_0^x x ,dx = - Vidyadip

MCQ

$\int_0^\pi {x\log \sin x} \,dx = $

A
$\frac{\pi }{2}\log \frac{1}{2}$
✓
$\frac{{{\pi ^2}}}{2}\log \frac{1}{2}$
C
$\pi \log \frac{1}{2}$
D
${\pi ^2}\log \frac{1}{2}$

✓

Answer

Correct option: B.

$\frac{{{\pi ^2}}}{2}\log \frac{1}{2}$

b
(b) $I = \int_0^\pi {x\log \sin x\,dx} $.....$(i)$

$= \int_0^\pi {(\pi - x)\log \sin (\pi - x)\,dx} $.....$(ii)$

By adding $(i)$ and $(ii),$ we get

$2I = \int_0^\pi \pi \log \sin x\,dx $

$\Rightarrow I = \frac{{2\pi }}{2}\int_0^{\pi /2} {\log \sin \,x\,dx} $

$ = \pi \left( {\frac{\pi }{2}\log \frac{1}{2}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{2}\log \frac{1}{2}$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.2 definite integral→7.2 definite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

અહી $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x d y=\left(y+x^{3} \cos x\right) d x$ નો ઉકેલ દર્શાવે છે અને $y(\pi)=0$ આપેલ હોય તો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ની કિમંત મેળવો,

વક્રોની સંહતિનો સ્પર્શક અતિવલય $xy=c^2$ સાથે $\frac{\pi}{4} $ માપનો ખૂણો બનાવતો હોય, તો તેવા વક્રોની સંહતિ દર્શાવતું વિકલ સમીકરણ $..........$ છે.

સમીકરણ $\mathop \smallint \limits_{\sqrt 2 }^x \frac{{dt}}{{t\sqrt {{t^2} - 1} }} = \frac{\pi }{2}$ નો $x $ માટેનો ઉકેલ મેળવો.

ધારોકે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=(x-3)^{n_{1}}(x-5)^{n_{2}}, n_{1}, n_{2} \in N$ મુજબ વ્યાખ્યિત છે. ,તો નીચેના પૈકી કયું સાયું નથી ?

$YZ-$ સમતલ વડે $(2,4,5)$ અને $(3,5,-4)$ ને જોડતી રેખા કયા પ્રમાણમાં વિભાજીત થાય $?$

$\sin ^2\left(\sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)+\tan ^2\left(\sec ^{-1} 2\right)+\cot ^2\left(\operatorname{cosec}^{-1} 4\right)=$_________.

Let $E_{1}$ and $E_{2}$ be two events such that the conditional probabilities $P \left( E _{1} \mid E _{2}\right)=\frac{1}{2}$, $P \left( E _{2} \mid E _{1}\right)=\frac{3}{4}$ and $P \left( E _{1} \cap E _{2}\right)=\frac{1}{8}$. Then

$\int_{\,0}^{\,\pi /2} {\sin 2x\log \tan x\,dx} =$

જો $\overrightarrow{ x }$ અને $\overrightarrow{ y }$ એ એવા શૂન્યેતર સદીશો એવા છે કે જેથી $|\overrightarrow{ x }+\overrightarrow{ y }|=|\overrightarrow{ x }|$ અને સદીશ $2 \overrightarrow{ x }+\lambda \overrightarrow{ y }$ એ સદીશ $\overrightarrow{ y }$ ને લંબ હોય તો $\lambda$ ની કિમત શોધો

જો $y = {\cot ^{ - 1}}\left[ {{{\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 - \sin x} } \over {\sqrt {1 + \sin x} - \sqrt {1 - \sin x} }}} \right]$, તો ${{dy} \over {dx}} = $