_ ^ 1 (x - 1)( x^2 + 1) dx = - Vidyadip

MCQ

$\int_{}^{} {\frac{1}{{(x - 1)({x^2} + 1)}}dx} = $

✓
$\frac{1}{2}\log (x - 1) - \frac{1}{4}\log ({x^2} + 1) - \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x + c$
B
$\frac{1}{2}\log (x - 1) + \frac{1}{4}\log ({x^2} + 1) - \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x + c$
C
$\frac{1}{2}\log (x - 1) - \frac{1}{2}\log ({x^2} + 1) - \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x + c$
D
એકપણ નહીં.

✓

Answer

Correct option: A.

$\frac{1}{2}\log (x - 1) - \frac{1}{4}\log ({x^2} + 1) - \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x + c$

a
(a) We have $\frac{1}{{(x - 1)({x^2} + 1)}} = \frac{A}{{(x - 1)}} + \frac{{Bx + C}}{{({x^2} + 1)}}$
$ \Rightarrow 1 = A({x^2} + 1) + (Bx + C)(x - 1)$
If $x = 1,$ then $A = \frac{1}{2}$ .....$(i)$
$A - C = 1 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}$ .....$(ii)$
$A + B = 0 \Rightarrow B = - \frac{1}{2}$ .....$(iii)$
Putting these values, we get
$\frac{1}{{(x - 1)({x^2} + 1)}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{{(x - 1)}} - \frac{{x + 1}}{{2({x^2} + 1)}}$
Hence $\int_{}^{} {\frac{1}{{(x - 1)({x^2} + 1)}}} dx = \frac{1}{2}\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{(x - 1)}} - \frac{1}{2}} \,\int_{}^{} {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}} dx$
$ = \frac{1}{2}\log (x - 1) - \frac{1}{4}\log ({x^2} + 1) - \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x + c.$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.1 inderfinite integral→7.1 inderfinite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

$(1,5,10)$ બિંદુ રેખા $\frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+2}{12}$ અને સમતલ $x+y-z-1=0$ ના છેદબિંદુથી અંતર $........$

ધારો કે ${I_n} = \smallint {\tan ^n}xdx,\left( {n > 1} \right).$ જો ${I_4} + {I_6} = a{\tan ^5}x + b{x^5} + C$, જયાં $C$ સંકલનનો અચળાંક છે. તો ક્રમયુકત જોડ $\left( {a,b} \right)$ બરાબર . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $({x^2} + {y^2})dx = 2xydy$ નો ઉકેલ મેળવો.

If three dice are thrown simultaneously, then the probability of getting a score of $7$ is

જો $\sin \left(\frac{y}{x}\right)=\log _0|x|+\frac{\alpha}{2}$ એ વિકલ સમીકરણ $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ નો ઉકેલ હોય તથા $y(1)=\frac{\pi}{3}$, હોય, તો $\alpha^2$ =..................

${d \over {dx}}\left( {{{\tan }^{ - 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} - 1} \over x}} \right) = . . .$

જો બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ એ અવકાશમાં છે કે જે આ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે . ${L_1} = \{ x = \sqrt \lambda y + \left( {\sqrt \lambda - 1} \right),z = \left( {\sqrt \lambda - 1} \right)y + \sqrt \lambda \} $ અને ${L_2} = \{ x = \sqrt \mu y + \left( {1 - \sqrt \mu } \right),z = \left( {1 - \sqrt \mu } \right)y + \sqrt \mu \} $ તો દરેક અનૃણ વાસ્તવિક સંખ્યા $\lambda $ અને $ \mu $ માટે $L_1$ એ $L_2$ ને લંબ હોય તો

જો $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt {1 - x} \,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,}&{0 \leqslant x \leqslant 1} \\
{{{\left( {7x - 6} \right)}^{ - 1/3}};}&{1 < x \leqslant 2}
\end{array}} \right.$ , તો $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx$ મેળવો.

જો $\int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} - f(x)} \right)f(x)dx = \frac{4}{7}} $ તો $y = f(x)$ , $x-$ અને યામ $x = 1$ અને $x = 2$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

$(3,1,-1)$ થી $\frac{2}{\sqrt{3}}$ અંતરે આવેલા અને સમતલો $x + 2y + 3z = 2$ તથા $x - y + z = 3$ ની છેદરેખામાંથી ૫સા૨ થતા સમતલનું સમીક૨ણ $......... .$