_1^ 16 ^ - 1 ( x - 1 ) , ,dx = ....... - Vidyadip

MCQ

$\int\limits_1^{16} {{{\tan }^{ - 1}}\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right)} } \,\,dx =\ .......$

A
$\frac{{3\pi }}{{10}} - 3\sqrt 2 $
B
$\frac{{4\pi }}{{15}} - 3\sqrt 3 $
✓
$\frac{{16\pi }}{3} - 2\sqrt 3 $
D
$\frac{{9\pi }}{{16}} - 2\sqrt 2 $

✓

Answer

Correct option: C.

$\frac{{16\pi }}{3} - 2\sqrt 3 $

$I = \int_{1}^{16} \tan^{-1} \sqrt{(\sqrt{x} -1)} dx$
$x = \sec^4 \theta$
$dx = 4 \sec^3 \theta (\sec \theta\tan \theta) d \theta$
$\begin{cases}x=1 & \theta = 0\\ x=16 & \theta = \sec^{-1} \sqrt[4]{16}\end{cases}$
$I = 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \theta \sec^3 \theta (\sec \theta+ \tan \theta) d \theta$
$I = 4 \left\{ \left(\theta.\frac{\sec^4 \theta}{4}\right)^{\frac{\pi}{3}}_0 - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left(1. \frac{\sec^4 \theta}{4}\right)d \theta \right\}$
$(\because \int (\sec \theta)^3 (\sec \theta \tan \theta) d \theta = \frac{\sec^4 \theta}{4})$
$I = 4 \left[\frac{4\pi}{3} - \frac {1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sec^2 \theta (1+\tan^2 \theta )d \theta \right]$
$I = \frac{16 \pi}{3} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sec^2 \theta d \theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 \theta \tan^2 \theta d \theta $
$ = \frac{16 \pi}{3} - [\tan \theta]^\frac{\pi}{3}_0 - \left[\frac{\tan^3 \theta}{3}\right]^\frac{\pi}{3}_0$
$ = \frac{16 \pi}{3} - (\sqrt{3}-0) - \left[\frac{3\sqrt{3}}{3} - 0\right]$
$ = \frac{16 \pi}{3} - (\sqrt{3}+\sqrt{3})$
$ = \frac{16 \pi}{3} - 2 \sqrt{3}$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકલનનો ઉપયોગ→સંકલનનો ઉપયોગ — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $f(x)$ નું બે વખત વિકલન શક્ય હોય અને $f(1) = 1,f(2) = 4,f(3) = 9$ તો . . ..

જે વિક્લ સમીકરણ $\left(x^4+2 x^3+3 x^2+2 x+2\right) \mathrm{d} y-\left(2 x^2+2 x+3\right) \mathrm{d} x=0$ નો ઉકલ $y=y(x)$ એ $y(-1)=-\frac{\pi}{4}$ નું સમાધાન કરે, તો $y(0)=$ ...........

બિંદુ ${{2\hat i}}\,\,{{ - }}\,\,{{\hat j}}\,\, + \;\,{{5\hat k}}\,$ માથી રેખા $\vec r \,\, = \,\,\left( {11\,\hat i\,\, - \,\,2\hat j\,\, - \,\,8\hat k} \right)\,\, + \;\,\lambda \,\,\left( {10\hat i\,\, - \,\,4\hat j\,\, - \,\,11\hat k} \right)$ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ શોધો .

બે એકમ સદિશોના સ૨વાળાનું સદિશ એકમ સદિશ હોય , તો તે બે સદિશોના તફાવતનું માન $..... .$

ધારો કે $R _{1}=\{( a , b ) \in N \times N :| a - b | \leq 13\}$ અને $R _{2}=\{( a , b ) \in N \times N :| a - b | \neq 13\} .$ તો $N$ પર

$\frac{{dy}}{{dx}} + y\tan x = {x^m}\cos x$ નો ઉકેલ મેળવો.

જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - i}\\i&0\end{array}} \right]$ તો ${(A + B)^2} =\ . ..... .$

$\int_{}^{} {x\sin x{{\sec }^3}x\,dx = } $

જો $\vec a = \hat i + \hat j + \hat k,\,\,\vec b = \hat i - \hat j + \hat k,\,\,\vec c = \hat i + 2\hat j + \hat k$ , હોય તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\vec a.\vec a}&{\vec a.\vec b}&{\vec a.\vec c} \\
{\vec b.\vec a}&{\vec b.\vec b}&{\vec b.\vec c} \\
{\vec c.\vec a}&{\vec c.\vec b}&{\vec c.\vec c}
\end{array}} \right|$ ની કિમત મેળવો.

જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right]$ અને $AB = O$ તો $B =$