Download App

સંકલનનો ઉપયોગ — ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ — Question

Gujarat Boardગુજરાતી માધ્યમધોરણ 12 સાયન્સગણિતસંકલનનો ઉપયોગ1 Mark
MCQ
$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x\,\,dx}}{{\sin x + \cos x}} = ........} $
  • A
    $\sqrt 2 \,\log \left( {\sqrt 2 - 1} \right)$
  • B
    $\sqrt 2 \,\log \left( {\sqrt 2 + 1} \right)$
  • ✓
    $\frac{1}{{\sqrt 2 }}\,\log \left( {\sqrt 2 + 1} \right)$
  • D
    $\frac{1}{{\sqrt 2 }}\,\log \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}$
✓

Answer

Correct option: C.
$\frac{1}{{\sqrt 2 }}\,\log \left( {\sqrt 2 + 1} \right)$
$I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x\,\,dx}}{{\sin x + \cos x}} } ..........(1)$
$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}(\frac{\pi}{2}-x)\,\,dx}}{{\sin(\frac{\pi}{2}- x )+ \cos (\frac{\pi}{2}-x)}}}$
$=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^2}x\,\,dx}}{{\cos x + \sin x}} }\ ..........(2)$
સમી. $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,
$2I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x \,\, + \cos^2x}}{{\sin x + \cos x}} }dx$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx}dx$
$ =\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos(x-\frac{\pi}{4})} dx$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  \sec(x-\frac{\pi}{4}) dx $
$\frac{1}{\sqrt{2}}[\log|\sec(x-\frac{\pi}{4})+ \tan(x-\frac{\pi}{4})|]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$ \frac{1}{\sqrt{2}}\log[\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\times\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}] $
$2I=\frac{2}{\sqrt{2}}\log(\sqrt{2}+1)$
$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\log(\sqrt{2}+1)$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકલનનો ઉપયોગ→સંકલનનો ઉપયોગ — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જ્યારે ત્રિજ્યા $6$ સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ થતાં ફેરફારનો દર $ .......... $ હોય.
→
$-x+y \leq 1,2 x+y \leq 2$ અને $x \geq 0, y \geq 0 "$ શરતોને આધીન $z=2 x+6 y$ ની મહત્તમ કિંમત
→
સમીકરણોની સંહતિ $7 x+6 y-2 z=0$ ; $3 x+4 y+2 z=0$ ; ${x}-2{y}-6{z}=0,$ ને.. . . . . 
→
$\int {\frac{{{{\sin }^3}2x}}{{{{\cos }^5}2x}}dx = } $
→
શ્રેણિક $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&5&{ - 7}\\{ - 5}&0&{11}\\7&{ - 11}&0\end{array}} \right]$ એ $ . . .$ થાય
→
$\int\limits_2^4 {(x(3 - x)(4 + x)(6 - x)(10 - x) + \sin x)} dx$ મેળવો.
→
${d \over {dx}}\sqrt {{{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}} = $
→
જો $\omega $ એ એકનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોય તો $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{2\omega }\\\omega &{{\omega ^2}}\end{array}} \right|$, તો ${\Delta ^2}$ = . . .
→
જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\tan \theta /2}\\{ - \tan \theta /2}&1\end{array}} \right]$ અને $AB = I$, તો $B = $
→
જો $f(x)\, = \,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\left[ {{x^2}} \right] + [{{(2x)}^2}] + [{{(3x)}^2}] +  \cdots  + [{{(nx)}^2}]}}{{{n^3}}}{\mkern 1mu} $ તો $f(x)$ એ  . . . .  (જ્યાં [.] એ મહતમ પૂર્ણાંક વિધેય )
→