_ ^ dx (1 + x^2 ) 1 - x^2 = - Vidyadip

Question

$\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 - {x^2}} }} = } $

✓

Answer

b
(b) $x = \sin \theta $ रखने पर $ \Rightarrow dx = \cos \theta \,d\theta ,$ तब
$\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 - {x^2}} }} = \int_{}^{} {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}\theta }}\,d\theta } } = \int_{}^{} {\frac{{{{\sec }^2}\theta }}{{1 + 2{{\tan }^2}\theta }}\,d\theta } $
पुन: $t = \tan \theta $ रखने पर ==>$dt = {\sec ^2}\theta \,d\theta ,$
$\therefore$ $\int_{}^{} {\frac{1}{{1 + 2{t^2}}}\,dt} = \frac{1}{2}\int_{}^{} {\frac{1}{{{t^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}\,dt} $
$ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{(1/\sqrt 2 )}}} \right){\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{t}{{(1/\sqrt 2 )}}} \right) + c$
$ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\tan ^{ - 1}}(\sqrt 2 \tan \theta ) + c = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x\sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) + c.$
वैकल्पिक : पहले $x = \frac{1}{t}$ रखने पर तथा तब ${t^2} - 1 = {z^2}.$

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