_ ,0 ^ , ^2 x ,dx = - Vidyadip

Question

$\int_{\,0}^{\,\pi } {\log {{\sin }^2}x\,dx = } $

✓

Answer

a
(a) $\int_0^\pi {2\log \sin xdx = 2\int_0^{2\frac{\pi }{2}} {\log \sin xdx = 4\int_0^{\pi /2} {\log \sin x\,dx} } } $

$ = 4 \times \left( { - \frac{\pi }{2}\log 2} \right) = - 2\pi {\log _e}2 = 2\pi {\log _e}\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

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यदि $f(a+b-x)=f(x),$ तो $\int_{0}^{b} x f(x) d x$ बराबर है :

माना सदिश $\overrightarrow{\mathrm{u}}_1=\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{a} \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{u}}_2=\hat{\mathrm{i}}+\mathrm{b} \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{u}}_3=\mathrm{c} \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ सह-तलीय है। यदि सदिश $\vec{v}_1=(a+b) \hat{i}+c \hat{j}+c \hat{k}, \quad \vec{v}_2=a \hat{i}+(b+c) \hat{j}+a \hat{k}$ तथा $\vec{v}_3=b \hat{i}+b \hat{j}+(c+a) \hat{k}$ भी सह-तलीय हैं, तो $6(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})$ बराबर है

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माना $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि सभी $x \in R$ के लिए $\left(2^{1+x}+2^{1-x}\right), f(x)$ तथा $\left(3^{x}+3^{-x}\right)$ एक समांतर श्रेढ़ी में है, तो $f( x )$ का न्यूनतम मान है

$\int_0^{\pi /2} {\,\,\,\,\,|\sin x - \cos x|\,dx = } $

$\int_0^{\pi /3} {\cos 3x\,dx = } $

यदि परवलय $y^{2}=4 x$ की नाभिलम्ब जीवा, दो वृत्तों, $C_{1}$ तथा $C _{2}$ की उभयनिष्ठ जीवा है, जबकि वृत्तों में से प्रत्येक का अर्धव्यास $2 \sqrt{5}$ है, तो वृत्तों $C _{1}$ एवं $C _{2}$ के केन्द्र बिन्दुओं के बीच की दूरी है

$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3^{x}+3^{3-x}-12}{3^{-x / 2}-3^{1-x}}$ बराबर है