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STD 12 - 7.1 inderfinite integral — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 7.1 inderfinite integral4 Marks
Question
$\int_{}^{} {x\sqrt {2x + 3} } \;dx = $
✓

Answer

a
(a)$\int_{}^{} {x{{(2x + 3)}^{1/2}}dx} $
$ = x\frac{{{{(2x + 3)}^{3/2}}}}{{3/2}}\frac{1}{2} - \int_{}^{} {\frac{{{{(2x + 3)}^{3/2}}}}{{3/2}}\frac{1}{2}\,dx + c} $ $ = \frac{1}{3}x{(2x + 3)^{3/2}} - \frac{1}{3}\int_{}^{} {{{(2x + 3)}^{3/2}}dx + c} $
$ = \frac{1}{3}x{(2x + 3)^{3/2}} - \frac{1}{{15}}{(2x + 3)^{5/2}} + c.$

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कथन $I$ : समीकरण $\left(\sin ^{-1} x\right)^{3}+\left(\cos ^{-1} x\right)^{3}- a \pi^{3}=0$ का सभी $a \geqslant \frac{1}{32}$ के लिए एक हल है।

कथन $II$ : किसी $x \in R$ के लिए $\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$ तथा $0 \leq\left(\sin ^{-1} x-\frac{\pi}{4}\right)^{2} \leq \frac{9 \pi^{2}}{16}$.

→
माना कि $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत हैं जिनके केन्द्र मूलबीन्दु हैं। $E_1$ और $E_2$ की दीर्घ अक्षायें क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। माना कि $S: x^2+(y-1)^2=2$ एक वृत्त है। सरल रेखा $x+y=3$, वक्रों $S, E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P, Q$ और $R$ पर स्पर्श करती है। माना कि $P Q=P R=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है। यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः $E_1$ और $E_2$ की उत्केन्द्रता (eccentricities) हैं, तब सही कथन है

$(A)$ $e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$

$(B)$ $e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$

$(C)$ $\left|e_1^2-e_2^2\right|=\frac{5}{8}$

$(D)$ $e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

→
माना $f(x + y) = f(x)f(y)$ और $f(x) = 1 + \sin (3x)g(x)$ जहाँ $g(x)$ सतत् है, तब $f'(x)$ है
→
यदि $f({x_1}) - f({x_2}) = f\left( {\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{1 - {x_1}{x_2}}}} \right)$, ${x_1},{x_2} \in [ - 1,\,1]$ के लिए, तब $f(x)$ है
→
हृासमान फलन $f(x) = {x^3} - {x^2} - x - 4$ का अंतराल है
→
अतिपरवलय $16{x^2} - {y^2} + 64x + 4y + 44 = 0$ के अनुप्रस्थ अक्ष तथा संयुग्मी अक्ष के समीकरण हैं
→
यदि एक तल $(plane)$ में $\vec{v}$ एक ऐसा सदिश है जो $|\vec{v}-\vec{i}|=|\vec{v}-\overrightarrow{2 i}|=|\vec{v}-\vec{j}|$ को संतुष्ट करता है, तो $|\vec{v}|$ का अंतराल $(interval)$ क्या है ?
→
माना कि $E_1=\left\{x \in R : x \neq 1\right.$ और $\left.\frac{x}{x-1}>0\right\}$और $E_2=\left\{x \in E_1: \sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)\right.$ एक वास्तविक संख्या $($real number$)$ है $\}$
$($यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $($inverse trigonometric function$) \sin ^{-1} x,\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में मान धारण करता है।$)$
माना कि फलन $f: E_1 \rightarrow R , f(x)=\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)$ के द्वारा परिभाषित है
और फलन $g: E_2 \rightarrow R , g(x)=\sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)$ के द्वारा परिभाषित है।
सूची $I$ सूची $II$
$P\ f$ का परिसर $($range$)$ है $1\ \left(-\infty, \frac{1}{1- e }\right] \cup\left[\frac{ e }{ e -1}, \infty\right)$
$Q\ g$ के परिसर में समाहित $($contained$)$ है $2\ (0,1)$
$R\ f$ के प्रान्त $($domain$)$ में समाहित है $3 \ \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
$S\ g$ का प्रान्त है $4\ (-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
  $5\ \left(-\infty, \frac{ e }{ e -1}\right]$
  $6\ (-\infty, 0) \cup\left(\frac{1}{2}, \frac{ e }{ e -1}\right]$
दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:
→
यदि $A=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]$ तो $A + A ^{\prime}= I ,$ यदि $\alpha$ का मान है
→
यदि शून्येतर $x,$ के लिये $af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5,$ जहाँ  $a \ne b,$ तो $\int_1^2 {f(x)\,dx = } $
→