]$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Similar questions

$12 \int \limits_{3}^{b} \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)} d x=\log _{e}\left(\frac{49}{40}\right)$ થાય તેવી  $b>3$ ની કિમત ........ છે.
અહી $a, b$ અને $c$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે. જો સદીશો $a \hat{i}+a \hat{j}+c \hat{k}, \hat{i}+\hat{k}$ અને $c \hat{i}+c \hat{j}+b \hat{k}$ એ સમતલીય હોય તો $\mathrm{c}$ મેળવો.
એક ચોરસ $ABCD$ કે જેનો વિકર્ણની લંબાઇ $2a$ છે તેને વિકર્ણ $AC$ પરથી વાળવામાં આવે છે કે જેથી સમતલો $DAC$ અને $BAC$ એકબીજાને કાટખૂણે રહે છે તો $DC$ અને $AB$ વચ્ચેનું ન્યુનતમ અંતર કેટલુ થાય ?
$\int_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}x\,dx = } $
વિધેય $f \,[-3,3]$ પર $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\min \left\{|x|, 2-x^{2}\right\} & , \quad-2 \leq x \leq 2 \\ {[|x|]} & , \quad 2<|x| \leq 3\end{array}\right.$ વડે વ્યાખ્યાયીત છે, જ્યાં$[x]$ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ દર્શાવે છે. $(-3,3)$ માં $f$ વિકલનીય ન થાય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા ...... છે.
જો કોઈપણ ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુ $\vec a \,\, = \,\,j\, + \,\,2k,\,\,\vec b \,\, = \,\,3i\,\, + \;k\,\,\vec c \, = \,\,4i\,\, + \,\,3j\,\, + \,\,6k$ અને $\,\vec d \,\, = \,\,2i\,\, + \;\,3j\,\, + \;2k$ હોય , તો તેનું ધનફળ શોધો . 
નીચે આપેલા અંતરાલો પૈકી કયા અંતરાલમાં $y=x^2 e^{-x}$ વધતું વિધેય છે.
જો $A$ અને $B$ એ બે સમાન કક્ષા ના ચોરસ શ્રેણિક છે કે જેથી $AB = A, BA = B$, તો $(A + I)^5$ મેળવો $($કે જ્યાં $I$ એકમ શ્રેણિક છે.$)$
વક્ર $xy=16,X-$ અક્ષ અને રેખાઓ $ x=4$ અને $x=8$ વડે આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $........ $ છે.
જો $x(1 - {x^2})dy + (2{x^2}y - y - a{x^3})dx = 0$ નો સંકલ્ય કારક અવયવ ${e^{\int_{}^{} {Pdx} }}$ હોય તો $P$ મેળવો.