CBSE Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसमाकलन2 Marks
Question
$\int \frac{x^{4} d x}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}$ ज्ञात कीजिए।
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Answer
हम प्राप्त करते हैं कि $\frac{x^{4}}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} =(x+1) +\frac{1}{x^{3}-x^{2}+x-1}$
$= (x + 1) +\frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} ...(1)$
अब $\frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{\mathrm{A}}{(x-1)}+\frac{\mathrm{B} x+\mathrm{C}}{\left(x^{2}+1\right)}$ के रूप में अभिव्यक्त करते हैं$...(2)$
इसलिए $1 = A(x^2+ 1) + (Bx + C) (x − 1)$
$= (A + B)x^2+ (C − B)x + A − C$
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर हम पाते हैं कि $A + B = 0, C - B = 0$ और $A - C = 1,$ जिससे प्राप्त होता है कि $\mathrm{A}=\frac{1}{2}, B = C =-\frac{1}{2}$
$A, B$ एवं $C$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} =\frac{1}{2(x-1)} -\frac{1}{2} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} -\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)} ...(3)$
$(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{x^{4}}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} =(x+1)+\frac{1}{2(x-1)} -\frac{1}{2} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} -\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}$
इसलिए
$\int \frac{x^{4}}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} d x =\frac{x^{2}}{2}+x+\frac{1}{2} \log |x-1|-\frac{1}{4} \log (x^2+ 1) -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+\mathrm{C}$
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